湖北省荆州市农业中学2022年高二数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 直线l:(t为参数)与圆C:(θ为参数)的位置关系是( )
A.相离 B.相切
C.相交且过圆心 D.相交但不过圆心
参考答案:
D
【考点】QH:参数方程化成普通方程.
【分析】把圆的方程及直线的方程化为普通方程,然后利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d,判定发现d小于圆的半径r,又圆心不在已知直线上,则直线与圆的位置关系为相交但不过圆心.
【解答】解:把圆的参数方程化为普通方程得:(x﹣2)2+(y﹣1)2=4,
∴圆心坐标为(2,1),半径r=2,
把直线的参数方程化为普通方程得:x﹣y+1=0,
∴圆心到直线的距离d=<r=2,
又圆心(2,1)不在直线x﹣y+1=0上,
则直线与圆的位置关系为相交但不过圆心.
故选:D.
2. 函数的零点个数是 ( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
参考答案:
C
考点:函数的零点个数的判定.
3. 设函数在上可导,其导函数为,如图是函数的图象,则的极值点是( )
A.极大值点,极小值点 B.极小值点,极大值点
C.极值点只有 D.极值点只有
参考答案:
C
4. 如图所示,正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,EF是异面直线,AC和A1D的公垂线,则EF和BD1的关系是( )
A.相交但不垂直 B.垂直 C.异面 D.平行
参考答案:
D
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系.
【分析】建立以D1为原点的空间直角坐标系D1﹣xyz,设正方形的边长为1,利用向量法,我们易求出BD1与A1D和AC都垂直,根据共垂线的性质,可以得到两条线段平行.
【解答】解:建立以D1为原点的空间直角坐标系D1﹣xyz,且设正方形的边长为1
所以就有D1(0,0,0),B(1,1,0),A1(1,0,0),D(0,0,1),A(1,0,1),C(0,1,1)
所以 =(﹣1,0,1),=(﹣1,1,0),=(﹣1,﹣1,1)
所以 ?=﹣1+1=0 所以A1D⊥BD1,
?=1﹣1=0 所以AC⊥BD1,
所以BD1与A1D和AC都垂直
又∵EF是AC、A1D的公垂线,
∴BD1∥EF
故选D
5. 是直线与直线平行的 ( )
(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件
(C)充要条件 (D)非充分非必要条件
参考答案:
C
略
6. 已知{an}为公比q>1的等比数列,若a2005和a2006是方程4x2-8x+3=0
的两根,则a2007+a2008的值是
A.18 B.19 C.20 D.21
参考答案:
A
解:{an}为公比q>1的等比数列,若a2005和a2006是方程4x2-8x+3=0
的两根,则,,q=3,∴a2005+a2006=2,
故a2007+a2008=(a2005+a2006)q2=2×32=18,故选择A.
7. 2x2-5x-3<0的一个必要不充分条件是( )
A.-<x<3 B.-<x<0 C.-3<x< D.-1<x<6
参考答案:
D
略
8. 如图,正方体的棱长为,点在棱上,且,点是平面上的动点,且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为,则动点的轨迹是( )
A.圆 B.抛物线 C.双曲线 D.直线
参考答案:
B
过点作平面的垂线,垂足为,在平面上过作的垂线,垂足为,连接,由三垂线定理知:,线段的长即为点到直线的距离 ,,过点在平面上作,垂足为,连接,
则平面 , ,又点是平面上的动点,由抛物线的定义知轨迹为抛物线,选B.
9. 对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2,p3,则( )
A.p1=p2<p3 B.p2=p3<p1 C.p1=p3<p2 D.p1=p2=p3
参考答案:
D
考点:等可能事件的概率.
分析:根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论.
解答:解:根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知,无论哪种抽样,每个个体被抽中的概率都是相等的,
即P1=P2=P3,
故选:D
点评:本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质,比较基础.
10. 如图,把周长为1的圆的圆心C放在y轴上,顶点A(0,1),一动点M从A开始逆时针绕圆运动一周,记弧AM=x,直线AM与x轴交于点N(t,0),则函数的图像大致为( )
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 的展开式中的常数项为 .
参考答案:
-5
12. 计算 。
参考答案:
略
13. 已知向量a=(x,4,1),b=(-2,y,-1)且 a∥b ,则x=____,y=_____.
参考答案:
x=2,y=-4
略
14. 在平面直角坐标系xOy,椭圆C的中心为原点,焦点F1F2在x轴上,离心率为.过Fl的直线交于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为 .
参考答案:
+=1
【考点】椭圆的简单性质.
【专题】计算题;压轴题.
【分析】根据题意,△ABF2的周长为16,即BF2+AF2+BF1+AF1=16,结合椭圆的定义,有4a=16,即可得a的值;又由椭圆的离心率,可得c的值,进而可得b的值;由椭圆的焦点在x轴上,可得椭圆的方程.
【解答】解:根据题意,△ABF2的周长为16,即BF2+AF2+BF1+AF1=16;
根据椭圆的性质,有4a=16,即a=4;
椭圆的离心率为,即=,则a=c,
将a=c,代入可得,c=2,则b2=a2﹣c2=8;
则椭圆的方程为+=1;
故答案为: +=1.
【点评】本题考查椭圆的性质,此类题型一般与焦点三角形联系,难度一般不大;注意结合椭圆的基本几何性质解题即可.
15. 一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且该梯形的面积为2,则该梯形的面积为 .
参考答案:
4
考点: 平面图形的直观图.
专题: 空间位置关系与距离.
分析: 把该梯形的直观图还原为原来的梯形,画出图形,结合图形解答问题即可.
解答: 解:把该梯形的直观图还原为原来的梯形,如图所示;
设该梯形的上底为a,下底为b,高为h,
则直观图中等腰梯形的高为h′=hsin45°;
∵等腰梯形的体积为(a+b)h′=(a+b)?hsin45°=2,
∴(a+b)?h==4;
∴该梯形的面积为4.
故答案为:4.
点评: 本题考查了平面图形的直观图的画法与应用问题,解题时应明确直观图与原来图形的区别和联系,是基础题目.
16. 过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作直线与抛物线交于A,B两点,若以AB为直径的圆与直线x=﹣1相切,则抛物线的方程为 .
参考答案:
y2=4x
【考点】抛物线的简单性质.
【分析】判断以AB为直径的圆与抛物线的准线相切,由已知得准线方程为x=﹣2,即可求抛物线的标准方程.
【解答】解:取AB的中点M,分别过A、B、M作准线的垂线AP、BQ、MN,垂足分别为P、Q、N,如图所示:
由抛物线的定义可知,|AP|=|AF|,|BQ|=|BF|,
在直角梯形APQB中,|MN|=(|AP|+|BQ|)=(|AF|+|BF|)=|AB|,
故圆心M到准线的距离等于半径,
∴以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
由已知得准线方程为x=﹣1,
∴=1,∴p=2,
故所求的抛物线方程为y2=4x.
故答案为:y2=4x.
17. 已知圆上任一点,其坐标均使得不等式≥0恒成立,则实数的取值范围是 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中,分别为内角的对边,面积.
(1)求角的大小;
(2)设函数,求的最大值,及取得最大值时角的值.
参考答案:
解:(1)由S=absinC及题设条件得absinC=abcosC
即sinC=cosC, tanC=,
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