湖南省永州市赤塘中学高二数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知为R上的奇函数,,则数列的通项公式为
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
2. 若直线与双曲线的右支交于不同的两点,那么的取值范围是( )
A.() B.() C.() D. ()
参考答案:
D
3. 用反证法证明命题:“若a,b,c为不全相等的实数,且a+b+c=0,则a,b,c至少有一个负数”,假设原命题不成立的内容是( )
A.a,b,c都大于0 B.a,b,c都是非负数
C.a,b,c至多两个负数 D.a,b,c至多一个负数
参考答案:
B
【考点】反证法与放缩法.
【分析】用反证法证明数学命题时,应先假设结论的否定成立.
【解答】解:“a,b,c中至少有一个负数”的否定为“a,b,c都是非负数”,
由用反证法证明数学命题的方法可得,应假设“a,b,c都是非负数”,
故选:B.
4. 关于x的方程ax2+2x-1=0至少有一个正的实根,则a的取值范围是
A.a≥0 B.-1≤a<0 C.a>0或-1<a<0 D.a≥-1
参考答案:
D
略
5. 用0、1、2能组成没有重复数字的自然数个数是 ( )
(A) 15 (B) 11 (C) 18 (D) 27
参考答案:
B
略
6. 已知数列中,,,若为等差数列,则=( )
A.0 B. C. D.2
参考答案:
A
略
7. 如图,已知A(4,0)、B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是( )
参考答案:
A
略
9. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是
A. B. C. D.
参考答案:
A
9. 两圆和的位置关系是( )
A.相离 B.相交 C.内切 D.外切
参考答案:
B 解析:
10. 已知定义域为(-l,1)的奇函数 又是减函数,且 ,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图,在平面直角坐标系x O y中,点A为椭圆E :的左顶点,B、C在椭圆E上,若四边形OABC为平行四边形,且∠OAB=30°,则椭圆E的离心率等于___________.
参考答案:
略
12. 已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,P是椭圆上的一点,Q是PF1的中点,若,则 .
参考答案:
6
13. 在(2x+1)(x﹣1)5的展开式中含x3项的系数是 (用数字作答).
参考答案:
﹣10
【考点】DC:二项式定理的应用.
【分析】把(x﹣1)5 按照二项式定理展开,可得(2x+1 ) (x﹣1)5展开式中含x3项的系数.
【解答】解:∵(2x+1)( x﹣1)5=(2x+1)(?x5﹣?x4+?x3﹣?x2+?x﹣)
故含x3项的系数是2(﹣ )+=﹣10,
故答案为:﹣10.
【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于基础题.
14. 在的展开式中,只有第项的二项式系数最大,则展开式中常数项是 。
参考答案:
15
15. 已知i为虚数单位,复数在复平面内对应的点在直线上,则z的共轭复数________.
参考答案:
【分析】
把复数对应的点的坐标代入直线上,由此得到复数,即可求出答案
【详解】复数在复平面内对应的点为,代入直线,可得,解得:,故复数,所以复数的共轭复数;
故答案为
【点睛】本题主要考查复数对应点的坐标以及与共轭复数的关系,属于基础题。
16. 在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 .
参考答案:
(x﹣1)2+y2=2
【考点】圆的标准方程;圆的切线方程.
【分析】求出圆心到直线的距离d的最大值,即可求出所求圆的标准方程.
【解答】解:圆心到直线的距离d==≤,
∴m=1时,圆的半径最大为,
∴所求圆的标准方程为(x﹣1)2+y2=2.
故答案为:(x﹣1)2+y2=2.
17. 抛物线上一点P到其焦点的距离为9,则其横坐标为___ ____。
参考答案:
7
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (3)设圆Q:与椭圆有且只有一个公共点,过椭圆上一点作圆Q的切线、,切点为,求的最大值.
参考答案:
(1)由题意得,,得,,,
∴所求椭圆方程为.………………………………………………………5分
(2)设点横坐标为,则,
∵,∴.
∴的取值范围是 ………………………………………………………10分
(3)由题意得,,即圆心Q为,
设,则
,
∵,即,∴,
易得函数在上单调递减,在上单调递增,
∴时,. …………………………………16分
19. (12分)已知过点A(0,1)且斜率为的直线与圆C:相交于M、N两点。
(1)求实数的取值范围
(2)求证:为定值
(3)若O为坐标原点,且,求K值。
参考答案:
由
由△得
(2)
为定值
(3)
得,符合△。
20. (本小题12分)已知函数
(1)写出函数的递减区间;
(2)讨论函数的极大值或极小值,如有试写出极值;
参考答案:
令,得,,
x变化时,的符号变化情况及的增减性如下表所示:
-1
3
+
0
-
0
+
增
极大值
减
极小值
增
(1)由表可得函数的递减区间为
(2)由表可得,当时,函数有极大值;当时,函数有极小值.
21. 为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区100名年龄为17.5岁~18岁的男生体重(kg),得到频率分布直方图如下:求:
(1)根据直方图可得这100名学生中体重在(56,64)的学生人数.
(2)请根据上面的频率分布直方图估计该地区17.5-18岁的男生体重.
(3)若在这100名男生中随意抽取1人,该生体重低于62的概率是多少?
参考答案:
(1)40;(2)65.2kg;(3)P=0.28
【分析】
(1)根据频率直方图的性质,即可求解这100名学生中体重在(56,64)的学生人数;
(2)根据频率分布直方图中样本的平均数的计算公式,即可求解;
(3)根据频率分布直方图的性质,即可求得样本数据中低于62kg的频率。
【详解】(1)根据频率直方图得,这100名学生中体重在(56,64)的学生人数为:
(人);
(2)根据频率分布直方图得,样本的平均数是:
即利用平均数来衡量该地区17.5-18岁的男生体重是65.2kg;
(3)根据频率分布直方图得,样本数据中低于62kg的频率是 ,
∴这100名男生中随意抽取1人,该生体重低于62kg的概率是.
【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用,其中解答中熟记频率分布直方图的性质,合理计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题。
22. (本小题满分12分)
如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求B点在AM上,D点在AN上,且对角线MN过C点,已知AB=3米,AD=2米.
(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则DN的长应在什么范围内?
(2)当DN的长为多少时,矩形花坛AMPN的面积最小?并求出最小值.
参考答案: