2022-2023学年四川省宜宾市月江中学高二数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有多少种( )
A.1440 B.960 C.720 D.480
参考答案:
B
略
2. 如果执行下边的程序框图,输入x=-12,那么其输出的结果是( )
A.9 B.3
C. D.
参考答案:
C
3. 不等式的解集是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
4. 执行如图所示的程序框图,输出的S值为( )
A.650 B.1250 C.1352 D.5000
参考答案:
B
5. 已知双曲线的左焦点,过点F作圆:的切线,切点为,延长交双曲线右支于点,若,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
6. 从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于4.8g的概率为0.3,质量小于4.85g的概率为0.32,那么质量在[4.8,4.85)(g)范围内的概率是( )
A.0.62 B.0.68 C.0.02 D.0.38
参考答案:
C
【考点】几何概型.
【分析】根据所给的,质量小于4.8 g的概率是0.3,质量小于4.85 g的概率是0.32,利用互斥事件的概率关系写出质量在[4.8,4.85)g范围内的概率.
【解答】解:设一个羽毛球的质量为ξg,则根据概率之和是1可以得到
P(ξ<4.8)=0.3,P(ξ<4.85)=0.32,
∴P(4.8≤ξ<4.85)=0.32﹣0.3=0.02.
故选C
7. 设x,y满足约束条件 , 若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的值是最大值为12,则的最小值为 ( )
A. B. C. D.4
参考答案:
A
8. 从6名学生中选4人参加数学竞赛,其中甲被选中的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
9. 若复数(,为虚数单位)是纯虚数,则实数的值为:
A、2 B、 C、6 D、
参考答案:
D
10. 若直线 与不等式组 ,表示的平 面区域有公共点,则实数的取值范围是
A. B. C.(1,9) D.
参考答案:
A 解析:画出可行域,求得可行域的三个顶点A(2,1),B(5,2),C(3,4)
而直线恒过定点P(0,-6),且斜率为,因为
,所以由得,故选A.
【思路点拨】:画出可行域,求得可行域的三个顶点, 确定直线过定点P(0,-6),求得直线PA、PB、PC的斜率,其中最小值,最大值,则由得的取值范围.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设,
则的值为 .
参考答案:
-2
略
12. 在(2x+1)(x﹣1)5的展开式中含x4项的系数是 .(用数字作答)
参考答案:
15
【考点】DB:二项式系数的性质.
【分析】把多项式按乘法展开,将问题转化为二项展开式的系数问题;
利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,
分别令x的指数为3,4求出展开式含x3,x4项的系数;
再求(2x+1)(x﹣1)5展开式中含x4项的系数.
【解答】解:(2x+1)(x﹣1)5=2x(x﹣1)5+(x﹣1)5,
∴(x+2)(x﹣1)5展开式中含x4项的系数为
(x﹣1)5展开式中x4系数与x3系数的2倍之和;
∵(x﹣1)5展开式的通项为Tr+1=(﹣1)rC5rx5﹣r,
令5﹣r=4,得r=1;
∴展开式中含x4的系数为﹣5;
令5﹣r=3,得r=2;
∴展开式中含x3的系数为10;
∴(2x+1)(x﹣1)5展开式中含x4项的系数为
(﹣5)+2×10=15.
故答案为:15.
13. 若直线(为实常数)与函数 (为自然对数的底数) 的图象相切,则切点坐标为 ▲ .
参考答案:
14. 设函数,已知存在,使得
,,则的取值范围是 ▲ .
参考答案:
略
15. 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品,需要对原油进行冷却和加热,若在第xh时,原油的温度(单位:℃)为f(x)=x2﹣7x+15(0≤x≤8),则在第1h时,原油温度的瞬时变化率为 ℃/h.
参考答案:
﹣5
【考点】61:变化的快慢与变化率.
【分析】导函数即为原油温度的瞬时变化率,利用导数法可求变化的快慢与变化率.
【解答】解:由题意,f′(x)=2x﹣7,
当x=1时,f′(1)=2×1﹣7=﹣5,即原油温度的瞬时变化率是﹣5℃/h.
故答案为:﹣5
16. 将边长为2,锐角为60°的菱形ABCD沿较短对角线BD折成四面体ABCD点E、F分别为AC、BD的中点,则下列命题中正确的是 .
(将正确的命题序号全填上)
①EF∥AB ②EF⊥AC ③ EF⊥BD
④当四面体ABCD的体积最大时,AC= ⑤AC垂直于截面BDE
参考答案:
略
17. 如图所示流程图中,语句1(语句1与无关) 将被执行的次数是 。
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分8分)如图,在正方体中,为的中点.
(1)求异面直线与所成角的余弦值;
(2)求二面角的余弦值.
参考答案:
(1);
(2)平面,所以为平面的法向量, ,
设平面法向量为,又,,由即,取,
所以,因二面角为锐角,故.
19. (本小题满分12分)
画出不等式组表示的平面区域,并求出当x,y分别取何值时z=x2+y2有最大、最小值,并求出最大、最小值。
参考答案:
20. 在数列,中,,,,().
(1)求数列、的通项公式;
(2)设为数列的前项的和,若对任意,都有,求实数的取值范围.
参考答案:
(1)因为,,,
即数列是首项为2,公比为的等比数列,
所以.
,,,
所以,当时,,即.
(2)由 得,,
,,
因为,所以.
当为奇数时,随的增大而增大,
且,,;
当为偶数时,随的增大而减小,
且,,.
综上,.
21. 某省高考改革新方案,不分文理科,高考成绩实行“3+3”的构成模式,第一个“3”是语文、数学、外语,每门满分150分,第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试,每门满分100分,高考录取成绩卷面总分满分750分.为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况,将“某市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体S,从学生群体S中随机抽取了50名学生进行调查,他们选考物理,化学,生物的科目数及人数统计如表:
选考物理、化学、生物的科目数
1
2
3
人数
5
25
20
(I)从所调查的50名学生中任选2名,求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率;
(II)从所调查的50名学生中任选2名,记X表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望;
(III)将频率视为概率,现从学生群体S中随机抽取4名学生,记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作Y,求事件“y≥2”的概率.
参考答案:
【考点】CH:离散型随机变量的期望与方差;CF:几何概型.
【分析】(Ⅰ)计算“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件A,利用对立事件的概率公式计算选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率值;
(Ⅱ)由题意知X的可能取值,计算对应的概率值,写出X的分布列,计算数学期望值;
(Ⅲ)计算所调查的50名学生中物理、化学、生物选考两科目的学生人数,求出相应的频率,根据n次独立重复实验恰有k次发生的概率,求出对应的概率值.
【解答】解:(Ⅰ)记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件A,
则,
所以他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率为
;…
(Ⅱ)由题意可知X的可能取值分别为0,1,2;
则.,
,
;…
从而X的分布列为:
X
0
1
2
p
数学期望为;…
(Ⅲ)所调查的50名学生中物理、化学、生物选考两科目的学生有25名,
相应的频率为,
由题意知,Y~;…
所以事件“Y≥2”的概率为
.…
22. 如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形,∠BCD=60°, PA⊥平面ABCD,E是AB的中点,F是PC的中点.
(1)求证:平面PDE⊥平面PAB.
(2)求证:BF∥平面PDE.
参考答案:
见解析.
()∵底面是菱形,,
∴为正三角形,
是的中点,,
平面,平面,
∴,
∵,
∴平面,
∵平面,
∴平面平面.
()取的中点,连结,,
∵,是中点,
∴且,
∴与平行且相等,
∴,
∵平面,平面,
∴平面.