2022-2023学年上海职业高级中学(凌云校区)高二数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 与直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线方程为( )
A.3x-4y-5=0 B.3x+4y+5=0
C.3x-4y+5=0 D.3x-4y-5=0
参考答案:
B
2. 某班有40名学生,其中有15人是共青团员.现将全班分成4个小组,第一组有学生10人,共青团员4人,从该班任选一个学生代表.在选到的学生代表是共青团员的条件下,他又是第一组学生的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
3. 已知互不重合的三个平面,,,命题:若,,则;命题:若上不共线的三点到的距离相等,则,下列结论中正确的是( ).
A.命题“且”为真 B.命题“或”为假
C.命题“或”为假 D.命题“且”为假
参考答案:
C
若,,与可能相交,也可能平行,∴是假命题,
若上不共线三点分布在两侧时,与相交,∴是假命题.
∴或为假命题,故选.
4. 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积是
A.16π B.20π C.24π D.32π
参考答案:
C
5. 用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=时,第一步验证n=1时,左边应取的项是( )
A. 1 B. 1+2 C. 1+2+3 D. 1+2+3+4
参考答案:
D
6. 抛物线的焦点坐标是( )
A.(4,0) B.(2,0) C.(1,0) D.(,0)
参考答案:
C
,抛物线的焦点是,故选C;
7. 用反证法证明:若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么a、b、c中至少有一个是偶数.用反证法证明时,下列假设正确的是( )
A.假设a、b、c都是偶数 B.假设a、b、c都不是偶数
C.假设a、b、c至多有一个偶数 D.假设a、b、c至多有两个偶数
参考答案:
B
8. 已知平面内有一点,平面的一个法向量为,则下列点中,在平面内的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
9. 如右下图:已知点O为正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列结论正确的是( )
A、直线OA1⊥直线AD
B、直线OA1∥直线BD1
C、直线OA1⊥平面AB1C1
D、直线OA1∥平面CB1D1
参考答案:
D
10. 定义在上的函数,如果对于任意给定的等比数列, 仍
是等比数列,则称为“保等比数列函数”. 现有定义在上的如下函数:①; ②; ③; ④.
则其中是“保等比数列函数”的的序号为 ( )
A.① ② B.③ ④ C.② ④ D.① ③
参考答案:
D
等比数列性质,,①; ②;③;④.选D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若a,b,c成等差数列,则直线ax+by+c = 0被椭圆截得线段的中点的轨迹方程为
参考答案:
解析: 由a-2b+c=0知,直线过定点P(1,-2)。又点P在椭圆上,所以P为所截线段的一个端点,设另一端点为Q(x1,y-1),线段PQ的中点为M(x0,y0),则。因为点
Q(x1,y-1)在椭圆上,所以=1。故得中点M轨迹方程为
12. 现从8名学生中选出4人去参加一项活动,若甲、乙两名同学不能同时入选,则共有 种不同的选派方案.(用数字作答)
参考答案:
55
【考点】D3:计数原理的应用.
【分析】根据题意,这2位同学要么只有一个参加,要么都不参加,则分两种情况讨论:①、若甲、乙两名位同学只有一个参加,只需从剩余的6人中再取出3人参加,②、若甲、乙2位同学都不参加,只需从剩余的6人中取出4人参加,由组合公式计算可得其情况数目,由分类计数原理,计算可得答案.
【解答】解:根据题意,分两种情况讨论:
①、甲、乙两位同学都只有一个参加,只需从剩余的6人中再取出3人参加,有=40种选派方法,
②、甲、乙两位同学都不参加,只需从剩余的6人中取出4人参加,有C64=15种选派方法,
由分类计数原理,共有40+15=55种;
故答案为:55,
13. 为虚数单位,实数满足,则 .
参考答案:
2
14. 将直角沿斜边上的高AD折成的二面角,已知直角边,,那么二面角的正切值为 ;
参考答案:
15. 由曲线与y=x,x=4以及x轴所围成的封闭图形的面积是______;
参考答案:
16. 命题“?x∈R,ax2﹣2ax+5>0恒成立”是假命题,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
a<0,或a≥5
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】若命题“?x∈R,ax2﹣2ax+5>0恒成立”是假命题,则命题“?x∈R,使ax2﹣2ax+5≤0”是真命题,即a<0,或,解得答案.
【解答】解:∵命题“?x∈R,ax2﹣2ax+5>0恒成立”是假命题,
∴命题“?x∈R,使ax2﹣2ax+5≤0”是真命题,
∴a<0,或,
解得:a<0,或a≥5.
故答案为:a<0,或a≥5
17. 在各项为正数的等比数列{an}中,若a3·a7=4,则数列{}前9项之和为____
参考答案:
-9
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=ax﹣lnx;g(x)=.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)求证:若a=e(e是自然常数),当x∈[1,e]时,f(x)≥e﹣g(x)恒成立;
(3)若h(x)=x2[1+g(x)],当a>1时,对于?x1∈[1,e],?x0∈[1,e],使f(x1)=h(x0),求a的取值范围.
参考答案:
【考点】6E:利用导数求闭区间上函数的最值;6B:利用导数研究函数的单调性.
【分析】(1)推导出,由此利用导数性质能讨论函数f(x)的单调性.
(2)当a=e时,f(x)=ex﹣lnx,,由此利用构造法和导数性质能证明a=e(e是自然常数),当x∈[1,e]时,f(x)≥e﹣g(x)恒成立.
(3)由,a>1时,求出f(x)的值域是[a,ae﹣1],由此利用导数性质能求出a的取值范围.
【解答】解:(1)∵f(x)=ax﹣lnx,∴x>0,,
∵x>0,
∴当a≤0时,f′(x)<0,∴f(x)在(0,+∞)上是减函数,
当a>0时,若x>,则f′(x)>0,∴f(x)在(,+∞)上是增函数,
若0<x<,则f′(x)<0,∴f(x)在(0,)上是减函数.
综上所述,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上是减函数,
当a>0时,f(x)在(,+∞)上是增函数,在(0,)上是减函数.
证明:(2)当a=e时,f(x)=ex﹣lnx,
∴,∴x∈[1,e]时,f′(x)>0恒成立.
f(x)=ex﹣lnx在[1,e]上是单调递增函数,∴f(x)min=f(1)=e,
令H(x)=e﹣g(x)=e﹣,则H′(x)=,x∈[1,e]时,H′(x)≤0,
∴H(x)在[1,e]上单调递减,H(x)max=H(1)=e,
∴f(x)≥H(x),即f(x)≥e﹣g(x).
故a=e(e是自然常数),当x∈[1,e]时,f(x)≥e﹣g(x)恒成立.
解:(3)∵,a>1时,由x∈[1,e],得f′(x)>0,
∴f(x)=ax﹣lnx在[1,e]上单调递增,
f(x)min=f(1)=a,f(x)max=f(e)=ae﹣1,即f(x)的值域是[a,ae﹣1],
由h(x)=x2+1﹣lnx,得,∴x∈[1,e]时,h′(x)>0,
h(x)在[1,e]上单调递增,
∴h(x)min=h(1)=2,h(x)max=h(e)=e2,即h(x)的值域是[2,e2],
?x1∈[1,e],?x0∈[1,e],有f(x1)=h(x0),
∴f(x)的值域是h(x)的值域的子集,
∴,∴.
∴a的取值范围是[2,e+].
19. 如图直角梯形OADC中,OA∥CD,∠D=60°,OA=1,CD=2,在梯形内挖去一个以OA为半径的四分之一圆,图中阴影部分绕OC所在直线旋转一周,求该旋转体的体积和表面积.
参考答案:
【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台).
【专题】计算题;转化思想;空间位置关系与距离;立体几何.
【分析】旋转后几何体是一个圆台,从上面挖去一个半球,根据数据利用面积公式与体积公式,可求其表面积和体积.
【解答】解:旋转后几何体是一个圆台,从上面挖去一个半球,
∵,∠D=60°,OA=1,CD=2,
故圆台的上底和半球的半径为1,
圆台的下底半径为:2,
圆台的母线长为:2,
圆台的高为:,
所求旋转体的表面积由三部分组成:
圆台下底面、侧面和一半球面;
S半球=2π,S圆台侧=6π,S圆台底=4π.
故所求几何体的表面积为:2π+6π+4π=12π;
由V圆台=π(12++22]×=π,
V半球=π×13=π;
所以,旋转体的体积为V圆台﹣V半球=π
【点评】本题考查组合体的面积、体积问题,考查空间想象能力,数学公式的应用,是中档题.
20. 近年空气质量逐步恶化,雾霾天气现象出现增多,大气污染危害加重,大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解某市心肺疾病是否与性别有关,在某医院随机对入院的50人进行了问卷调查得到了如下的列联表:
患心肺疾病
不患心肺疾病
合计
男
5
女
10
合计
50
已知在全部50人中随机抽取1人,抽到患心肺疾病的人的概率为.
(1)请将上面的列联表补充完整;
(2)是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关?说明你的理由;
临界值表供参考:
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
参考答案:
(1) 见解析;(2)有
(1)列联表补充如下:
患心肺疾病
不患心肺疾病
合计
男
20
5
25
女
10
15
25
合计
30
20
50
(2)因为K2的观测值K2=,
所以K2≈8.333,
又P(K2≥7.789)=0.005=0.5%.
那么,我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的.
21. (14分)在正方体中,如图E、F分别是 ,CD的中点,
(1)求证:;
(2)求.
参考答案:
建立如图所示的直角坐标系,(1)不妨设正方体的棱长为1,
则D(0,0,0),A(1,0,0),(0,0,1),
E(1,1,),F(0,,0),
则=(0,,-1),=(1,0,0),
=(0,1,),
=0,.
(2)(1,1,1),C(0,1,0),故=(1,0,1),=(-1,-,-),
=-1+0-=-,
,,
则cos.
.
22. 在中,角的对边分别是,.
(1)求角;
(2)若,的面积,求的值.