湖南省益阳市灰山港镇中学高二数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设f(x)=x2(2﹣x),则f(x)的单调增区间是( )
A.x∈(0,)B.x∈(,+∞)C.x∈(﹣∞,0)D.x∈(﹣∞,0)∪(,+∞)
参考答案:
A
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】先求出函数的导函数,令导函数大于0,解不等式求出即可.
【解答】解:f(x)=x2(2﹣x),
∴f′(x)=x(4﹣3x),
令f′(x)>0,解得:0<x<,
故选:A.
2. 已知两条不重合的直线的倾斜角分别为,给出如下四个命题:
①若∥ ②若∥
③若 ④若
其中真命题是 ( )
A.①③ B.②④ C.②③ D.①②③④
参考答案:
B
略
3. 若直线的倾斜角为1200,则直线的斜率为:( )
A. B.- C. D.
参考答案:
B
略
4. 对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为P1,P2,P3,则( )
A.P1=P2<P3 B.P2=P3<P1 C.P1=P3<P2 D.P1=P2=P3
参考答案:
D
【考点】简单随机抽样;分层抽样方法;系统抽样方法.
【分析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论.
【解答】解:根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知,无论哪种抽样,每个个体被抽中的概率都是相等的,
即P1=P2=P3.
故选:D.
5. 若命题,则┐p( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
6. 若点(1,3)和(-4,-2)在直线2+m=0的两侧,是则取值范围m的( )
A.m<-5或m>10 B.m=-5或 m=10 C.-5<m<10 D.-5≤m≤10
参考答案:
C
7. 下列有关命题的说法中错误的是( )
A.若为假命题,则、均为假命题.
B.“”是“”的充分不必要条件.
C.命题“若则”的逆否命题为:“若则”.
D.对于命题使得<0,则,使.
参考答案:
D
8. 已知抛物线方程为,点的坐标为为抛物线上动点,则点P到准线的距离和到点Q的距离之和的最小值为( )
A.3 B. C. D.
参考答案:
D
9. 下列命题中正确的是( )
A. 的最小值是2 B. 的最小值是2
C. 的最小值是 D.的最大值是
参考答案:
C
略
10. 设有一个直线回归方程为 ,则变量x 增加一个单位时 ( )
A. y 平均增加 1.5 个单位 B. y 平均增加 2 个单位
C. y 平均减少 1.5 个单位 D. y 平均减少 2 个单位
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、英语、体育、物理、这六门课,要求第一节不排语文,第五节不排英语,则这一天的课程表的排法有 种
参考答案:
504
12. 过抛物线的焦点作倾斜角为45度的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点坐标(3,2),则
参考答案:
2
13. 阅读下面的算法框图,若输入m=4,n=6,则输出a、i分别是________.
参考答案:
12,3.
14. 将十进制数69转化为二进制数:69(10) .
参考答案:
1000101(2)
【考点】进位制.
【专题】计算题;转化思想;算法和程序框图.
【分析】利用“除k取余法”是将十进制数除以2,然后将商继续除以2,直到商为0,然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案.
【解答】解:69÷2=34…1
34÷2=17…0
17÷2=8…1
8÷2=4…0
4÷2=2…0
2÷2=1…0
1÷2=0…1
故69(10)=1000101 (2)
故答案为:1000101.
【点评】本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化,其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键.
15. 第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”,按如下的方式构造图形,图(1)、(2)、(3)、(4)分别包含1个、5个、13个、25个,第n个图形包含个“福娃迎迎”,则=_____.(答案用含n的解析式表示)
参考答案:
【分析】
本题可根据题意及图写出前4个算式的表达式,然后观察规律可得及,即可算出结果.
【详解】由题意及图,可发现规律:
通过已知的这四个算式的规律,可得:
,,
通过上面两个算式,可得:,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查了归纳推理的应用,其中解答中结合图形与题干的理解,先写出前面的简单项,发现规律并归纳是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.
16. 某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积为__________.
