北京市石景山中学2022年高二数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知,则( )
A.22014 B. 32013 C. 1 D. -1
参考答案:
C
2. 函数的零点所在的一个区间是( )ks5u
A、(-2,-1) B、(-1,0) C、(0,1) D、(1,2)
参考答案:
B
略
3. 抛物线上一点P到轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A.4 B.6 C.8 D.12
参考答案:
B
略
4. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】根据由已知底面是正三角形的三棱柱的正视图,我们可得该三棱柱的底面棱长为2,高为1,进而求出底面外接圆半径r,球心到底面的球心距d,球半径R,代入球的表面积公式.即可求出球的表面积.
【解答】解:由已知底面是正三角形的三棱柱的正视图
我们可得该三棱柱的底面棱长为2,高为1
则底面外接圆半径r=,球心到底面的球心距d=
则球半径R2==
则该球的表面积S=4πR2=
故选B
5. 某单位安排甲乙丙三人在某月1日至12日值班,每人4天.
甲说:我在1日和3日都有值班
乙说:我在8日和9日都有值班
丙说:我们三人各自值班日期之和相等
据此可判断丙必定值班的日期是( )
A. 10日和12日 B. 2日和7日 C. 4日和5日 D. 6日和11日
参考答案:
D
【分析】
确定三人各自值班的日期之和为26,由题可得甲在1、3、10、12日值班,乙在8、9、2、7或8、9、4、5,确定丙必定值班的日期.
【详解】由题意,1至12的和为78,
因为三人各自值班的日期之和相等,
所以三人各自值班的日期之和为26,
根据甲说:我在1日和3日都有值班;乙说:我在8日和9日都有值班,可得甲在1、3、
10、12日值班,乙在8、9、2、7或8、9、4、5,
据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日,
故选:.
【点睛】本题考查分析法,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题.
6. 过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为( )
A.3x﹣2y=0 B.x+y﹣5=0
C.3x﹣2y=0或x+y﹣5=0 D.2x﹣3y=0或x+y﹣5=0
参考答案:
C
【考点】直线的截距式方程.
【专题】计算题;分类讨论.
【分析】分两种情况:当直线在两坐标轴上的截距都为0时,设直线l的方程为y=kx,把P的坐标代入即可求出k的值,得到直线l的方程;当直线在两坐标轴上的截距不为0时,设直线l的方程为x+y=a,把P的坐标代入即可求出a的值,得到直线l的方程.
【解答】解:①当直线在两坐标轴上的截距都为0时,设直线l的方程为:y=kx
把点P(2,3)代入方程,得:3=2k,即
所以直线l的方程为:3x﹣2y=0;
②当直线在两坐标轴上的截距都不为0时,
设直线l的方程为:
把点P(2,3)代入方程,得:,即a=5
所以直线l的方程为:x+y﹣5=0.
故选C
【点评】本题题考查学生会利用待定系数法求直线的解析式,直线方程的截距式的应用,不要漏掉截距为0的情况的考虑,考查了分类讨论的数学思想,是一道中档题
7. 设,则二项式的展开式的常数项是( )
A. -160 B. -80 C. 80 D. 160
参考答案:
B
【分析】
求出定积分的值,然后求出二项式的展开式的通项公式,然后化简,让的指数为零,最后求出常数项.
【详解】,,
所以,令,所以常数项为,故本题选B.
8. 集合,则集合P∩Q的交点个数是( )
A. 0 个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
参考答案:
B
【分析】
在同一坐标系中,画出函数和的图象,结合图象,即可求解,得到答案。
【详解】由题意,在同一坐标系中,画出函数和的图象,
如图所示,由图象看出,和只有一个交点,
所以的交点个为1,
故选:B.
【点睛】本题主要考查了集合的交集,以及指数函数与对数函数的图象的应用,其中解答中在同一坐标系中作出两个函数的图象是解答的关键,着重考查了数形结合法的应用,属于基础题。
9. 已知函数,(),若,,使得,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
10. 设a,b∈R+,且a≠b,a+b=2,则必有 ( )
A.1≤ab≤ B.<ab<1
C.ab<<1 D.1<ab<
参考答案:
D
【考点】基本不等式.
【分析】由a≠b,a+b=2,则必有a2+b2>2ab,,化简即可得出.
【解答】解:∵a≠b,a+b=2,则必有a2+b2>2ab,,∴1<ab<.
故选:D.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 顶点在原点,准线为x=4的抛物线的标准方程是 .
参考答案:
y2=﹣16x
【考点】抛物线的简单性质.
【专题】计算题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】根据准线方程,可设抛物线y2=mx,利用准线方程为x=4,即可求得m的值,进而求得抛物线的方程.
【解答】解:由题意设抛物线y2=mx,则﹣=4,∴m=﹣16,
∴抛物线的标准方程为y2=﹣16x,
故答案为:y2=﹣16x.
