2022年江苏省南京市育才实验中学高一数学文月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在,已知,则( ▲ )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
2. 菱形ABCD边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别别在BC,CD上,=λ,=μ,若?=1,?=﹣,则λ+μ=( )
A.
B.
C.
D.
参考答案:
C
3. 方程3x+x=3的解所在的区间为:
A、(0,1) B、(1,2) C、(2,3) D、(3,4)
参考答案:
A
4. 直线x﹣y﹣=0的倾斜角是( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
参考答案:
A
【考点】直线的倾斜角.
【专题】计算题;规律型;直线与圆.
【分析】求出直线的斜率,然后求解倾斜角.
【解答】解:直线x﹣y﹣=0的斜率为:
倾斜角是α,则tanα=,
可得α=30°.
故选:A.
【点评】本题考查直线的斜率与直线的倾斜角的关系,考查计算能力.
5. 已知实数满足,则的最小值为
A.3 B.4 C.5 D.6
参考答案:
B
6. 已知等差数列和的前n项和分别为和,且,则的值为()
A. B. C. D.
参考答案:
D
7. 函数 (x∈R)的值域是( )
A. [0,1) B.(0,1) C.(0,1] D.[0,1]
参考答案:
C
8. 若非零向量,满足,则与的夹角为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【考点】平面向量数量积的运算.
【专题】计算题;对应思想;综合法;平面向量及应用.
【分析】对两边平方求出数量积与模长的关系,代入夹角公式计算.
【解答】解:设=t,则2t2+2=t2,∴=﹣,
∴cos<>==﹣.∴<>=.
故选D.
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算,夹角计算,属于基础题.
9. 经过点A(﹣1,4)且在x轴上的截距为3的直线方程是( )
A.x+y+3=0 B.x﹣y+5=0 C.x+y﹣3=0 D.x+y﹣5=0
参考答案:
C
【考点】直线的截距式方程.
【分析】求出直线的斜率,然后求解直线方程.
【解答】解:过点A(﹣1,4)且在x轴上的截距为3的直线的斜率为: =﹣1.
所求的直线方程为:y﹣4=﹣1(x+1),
即:x+y﹣3=0.
故选C.
10. 若向量与的夹角为60°,||=4,( +2)?(﹣3)=﹣72,则向量的模为( )
A.2 B.4 C.6 D.12
参考答案:
C
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】根据平面向量数量积与夹角、模长的关系计算(+2)?(﹣3)=﹣72,即可求出的模长.
【解答】解:向量与的夹角为60°,||=4,
且(+2)?(﹣3)=||2﹣||||cos60°﹣6||2
=||2﹣2||﹣96
=﹣72,
∴||2﹣2||﹣24=0,
即(||﹣6)?(||+4)=0;
解得||=6,
∴向量的模为6.
故选:C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. (5分)设f(x)是定义域为R,最小正周期为的函数,若,则等于 .
参考答案:
考点: 三角函数的周期性及其求法;运用诱导公式化简求值.
专题: 计算题.
分析: 先根据函数的周期性可以得到=f()=f(),再代入到函数解析式中即可求出答案.
解答: ∵,最小正周期为
=f()=f()=sin=
故答案为:
点评: 本题主要考查函数周期性的应用,考查计算能力.
12. 函数在区间上递增,则实数的取值范围是 。
参考答案:
13. 函数的定义域是 .
参考答案:
14. =
参考答案:
15. 已知函数f(x)对任意的x∈R满足f(﹣x)=f(x),且当x≥0时,f(x)=x2﹣ax+1,若f(x)有4个零点,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
(2,+∞)
【考点】函数奇偶性的性质.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】由f(﹣x)=f(x),可知函数是偶函数,根据偶函数的对称轴可得当x≥0时函数f(x)有2个零点,即可得到结论.
【解答】解:∵f(﹣x)=f(x),
∴函数f(x)是偶函数,
∵f(0)=1>0,
根据偶函数的对称轴可得当x≥0时函数f(x)有2个零点,
即,∴,
解得a>2,
即实数a的取值范围(2,+∞),
故答案为:(2,+∞)
【点评】本题主要考查函数奇偶的应用,以及二次函数的图象和性质,利用偶函数的对称性是解决本题的关键.
16. 集合 与集合的元素个数相同,则的取值集合为__________________.
参考答案:
17. 求888和1147的最大公约数________.最小公倍数_______
参考答案:
最大公约数37.最小公倍数27528.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数
(1)解关于x的不等式;
(2)若,令,求函数的最小值.
参考答案:
(1)答案不唯一,具体见解析(2)-1
【分析】
(1)讨论的范围,分情况得的三个答案.
(2) 时,写出表达式,利用均值不等式得到最小值.
【详解】(1)
①当时,不等式的解集为,
②当时,不等式的解集为,
③当时, 不等式的解集为
(2)若时,令(当且仅当,即时取等号).
故函数的最小值为.
【点睛】本题考查了解不等式,均值不等式,函数的最小值,意在考查学生的综合应用能力.
17.(8分)已知, ,为锐角,
求 (1)的值.(2)的值.
参考答案:
17. (1)=
(2)=
略
20. 已知函数f(x)=log2
(1)判断f(x)的奇偶性并证明;
(2)若f(3m+1)<f(m),求m的取值范围.
参考答案:
【考点】复合函数的单调性;函数奇偶性的判断;对数函数的图象与性质.
【分析】(1)f(x)为奇函数,结合对数的运算性质和奇偶性的定义,可得答案.
(2)根据复合函数的单调性“同增异减”的原则,可得f(x)在定义域(﹣1,1)上是减函数,则f(3m+1)<f(m)可化为:﹣1<m<3m+1<1,解得答案.
【解答】解:(1)f(x)为奇函数,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1分)
证明如下:
因为,定义域为(﹣1,1)关于原点对称﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
f(﹣x)=,
∴f(x)+f(﹣x)=0,即f(﹣x)=﹣f(x),
故f(x)为奇函数﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6分)
(2)令u==﹣1为(﹣1,1)上的减函数,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分)
由复合函数的单调性可知f(x)在定义域(﹣1,1)上是减函数,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9分)
所以f(3m+1)<f(m)可化为:﹣1<m<3m+1<1,
解得:<m<0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12分)
【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性,函数的奇偶性,对数函数的图象和性质,难度中档.
21. 设,.
(1)求的值;
(2)求与夹角的余弦值.
参考答案:
(Ⅰ)
(Ⅱ)因为,,
所以.
22. (本小题满分12分)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的图象与y轴的交点为,它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为,
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)将y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),然后再将所得图象沿x轴正方向平移个单位,得到函数y=g(x)的图象.写出g(x)的解析式。
参考答案: