山东省聊城市张大屯中学2022年高二数学理下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在复平面内,复数对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
参考答案:
B
略
2. 已知,A,B分别在y轴和x轴上运动,O为原点,,点P的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
3. 4位同学参加某种形式的竞赛,竞赛规则规定:每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答,选甲题答对得分,答错得分;选乙题答对得分,答错得分.若4位同学的总分为0,则这4位同学不同得分情况的种数是( )
A.48 B.44 C.36 D.24
参考答案:
B
略
4. 命题“若,则”的逆否命题是( )
A.若,则. B. 若,则.
C.若,则. D. 若,则.
参考答案:
C
5. 在极坐标系中与圆相切的一条直线的方程为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
6. 若点M( a,)和点N( b,)都在直线l:x + y = 1上,则点P( c,)和点Q(,b )( )
(A)都在l上 (B)都不在l上
(C)点P在l上,点Q不在l上 (D)点Q在l上,点P不在l上
参考答案:
A
7. 已知i为虚数单位,则复数i(1-i)所对应点的坐标为
A. (-1,1) B. (1,1) C. (1,-1) D. (-1,-1)
参考答案:
B
8. 已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为( ).
A. B. C. D.
参考答案:
A
∵,,
一条切线的斜率,
∴,
解得.
故选.
9. 已知椭圆,长轴在y轴上,若焦距为4,则m等于( )
A.4 B.5
C.7 D.8
参考答案:
D
略
10. 函数的定义域是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 双曲线的虚轴长是实轴长的2倍,则 。
参考答案:
12. 已知则___________.
参考答案:
略
13. 周长为20cm的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则圆柱体积的最大值为_______ cm3.
参考答案:
【分析】
设矩形的一边长为x ,则另一边长为 ,,再利用圆柱的体积公式求得体积的解析式,然后利用基本不等式可求得最大值.
【详解】设矩形的一边长为x ,则另一边长为 ,,
则圆柱的体积==,
当且仅当,即时等号成立.
故答案为: .
【点睛】本题考查了圆柱的体积公式和基本不等式,属中档题.
14. 已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为__________.
参考答案:
略
15. 设定义在上的函数, 则不等式f (x?1)+f (1?x2)<0的解集为 _ ▲____
参考答案:
16. 已知(﹣)n展开式中所有项的二项式系数和为32,则其展开式中的常数项为 .
参考答案:
﹣80
【考点】DB:二项式系数的性质.
【分析】由条件求得 n=5,在展开式的通项公式中,令x的幂指数等于零,求得r的值,可得展开式中的常数项.
【解答】解:由题意可得 2n=32,∴n=5,
∴(﹣)n=(﹣)5展开式的通项公式为 Tr+1=?(﹣2)r?.
令=0,求得r=3,∴展开式中的常数项为?(﹣2)3=﹣80,
故答案为:﹣80.
17. 若函数的图象的相邻两条对称轴的距离是,则的值为 .
参考答案:
1
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,CC1⊥底面ABC,AC⊥CB,点D是AB的中点.
(Ⅰ)求证:AC⊥BC1;
(Ⅱ)求证:AC1∥平面CDB1.
(Ⅲ)设AB=2AA1,AC=BC,在线段A1B1上是否存在点M,使得BM⊥CB1?若存在,确定点M的位置;若不存在,说明理由.
参考答案:
【考点】直线与平面垂直的性质;直线与平面平行的判定.
【专题】证明题;图表型;数形结合;数形结合法;空间位置关系与距离.
【分析】(I)先证明CC1⊥AC,又AC⊥BC,BC∩CC1=C,可证AC⊥平面BCC1B1,从而可证AC⊥BC1.
(Ⅱ)设CB1与C1B的交点为E,连结DE,可证DE∥AC1.即可判定AC1∥平面CDB1.
(Ⅲ)可证AA1⊥CD,CD⊥AB,从而证明CD⊥平面AA1B1B,取线段A1B1的中点M,连接BM.可证CD⊥BM,BM⊥B1D,即可证明BM⊥平面B1CD,从而得证BM⊥CB1.
【解答】(本小题满分14分)
证明:(I)在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,因为CC1⊥底面ABC,AC?底面ABC,
所以CC1⊥AC.
又AC⊥BC,BC∩CC1=C,
所以AC⊥平面BCC1B1.
而BC1?平面BCC1B1,
则AC⊥BC1.…
(Ⅱ)设CB1与C1B的交点为E,连结DE,
因为D是AB的中点,E是BC1的中点,
所以DE∥AC1.
因为DE?平面CDB1,AC1?平面CDB1,
所以AC1∥平面CDB1.…
(Ⅲ)在线段A1B1上存在点M,使得BM⊥CB1,且M为线段A1B1的中点.
证明如下:因为AA1⊥底面ABC,CD?底面ABC,
所以AA1⊥CD.
由已知AC=BC,D为线段AB的中点,
所以CD⊥AB.
又AA1∩AB=A,
所以CD⊥平面AA1B1B.
取线段A1B1的中点M,连接BM.
因为BM?平面AA1B1B,所以CD⊥BM.
由已知AB=2AA1,由平面几何知识可得BM⊥B1D.
又CD∩B1D=D,所以BM⊥平面B1CD.
又B1C?平面B1CD,
所以BM⊥CB1.…
【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定和性质,考查了空间想象能力和推理论证能力,属于中档题.
19. 一袋中装有10个大小相同的黑球和白球,已知从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是,
(1)求白球的个数;
(2)从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为X,求X的分布列.
参考答案:
解: (1)记“从袋中任意摸出2个球,至少得到一个白球”为事件A,设袋中白球的个数为x,
则P(A)=1-=, ………………… 2分
即
得到x=5,故白球有5个. ………………… 5分
(2)X服从超几何分布,其中N=10,M=5,n=3,
其中P(X=k)=,k=0,1,2,3.
于是可得其分布列为
…………12 分
20. 已知函数.
(1)证明;
(2)如果对恒成立,求a的范围.
参考答案:
解:(1)证明:
故
(2)由题意知恒成立,
设,则
,
符合题意
,
即
单调递减
不合题意
综上,的取值范围为
21. 设复数,试求m取何值时
(1)Z是实数; (2)Z是纯虚数;
参考答案:
略
22. 若两集合,, 分别从集合中各任取一个元素、,即满足,,记为,
(Ⅰ)若,,写出所有的的取值情况,并求事件“方程所对应的曲线表示焦点在轴上的椭圆”的概率;
(Ⅱ)求事件“方程所对应的曲线表示焦点在轴上的椭圆,且长轴长大于短轴长的倍”的概率.
参考答案:
解:(Ⅰ)由题知所有的的取值情况为:,,,,,,,,,,,,,,,共16种,
若方程所对应的曲线表示焦点在轴上的椭圆,则,即,
对应的的取值情况为:,,,,,共6种,该事件概率为;
(Ⅱ)由题知,,椭圆长轴为,短轴为,
由,得,如图所示,
该事件概率为
略