福建省福州市福清祖钦中学高三数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知定义在上 的函数与函数的图像有唯一公共点,则实数的值为()
A. B. C. D.
参考答案:
D
【分析】
原题等价为有一解,即,令,确定其函数性质即可求解
【详解】与函数的图像有唯一公共点,
故有唯一解,即有唯一解
令,所以g(x)关于x=2对称,故a=g(2)=2
故选:D
【点睛】本题考查函数性质及方程的根,准确构造函数判断其对称性是本题关键,是基础题
2. 已知数列{an}是等差数列,a2=2,a5=8,则公差d的值为( )
A. B. C.2 D.-2
参考答案:
C
略
3. 已知函数f(x)的定义域为(﹣1,0),则函数f(2x+1)的定义域为( )
A.(﹣1,1) B. C.(﹣1,0) D.
参考答案:
B
考点: 函数的定义域及其求法.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 原函数的定义域,即为2x+1的范围,解不等式组即可得解.
解答: 解:∵原函数的定义域为(﹣1,0),
∴﹣1<2x+1<0,解得﹣1<x<﹣.
∴则函数f(2x+1)的定义域为.
故选B.
点评: 考查复合函数的定义域的求法,注意变量范围的转化,属简单题.
4. 设偶函数满足,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
5. 设i为虚数单位,复数 的共轭复数为 ,且 ,则复数z的模为
(A)5 (B) (C)2 -i (D)1
参考答案:
B
略
6. 现为一球状巧克力设计圆锥体的包装盒,若该巧克力球的半径为3 ,则其包装盒的体积的最小值为( )
A.36π B.72π C. 81π D.216π
参考答案:
B
7. 由直线及曲线围成的封闭图形的面积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
8. 在整数集z中,被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”,记为[k],则[k]=[5n+k],k=0,1,2,3,4,则下列结论错误的是( )
A. 2013∈[3]
B. Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]
C. “整数a,b属于同一‘类’”的充要条件是“a﹣b∈[0]”
D. 命题“整数a,b满足a∈[1],b∈[3],则a+b∈[4]”的原命题与逆命题都为真命题
参考答案:
D
略
9. 已知sin2α<0,且cosα>0,则α的终边落在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
参考答案:
D
【考点】三角函数值的符号.
【专题】计算题.
【分析】利用二倍角的正弦公式将已知sin2α<0转化为α的三角函数的符号,根据α的正弦为负,余弦为正,判断出角α的终边的位置.
【解答】解:∵sin2α<0即2sinαcosα<0
又cosα>0
∴sinα<0
∴α的终边第四象限
故选D
【点评】判断角的终边的位置,一般先判断出角的三角函数的符号,根据三角函数的符号判断出角的终边所在的象限.
10. 若存在两个正实数x,y使得等式成立(其中,是以e为底的对数),则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【分析】
对进行变形,将求的取值范围转化为求的值域,利用导数即可得出实数的取值范围。
【详解】可化为
令 则,
函数在区间 上单调递增,在区间 上单调递减。
即 ,则
故选C
【点睛】求参数的范围可采用参数分离,再利用导数去得出函数的最值,从而得到参数的范围。
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知向量、的夹角为150°,,,则= .
参考答案:
1
12. 若的展开式中各项系数之和为64,则展开式的常数项为
参考答案:
-540;
略
13. 设x,y满足,则z=2x﹣y的最大值为3,则m= .
参考答案:
考点:简单线性规划.
专题:不等式的解法及应用.
分析:作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,结合z=2x﹣y的最大值为3,利用数形结合即可得到结论..
解答: 解:由z=2x﹣y,得y=2x﹣z,作出不等式对应的可行域(阴影部分),
平移直线y=2x﹣z,由平移可知当直线y=2x﹣z,
经过点A时,直线y=2x﹣z的截距最小,此时z取得最大值3,
由,解得,即A(,).
将A的坐标代入x﹣y+m=0,得m=y﹣x=﹣=,
故答案为:.
点评:本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.
14. 已知向量,,.若,则________.
参考答案:
由题可得
,即
15. 随机掷一枚质地均匀的骰子,记向上的点数为m,已知向量=(m,1),=(2﹣m,﹣4),设X=,则X的数学期望E(X)= .
参考答案:
4
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】根据平面向量的数量积运算求出X,再根据m的取值求出X的可能取值,得出对应的概率,写出X的分布列与数学期望.