参考答案:
17. 曲线向着x轴进行伸缩变换,伸缩系数k=2,则变换后的曲线方程
为
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分)如图,在边长为a的菱形ABCD中,,E,F是PA和AB的中点。
(1)求证: EF||平面PBC ;
(2)求E到平面PBC的距离。
参考答案:
见解析
【知识点】点线面的位置关系
(1)证明:
又
故
(2)解:在面ABCD内作过F作
…
又 ,,
又,故点E到平面PBC的距离等于点F到平面PBC的距离FH。
在直角三角形FBH中,,
…
故点E到平面PBC的距离等于点F到平面PBC的距离等于。
19. 已知函数
(I)当时,求的单调区间;
(Ⅱ)若函数在上单调递增,试求出a的取值范围.
参考答案:
(I)当时,函数
令即解得
令解得或
所以当时,函数的单调递增区间是,
单调递减区间是和.
(Ⅱ)法一:
函数在上单调递增,
等价于在区间恒成立,
等价于在区间恒成立.
等价于
令
因为
所以函数在区间上单调递增,
故
所以的取值范围是
法二:
函数在上单调递增,
等价于在区间恒成立,
令
则命题等价于在区间恒成立.
(1)当时,由解得
(2)当时因为函数图像的对称轴
此时只有满足,解得.
综上所述的取值范围是
20. 已知函数f(x)=|2x﹣a|+a.
(1)若不等式f(x)≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3},求实数a的值;
(2)在(1)的条件下,若存在实数n使f(n)≤m﹣f(﹣n)成立,求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】R5:绝对值不等式的解法.
【分析】(1)通过讨论x的范围,求得a﹣3≤x≤3.再根据不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3},可得a﹣3=﹣2,从而求得实数a的值.
(2)在(1)的条件下,f(n)=|2n﹣1|+1,即f(n)+f(﹣n)≤m,即|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m.求得|2n﹣1|+|2n+1|的最小值为2,可得m的范围.
【解答】解:(1)∵函数f(x)=|2x﹣a|+a,
故不等式f(x)≤6,
即,
求得 a﹣3≤x≤3.
再根据不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3},
可得a﹣3=﹣2,
∴实数a=1.
(2)在(1)的条件下,f(x)=|2x﹣1|+1,
∴f(n)=|2n﹣1|+1,存在实数n使f(n)≤m﹣f(﹣n)成立,
即f(n)+f(﹣n)≤m,即|2n﹣1|+|2n+1|+2≤m.
由于|2n﹣1|+|2n+1|≥|(2n﹣1)﹣(2n+1)|=2,
∴|2n﹣1|+|2n+1|的最小值为2,
∴m≥4,
故实数m的取值范围是[4,+∞).
21. 已知数列{an}满足a5=13,an+1﹣an=3(n∈N*),数列{bn}的前n项和Sn=1﹣(n∈N*).
(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)记Tn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn,比较Tn与4的大小.
参考答案:
【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】(I)利用等差数列的通项公式可得an.利用数列递推关系可得bn.
(II)利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出.
【解答】解:(Ⅰ)∵an+1﹣an=3(n∈N*),∴数列{an}为等差数列,公差d=3,
又a5=a1+4d=13,得a1=1,∴an=1+3(n﹣1)=3n﹣2.
又因为数列{bn}的前n项和为Sn=1﹣(n∈N*).,
当n=1时,b1=S1=,
当n≥2时,bn=Sn﹣Sn﹣1=1﹣﹣=.,
∴bn=.
综上:an=3n﹣2,bn=.
(Ⅱ)anbn=(3n﹣2).
Tn=1×+7×+…+(3n﹣2)×,
=+…+(3n﹣5)×+(3n﹣2)×,
得: =﹣(3n﹣2)×=﹣(3n﹣2)×,
∴Tn=1+3﹣(3n﹣2)×=4﹣<4.
22. (本题满分12分)在平面直角坐标系中,曲线C1的参数方程为(为参数),曲线C2的参数方程为(t为参数).
(I)求曲线C1和C2的普通方程;
(II)设,若曲线C1和C2交于A,B两点,求及的值.
参考答案:
解:
(I)由 得
由得 即
∴曲线C1的普通方程为
曲线C2的普通方程为………………………………………6分
(II)将 代入得:
即
设对应参数分别为,则
∴,……………………………………………12分