陕西省咸阳市如意中学高三数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在平面直角坐标系xOy中,设.若不等式组,所表示平面区域的边界为三角形,则a的取值范围为()
A.(1,+∞) B.(0,1) C.(-∞,0) D. (-∞,1)∪(1,+∞)
参考答案:
A
化简,得到,即表示直线的上面部分;化简,得到,即表示直线的上面部分。又因为两直线交于(0,1)点,且与所包围区域为三角形,所以
2. 已知函数f(x)=,关于x的方程f2(x)﹣2af(x)+a﹣1=0(a∈R)有四个相异的实数根,则a的取值范围是( )
A.(﹣1,) B.(1,+∞) C.(,2) D.(,+∞)
参考答案:
D
【考点】54:根的存在性及根的个数判断.
【分析】将函数f(x)表示为分段函数形式,判断函数的单调性和极值,利用换元法将方程转化为一元二次方程,利用一元二次函数根与系数之间的关系进行求解即可.
【解答】解:当x>0时,f(x)=,函数的导数f′(x)==,
当x>1时,f′(x)>0,当0<x<1时,f′(x)<0,则当x=1时 函数取得极小值f(1)=e,
当x<0时,f(x)=﹣,函数的导数f′(x)=﹣=﹣,此时f′(x)>0恒成立,
此时函数为增函数,
作出函数f(x)的图象如图:
设t=f(x),则t>e时,t=f(x)有3个根,
当t=e时,t=f(x)有2个根
当0<t<e时,t=f(x)有1个根,
当t≤0时,t=f(x)有0个根,
则f2(x)﹣2af(x)+a﹣1=0(m∈R)有四个相异的实数根,
等价为t2﹣2at+a﹣1=0(m∈R)有2个相异的实数根,
其中0<t<e,t>e,
设h(t)=t2﹣2at+a﹣1,
则,即,即,
即a>,
即实数a的取值范围是(,+∞),
故选:D
3. .设x、y满足 则
A.有最小值2,最大值3 B.有最小值2,无最大值
C.有最大值3,无最大值 D.既无最小值,也无最大值
参考答案:
B
做出可行域如图(阴影部分)。由得,做直线,平移直线由图可知当直线经过点C(2,0)时,直线的截距最小,此时z最小为2,没有最大值,选B.
4. 阅读右面的程序框图,输出结果s的值为
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
5. 设函数,的定义域都为R,且是奇函数,是偶函数,则下列结论中正确的是( )
A.是偶函数 B.||是奇函数
C.||是奇函数 D.||是奇函数
参考答案:
C
略
6. 点P在双曲线上,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点∠F1PF2=90°,且△F1PF2的三条边长之比为3:4:5.则双曲线的渐近线方程是
A. B. C. D.
参考答案:
7. 等差数列的前n项和为,若,则等于 ( )
A.52 B.54 C.56 D.58
参考答案:
A
8. 集合M={x||x﹣3|<4},N={x|x2+x﹣2<0,x∈Z},则 M∩N( )
A.
{0}
B.
{2}
C.
?
D.
{x|2≤x≤7}
参考答案:
A
考点:
交集及其运算.3794729
专题:
计算题.
分析:
解绝对值不等式求出集合M,解二次不等式求出集合N,利用交集是定义求出M∩N即可.
解答:
解:因为|x﹣3|<4,所以﹣1<x<7,所以M={x|﹣1<x<7};
因为x2+x﹣2<0,所以﹣2<x<1,所以N={x|x2+x﹣2<0,x∈Z}={﹣1,0};
则 M∩N={x|﹣1<x<7}∩{﹣1,0}={0}.
故选A.
点评:
本题考查不等式的解法,求集合的交集的运算,注意集合中元素的限制条件,否则容易出错,是高考常会考的题型.
9. 以平行六面体ABCD—A′B′C′D′的任意三个顶点为顶点作三角形,从中随机取出两个三角形,则这两个三角形不共面的概率p为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
答案:A
10. 已知A、B、P是双曲线上不同的三点,且A、B连线经过坐标原点,若直线PA、PB的斜率乘积,则该双曲线的离心率为
A. B. C. 2 D.3
参考答案:
C
由题意,设A(x1,y1),P(x2,y2),则B(﹣x1,﹣y1)
∴kPA?kPB=
∵
∴两式相减可得 ,
∵kPA?kPB=3,
∴
∴
∴e=2
故选:C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. (5分)在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=2,∠BAD=60°,若=+m(0<m<1),则?的取值范围是 .
参考答案:
[﹣,﹣1)
考点: 平面向量数量积的运算.
专题: 计算题;函数的性质及应用;平面向量及应用.
分析: 运用向量的数量积的定义可得,?=4,运用向量的三角形法则,化简?=4m2﹣2m﹣3,再由二次函数在闭区间上的最值求法,即可得到范围.
解答: ?=||?||?cos60°=4×=4,
若=+m(0<m<1),
则?=?=(+m)?(﹣)=(+m)?(m﹣)
=m2﹣﹣m=4m2﹣2m﹣3=4(m﹣)2﹣,
由于0<m<1,则m=,取得最小值﹣,
又m=0,4m2﹣2m﹣3=﹣3;m=1,4m2﹣2m﹣3=﹣1.
则有?的取值范围为[﹣,﹣1).
故答案为:[﹣,﹣1).