【解答】解:向量=(m,1),=(2﹣m,﹣4),
∴=+=(2,﹣3),
∴X=?=2m﹣3,
又m=1,2,3,4,5,6;
∴X=﹣1,1,3,5,7,9;
且P(X=﹣1)=P(X=1)=P(X=3)=P(X=5)=P(X=7)=P(X=9)=;
∴X的分布列为:
X
﹣1
1
3
5
7
9
P
数学期望E(X)=(﹣1+1+3+5+7+9)×=4.
16. 已知三顶点的坐标为是坐标平面内一点,且满足
,则的最小值为 __ .
参考答案:
3
17. 已知则_______.
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知等差数列{an}的首项为a,公差为d,且方程ax2﹣3x+2=0的解为1,d.
(1)求{an}的通项公式及前n项和Sn公式;
(2)求数列{3n﹣1an}的前n项和Tn.
参考答案:
解:(1)方程ax2﹣3x+2=0的两根为1,d.
利用韦达定理得,
解得a=1,d=2.
由此知an=1+2(n﹣1)=2n﹣1,.(6分)
(2)令,
则,,(8分)
两式相减,得(10分)
=
=﹣2﹣2(n﹣1)?3n.
∴.(12分)
略
19. 已知公差不为0的等差数列的首项,,设数列的前项和为,且成等比数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设,若,求的值.
参考答案:
(I)解:设等差数列的公差为d,由,得
因为,所以. 所以 -----------------------------------6分
(II)解:,因为,所以
∵,∴a=2.------------------------------12分
20. (本小题满分12分)
设函数.
(Ⅰ)求的值域;
(Ⅱ )记的内角的对边长分别为,若,,求的值.
参考答案:
(Ⅰ);(Ⅱ)或
(Ⅰ)
因为,所以,
所以的值域为. ………6分
(Ⅱ)由得:,即.
又因为在中,,故.
在中,由余弦定理得:
解得:或. ………12分
21. 已知函数f(x)=x2﹣2ax+2lnx,
(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线y=2x+4平行,试求实数a的值;
(2)若函数f(x)在定义域上为增函数,试求实数a的取值范围;
(3)若y=f(x)有两个极值点x1,x2,且x1<x2,a≥.若不等式f(x1)≥mx2恒成立,试求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性.
【专题】综合题;转化思想;综合法;导数的概念及应用;不等式的解法及应用.
【分析】(1)求当a=1时,函数的导数,求得切线的斜率,由两直线平行的条件:斜率相等,解方程可得a;
(2)求得导数,由题意可得f′(x)=2x﹣2a+≥0在x>0恒成立,即有a≤x+的最小值,运用基本不等式可得最小值,即可得到a的范围;
(3)函数f(x)在(0,+∞)上有两个极值点,方程x2﹣ax+1=0有两个不等的正根,求得两根,求得范围;不等式f(x1)≥mx2恒成立即为≥m,求得=x13﹣2ax12+2x1lnx1=﹣x13﹣2x1+2x1lnx1,
设h(x)=﹣x3﹣2x+2xlnx(0<x≤),求出导数,判断单调性,即可得到h(x)的最小值,即可求得m的范围.
【解答】解:(1)因为f(x)=x2﹣2ax+2lnx,
所以f′(x)=2x﹣2a+.
因为在x=1处的切线与直线y=2x+4平行,
所以2﹣2a+2=2,解得a=1;
(2)函数f(x)在定义域上为增函数,
即为f′(x)=2x﹣2a+≥0在x>0恒成立,
即有a≤x+的最小值,由x+≥2,当且仅当x=1时,取得最小值2,
则有a≤2;
(3)函数f(x)的导数为f′(x)=2x﹣2a+,
函数f(x)有两个极值点x1,x2,即方程x2﹣ax+1=0有两个不等的正根,
由a≥,可得判别式△=a2﹣4>0.
因为x2﹣ax+1=0,
所以x1x2=1,x1+x2=a,x1=,x2=≥2.
因为a≥,所以0<x1≤,
因为=x1f(x1)=x13﹣2ax12+2x1lnx1=﹣x13﹣2x1+2x1lnx1,
设h(x)=﹣x3﹣2x+2xlnx(0<x≤),
则h′(x)=﹣3x2﹣2+2+2lnx=﹣3x2+2lnx,
因为0<x<,则lnx<0,
h'(x)<0?h(x)在(0,]上单调递减,
则h(x)≥h()=﹣ln2﹣.
所以m<﹣ln2﹣.
【点评】本题考查导数的运用:求切线方程和单调区间、极值,主要考查导数的几何意义,同时考查函数的单调性的运用,以及不等式恒成立问题转化为求函数的最值或范围,属于难题.
22. (本小题满分12分)
已知函数
(I)若函数
(II)设的充分条件,求实数m的取值范围。
参考答案:
解:(1)
而,
(2)