【点评】考查抛物线的定义和简单的几何性质,以及待定系数法求抛物线的标准方程.体现了数形结合的思想,特别是解析几何,一定注意对几何图形的研究,以便简化计算.
12. 若执行如下图所示的框图,输入x1=1,x2=2,x3=4,x4=8,则输出的数等于________.
参考答案:
13. 设中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且它们的离心率互为倒数, 则该椭圆的方程为_________.
参考答案:
14. (1)给出下列四个命题:
①设,若,则; ②两个复数不能比较大小;③若则是纯虚数; ④设,则 “”是“与互为共轭复数”的必要不充分条件. 其中,真命题的序号为 ▲ .
参考答案:
④
略
15. 设随机变量X~B(2,p),Y~B(3,p),若P(X)=,则P(Y)=___________.
参考答案:
略
16. 已知函数,则_______.
参考答案:
0
【分析】
求导即可求解.
【详解】因为 ,
所以.
【点睛】本题考查导数的运算,属于基础题.
17. i是虚数单位,则复数的虚部为______.
参考答案:
-1
【分析】
分子分母同时乘以,进行分母实数化。
【详解】,其虚部为-1
【点睛】分母实数化是分子分母同时乘以分母的共轭复数,是一道基础题。
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知点在椭圆上, 以为圆心的圆与
轴相切于椭圆的右焦点.
(1)若圆与轴相切,求椭圆的离心率;
(2)若圆与轴相交于两点,且是边长为2的正三角形,求椭圆的方程.
参考答案:
解:(1)设,圆M的半径为.
依题意得
将代入椭圆方程得:,所以,又
从而得 ,两边除以得:
解得:……………………………………………….4分
因为,所以 ………………………………………6分
(2)因为是边长为2的正三角形,所以圆M的半径,
M到圆轴的距离 又由(1)知:,
所以,, 又因为 ,解得:,
所求椭圆方程是:……………………………………………12分
略
19. 已知函数,.
(1)试讨论函数f(x)的极值点的个数;
(2)若,且恒成立,求a的最大值.
参考数据:
1.6
1.7
1.74
1.8
10
4.953
5.474
5.697
6.050
22026
0.470
0.531
0.554
0.558
2.303
参考答案:
(1)见解析;(2)10
【分析】
(1)求出函数f(x)的导数,按①当a≤0时,②当a>0时,分类讨论求解即可;
(2)由于恒成立,利用,;,;,;因为,猜想:的最大值是,再证明=符合题意即可.
【详解】(1)函数的定义域为.,
①当时,,在定义域单调递减,没有极值点;
②当时,在单调递减且图像连续,
,时,∴存在唯一正数,使得,
函数在单调递增,在单调递减,∴函数有唯一极大值点,没有极小值点,
综上:当时,没有极值点;当时,有唯一极大值点,没有极小值点.
(2)由于恒成立,∴,;
,;,;
∵,∴猜想:的最大值是.下面证明时,.
,且在单调递减,由于,,
∴存在唯一,使得,
∴.
令,,易知在单调递减,
∴,
∴,即时,.
∴的最大值是10.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,极值、最值,考查恒成立问题的求解方法,体现了分类讨论的数学思想方法,属于难题.
20. (本小题满分13分)已知一直线l与椭圆+=1相交于A、B两点,且弦AB的中点为P(2,1).求直线l的方程;
参考答案:
略
21. 设Sn是等差数列{an}的前n项的和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列{||}的前n项的和,求Tn.
参考答案:
【考点】数列的求和.
【分析】根据等差数列的前n项和公式,再结合条件S7=7,S15=75进而可求出首项a1和公差d,可求sn,进而可求||,讨论当n≤5,Tn,n>6,两种情况,结合等差数列的求和公式即可求解.
【解答】解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则,
,解得:a1=﹣2,d=1,
∴,
||=||,
n≤5,||=﹣+,数列{||}是2为首项,﹣为公差的等差数列,
Tn==n﹣n,
T5=5,
当n≥6,Tn=++…﹣﹣…﹣,
Tn=2T5﹣Tn=n2﹣n+10,
∴Tn=.
22. 某校在两个班进行教学方式对比试验,两个月后进行了一次检测,试验班与对照班成绩统计如2×2列联表所示(单位:人).
80及80分以下
80分以上
合计
试验班
35
15
50
对照班
15
m
50
合计
50
50
n
(1)求m,n;
(2)你有多大把握认为“教学方式与成绩有关系”?
参考公式及数据:K2=,
其中n=a+b+c+d为样本容量.
p(K2≥k)
…
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
…
k
…
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
…
参考答案:
【考点】BL:独立性检验.
【分析】(1)根据列联表中的数据,求出m、n的值;
(2)计算观测值K2,对照临界值得出结论.
【解答】解:(1)根据如2×2列联表知,m=50﹣15=35,
n=50+50=100;
(2)计算观测值K2=
==16>10.828,
所以有99.9%的把握认为“教学方式与成绩有关系”.
【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题,是基础题.