陕西省榆林市凤山高级中学高二数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 是方程 表示椭圆或双曲线的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.不充分不必要条件
参考答案:
B
略
2. 若曲线x2﹣4x+y2﹣2y+4=0(y≥1)与直线y=k(x+1)有2个公共点,则k的取值范围是( )
A.(0,] B.(,] C.[,) D.[,1)
参考答案:
C
【考点】直线与圆的位置关系.
【专题】综合题;转化思想;综合法;直线与圆.
【分析】曲线x2﹣4x+y2﹣2y+4=0(y≥1),可化为曲线(x﹣2)2+(y﹣1)2=1(y≥1),求出直线与圆弧相切时,k=或0;直线过点(1,1)时,k=,即可求出k的取值范围.
【解答】解:曲线x2﹣4x+y2﹣2y+4=0(y≥1),可化为曲线(x﹣2)2+(y﹣1)2=1(y≥1)
直线与圆弧相切时,圆心到直线的距离d==1,∴k=或0;
直线过点(1,1)时,k=,
∴曲线x2﹣4x+y2﹣2y+4=0(y≥1)与直线y=k(x+1)有2个公共点,则k的取值范围是[,).
故选:C.
【点评】此题考查了直线与圆相交的性质,考查学生的计算能力,属于中档题.
3. 下列命题中为真命题的是( )
A.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题
B.命题“若x>1,则x2>1”的否命题
C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题
D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题
参考答案:
C
略
4. 点F1、F2是两个定点,动点P满足|PF1|+|PF2|=2a(a为非负常数),则动点P的轨迹( )
A.是线段 B.是椭圆 C.不存在 D.前三种情况都有可能
参考答案:
D
略
5. 已知函数,则( )
A. 0 B. C. D.
参考答案:
D
6. 抛物线y=-2x2的焦点坐标为( )
A. (,0) B. (0, ) C. (,0) D. (0, )
参考答案:
D
7. 某单位有职工100人,其中青年人有45人,中年人有25人,剩下的为老年人,用分层抽样的方法从中抽取20人,则各年龄段分别抽取多少人 ( )
A.7,5,8 B.9,5,6 C.6,5,9 D.8,5,7
参考答案:
B
略
8. 已知具有线性相关的两个变量x,y之间的一组数据如下:
且回归方程是=0.95x+a,则当x=6时,y的预测值为( )
A.8.0 B. 8.1 C. 8.2 D. 8.3
参考答案:
C
略
9. 某商场为了了解毛衣的月销售量(件)与月平均气温之间的关系,随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温,其数据如下表:
月平均气温
17
13
8
2
月销售量(件)
24
33
40
55
由表中数据算出线性回归方程中的=,气象部门预测下个月的平均气温约为,据此估计该商场下个月毛衣销售量约为( )件.
A.46 B.40 C.38 D.58
参考答案:
A
10. 下列各组中的两个函数是同一函数的为( )
(1)y=,y=x-5.
(2)y=,y=.
(3)y=x,y=.
(4)y=x,y=.
(5)y=()2, y=2x-5.
A.(1),(2) B.(2),(3)
C.(3),(5) D.(4)
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设条件p:a>0;条件q:a2+a≥0,那么p是q的 条件(填“充分不必要,必要不充分,充要”).
参考答案:
【充分不必要】
略
12. 当时,不等式恒成立,则的值范围是 .(用区间表示)
参考答案:
13. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,,,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为_________.
参考答案:
分析:以为坐标原点,为轴,为轴,为轴建立空间坐标系,求出,利用空间向量夹角余弦公式可得结果.
详解:
如图,为坐标原点,为轴,为轴,
为轴建立空间坐标系,
,
,
,
设异面直线与成角为,
,故答案为.
点睛:本题主要考查异面直线所成的角立体几何解题的“补型法”,属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种:一是向量法,根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后,分别求出两直线的方向向量,再利用空间向量夹角的余弦公式求解;二是传统法,利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角,再利用平面几何性质求解.
14. 已知f(x)=x3﹣6x2+9x﹣abc,a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论:
①f(0)f(1)>0;
②f(0)f(1)<0;
③f(0)f(3)>0;
④f(0)f(3)<0.
其中正确结论的序号是 .
参考答案:
②③
【考点】2K:命题的真假判断与应用;6C:函数在某点取得极值的条件.
【分析】f(x)=x3﹣6x2+9x﹣abc,a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0,确定函数的极值点1,3及a、b、c的大小关系,由此可得结论
【解答】解:求导函数可得f′(x)=3x2﹣12x+9=3(x﹣1)(x﹣3)
∵a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0.