点评: 本题考查平面向量的数量积的定义和性质,考查二次函数的最值,考查运算能力,属于中档题和易错题.
12. 已知函数和的定义域均为R,是偶函数,是奇函数,且的图像过点,,则 .
参考答案:
-6
13. 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是_________.
参考答案:
略
14. (5分)(2015?嘉峪关校级三模)设命题p:2x2﹣3x+1≤0,命题q:x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0,若q是p的必要不充分条件,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
【考点】: 必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【专题】: 集合.
【分析】: 利用不等式的解法,利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论.
解:由2x2﹣3x+1≤0得≤x≤1,即p:≤x≤1,
由x2﹣(2a+1)x+a(a+1)≤0得(x﹣a)(x﹣a﹣1)≤0,
即a≤x≤a+1,即q:a≤x≤a+1,
若q是p的必要不充分条件,
则,即,即0≤a≤,
故答案为:.
【点评】: 本题主要考查充分条件和必要条件的应用,利用不等式的解法求出不等式的解是解决本题的关键,比较基础.
15. 直线是曲线的一条切线,则实数=
参考答案:
略
16. 函数f(x)=xex在点(1,f(1))处的切线的斜率是 .
参考答案:
2e
考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程.
专题: 导数的综合应用.
分析: 求出原函数的导函数,在导函数解析式中取x=1得答案.
解答: 解:∵f(x)=xex,
∴f′(x)=ex+xex,
则f′(1)=2e.
故答案为:2e.
点评: 本题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,考查了基本初等函数的导数公式,是基础题.
17. 若函数有三个不同的零点,则实数的取值范围是 .
参考答案:
由,得,当,得,由图象可知,要使函数有三个不同的零点,则有,即,所以实数的取值范围是。
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分)设函数f(θ)=,其中,角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点P(x,y),且0≤θ≤π.
(Ⅰ)若点P的坐标为,求f(θ)的值;
(Ⅱ)若点P(x,y)为平面区域Ω:上的一个动点,试确定角θ的取值范围,并求函数f(θ)的最小值和最大值.
参考答案:
【考点】: 任意角的三角函数的定义;二元一次不等式(组)与平面区域;三角函数的最值.
【专题】: 三角函数的图像与性质.
【分析】: (Ⅰ)由已知中函数f(θ)=,我们将点P的坐标代入函数解析式,即可求出结果.
(Ⅱ)画出满足约束条件的平面区域,数形结合易判断出θ角的取值范围,结合正弦型函数的性质我们即可求出函数f(θ)的最小值和最大值.
解(Ⅰ)由点P的坐标和三角函数的定义可得:
于是f(θ)===2
(Ⅱ)作出平面区域Ω(即△ABC)如图所示,
其中A(1,0),B(1,1),C(0,1).
因为P∈Ω,所以0≤θ≤,
∴f(θ)==,
且,
故当,即时,f(θ)取得最大值2;
当,即θ=0时,f(θ)取得最小值1.
【点评】: 本题主要考查三角函数、不等式等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.
19. 如图所示,一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时,滴管内匀速滴下球状液体,其中球状液体的半径毫米,滴管内液体忽略不计.
(1)如果瓶内的药液恰好分钟滴完,问每分钟应滴下多少滴?
(2)在条件(1)下,设输液开始后(单位:分钟),瓶内液面与进气管的距离为(单位:厘米),已知当时,.试将表示为的函数.(注:)
参考答案:
略
20. (本小题满分14分)
已知函数 。
(I)若曲线在点处的切线与直线垂直,求a的值;
(II)求的单调区间;
(III)若,函数,如果对任意的,总存在,求实数b的取值范围。
参考答案:
【知识点】导数的应用B12
【答案解析】(I)a=2(II)增区间是(0,),减区间为(,+∞)
(III)(-∞,ln2-3]∪[3-ln2,+∞)
(Ⅰ)函数f(x)=lnx-ax的导数为f′(x)=-a,
则在点(1,f(1))处的切线斜率为1-a,由于切线与直线x-y+1=0垂直,则1-a=-1,则a=2;
(Ⅱ)f′(x)=-a=(x>0),
当a≤0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上递增,
当a>0时,f′(x)>0时,0<x<,f′(x)<0时,x>.
综上,a≤0时,f(x)只有增区间:(0,+∞),a>0时,f(x)的增区间是(0,),
减区间为(,+∞);
(Ⅲ)a=1时,f(x)=lnx-x,由(Ⅱ)知f(x)在(1,2)上递减,则f(x)的值域为(ln2-2,-1),
由于g(x)=bx3-bx的导数为g′(x)=b(x2-1),
则当b>0时,g′(x)>0,g(x)在(1,2)上递增,g(x)的值域为(-b,b);
当b<0时,g′(x)<0,g(x)在(1,2)上递减,g(x)的值域为(b,-b);
由于对任意的x1∈(1,2),总存在x2∈(1,2),使得f(x1)=g(x2),
则b>0时,(ln2-2,-1)(-b,b),则有-b≤ln2-2,即有b≥3-ln2;
b<0时,(ln2-2,-1)(b,-b),则有b≤ln2-2,即有b≥ln2-3.
综上,可得实数b的取值范围是(-∞,ln2-3]∪[3-ln2,+∞).
【思路点拨】(Ⅰ)求出函数的导