∴a<1<b<3<c
设f(x)=(x﹣a)(x﹣b)(x﹣c)=x3﹣(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x﹣abc
∵f(x)=x3﹣6x2+9x﹣abc
∴a+b+c=6,ab+ac+bc=9
∴b+c=6﹣a
∴bc=9﹣a(6﹣a)<
∴a2﹣4a<0
∴0<a<4
∴0<a<1<b<3<c
∴f(0)<0,f(1)>0,f(3)<0
∴f(0)f(1)<0,f(0)f(3)>0
故答案为:②③
15. 正偶数列有一个有趣的现象:(1)2+4=6;(2)8+10+12=14+16;(3)18+20+22+24=26+28+30,按照这样的规律,则72在第 个等式中.
参考答案:
6
考点:归纳推理.
专题:推理和证明.
分析:从已知等式分析,发现规律为:各等式首项分别为2×1,2(1+3),2(1+3+5),…,即可得出结论.
解答: 解:①2+4=6;
②8+10+12=14+16;
③18+20+22+24=26+28+30,…
其规律为:各等式首项分别为2×1,2(1+3),2(1+3+5),…,
所以第n个等式的首项为2[1+3+…+(2n﹣1)]=2×=2n2,
当n=6时,等式的首项为2×36=72,
所以72在第6个等式中,
故答案为:6.
点评:本题考查归纳推理,难点是根据能够找出数之间的内在规律,考查观察、分析、归纳的能力,是基础题.
16. 某监理公司有男工程师7名,女工程师3名,现要选2名男工程师和1名女工程师去3个不同的工地去监督施工情况,不同的选派方案有 种.
参考答案:
378
【考点】D8:排列、组合的实际应用.
【分析】根据题意,分2步进行分析:①、在7名男工程师中选2名,3名女工程师中选1人,②、将选出的3人全排列,安排到3个不同的工地,求出每一步的情况数目,由分步计数原理计算可得答案.
【解答】解:根据题意,分2步进行分析:
①、在7名男工程师中选2名,3名女工程师中选1人,有C72C31=63种选法,
②、将选出的3人全排列,安排到3个不同的工地,有A33=6种情况,
则不同的选派方案有63×6=378种;
故答案为:378.
17. 用1,2,3,4,5可以组成没有重复数字的三位数共有 个.(用数字作答)
参考答案:
60
【考点】排列、组合及简单计数问题.
【分析】由题意得,选3个再全排列即可.
【解答】解:数字1、2、3、4、5可组成没有重复数字的三位数,选3个再全排列,故有A53=60个,
故答案为:60.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=ex·(a++lnx),其中a∈R.
(I)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线y=-垂直,求a的值;
(II)当a∈(0,ln2)时,证明:f(x)存在极小值.
参考答案:
(I)f(x)的导函数为f'(x)=ex·(a++lnx)+ex·(-)
=ex·(a+-+lnx).
依题意,有f'(1)=e·(a+1)=e,
解得a=0.
(II)由f'(x)=ex·(a+-+lnx)及ex>0知,f'(x)与a+-+lnx同号.
令g(x)=a+-+lnx,
则g'(x)==.
所以对任意x(0,+),有g'(x)>0,故g(x)在(0,+)单调递增.
因为a∈(0,ln2),所以g(1)=a+l>0,g()=a+ln<0,
故存在x0∈(,1),使得g(x0)=0.
f(x)与f'(x)在区间(,1)上的情况如下:
x
(,x0)
x0
(x0,1)
f'(x)
-
0
+
f(x)
↘
极小值
↗
所以f(x)在区间(,x0)上单调递减,在区间(x0,1)上单调递增.
所以f(x)存在极小值f(x0).
19.
参考答案:
20. (本小题满分12分)由下列各个不等式:
你能得到一个怎样的一般不等式?并加以证明.
参考答案:
根据给出的几个不等式可以猜想第个不等式,即一般不等式为:
4分
用数学归纳法证明如下:
(1)当n=1 时,猜想成立. 5分
(2)假设当时猜想成立,即6分
则当时,
10分
这就说明猜想也成立,由(1)(2)知,猜想对一切都成立.------12分
21. 某市居民1999~2003年货币收入与购买商品支出的统计资料如下表所示:
单位:亿元
(Ⅰ)画出散点图,判断x与Y是否具有相关关系;
(Ⅱ)已知,请写出Y对x 的回归直线方程,并计算出 年和的随机误差效应.
x/亿元
Y/亿元
38
40
42
44
46
48
33
35
37
39
412
50
31
432
522
参考答案:
解:(Ⅰ)由某市居民货币收入预报支出,因此选取收入为自变量,支出为因变量.作散点图,从图中可看出x与Y具有相关关系. ……………………………4分
(Ⅱ)Y对的回归直线方程为
年和年的随机误差效应分别为0.263和-0.157.
x/亿元
Y/亿元
38
40
42
44
46
48
33
35
37
39
412
50
31
432
522
略
22. 设,函数.
(1)若无零点,求实数a的取值范围;
(2)若有两个相异零点,,求证:.
参考答案:
(1)(2)见解析
【分析】
(1)通过a的值,利用函数的导数的符号,结合函数的单调性,判断函数的零点,求解即可.