山东省东营市广饶县第三中学高一数学文联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知△ABC是边长为4的等边三角形,P为平面ABC内一点,则的最小值是()
A. -6 B. -3 C. -4 D. -2
参考答案:
A
【分析】
建立平面直角坐标系,表示出点的坐标,利用向量坐标运算和平面向量的数量积的运算,求得最小值,即可求解.
【详解】由题意,以中点为坐标原点,建立如图所示的坐标系,
则,
设,则,
所以
,
所以当时,取得最小值为,
故选A.
【点睛】
本题主要考查了平面向量数量积的应用问题,根据条件建立坐标系,利用坐标法是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
2. 已知平面内不共线的四点O,A,B,C满足=+,则||∶||=( )
(A)1∶3 (B)3∶1 (C)1∶2 (D)2∶1
参考答案:
D
略
3. (5分)正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,BD1与平面ABCD所成角的余弦值为()
A. B. C. D.
参考答案:
D
考点: 棱柱的结构特征.
专题: 空间角.
分析: 找出BD1与平面ABCD所成的角,计算余弦值.
解答: 连接BD,;
∵DD1⊥平面ABCD,∴BD是BD1在平面ABCD的射影,
∴∠DBD1是BD1与平面ABCD所成的角;
设AB=1,则BD=,BD1=,
∴cos∠DBD1===;
故选:D.
点评: 本题以正方体为载体考查了直线与平面所成的角,是基础题.
4. 将某选手的7个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,5个剩余分数的平均分为21,现场作的7个分数的茎叶图后来有1个数据模糊,无法辨认,在图中以x表示,则5个剩余分数的方差为( )
A. B. C. 36 D.
参考答案:
B
【分析】
由剩余5个分数的平均数为21,据茎叶图列方程求出x=4,由此能求出5个剩余分数的方差.
【详解】∵将某选手的7个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,剩余5个分数的平均数为21,
∴由茎叶图得:
得x=4,
∴5个分数的方差为:
S2
故选:B
【点睛】本题考查方差的求法,考查平均数、方差、茎叶图基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是基础题.
5. 若f(x)满足关系式f(x)+2f()=3x,则f(2)的值为( )
A.1 B.﹣1 C.﹣ D.
参考答案:
B
【考点】函数解析式的求解及常用方法.
【分析】由已知条件得,由此能求出f(2)的值.
【解答】解:∵f(x)满足关系式f(x)+2f()=3x,
∴,
①﹣②×2得﹣3f(2)=3,
∴f(2)=﹣1,
故选:B.
6. 若函数y=f(x)的定义域为[-3,5],则函数g(x)=f(x+1)+f(x-2)的定义域是( C )
A.[-2,3] B.[-1,3] C.[-1,4] D.[-3,5]
参考答案:
C
7. 若集合A={x|logx≥2},则?RA=( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】补集及其运算.
【分析】将不等式化为:,根据对数函数的性质求出x的范围.
【解答】解:由得,,
所以0<x≤,则集合A=(0,],
所以CRA=(﹣∞,0]∪(,+∞),
故选:B.
8. 设集合A = { x | x 2 + x – 2 = 0 },B = { x | a x – 2 = 0 },若A∩B = B,则对应的值的个数是( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
参考答案:
D
9. 已知sinα=m(|m|<1),,那么tanα=( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】同角三角函数基本关系的运用.
【分析】由sinα的值及α的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值,即可确定出tanα的值.
【解答】解:∵sinα=m,<α<π,
∴cosα=﹣=﹣,
则tanα=.
故选:A.
【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键.
10. 线性回归方程所表示的直线必经过点( )
A.(0,0) B.() C.() D.()
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若是一次函数,且,则=
参考答案:
由题意可设 ,
,
又 ,
,解得 或 ,
或 ,故答案为 或 .
12. 若函数的定义域和值域都是[1,b],则b的值为 .
参考答案:
3
【考点】函数的值域;函数的定义域及其求法.
【专题】计算题.
【分析】先根据f(x)在[1,b]上为增函数,当x=1时,f(x)=1,当x=b时,f(x)=(b﹣1)2+1=b,可得然后把b代入即可得出答案.
【解答】解:∵函数的定义域和值域都是[1,b],且f(x)在[1,b]上为增函数,
∴当x=1时,f(x)=1,当x=b时,f(x)=(b﹣1)2+1=b,
解得:b=3或b=1(舍去),
∴b的值为3,
故答案为:3.
【点评】本题考查了函数的值域及函数的定义域的求法,属于基础题,关键是根据f(x)在[1,b]上的单调性求解.
13. 某商店经销一种商品,每件进价7元,市场预计以每件20元的价格销售时该店一年可销售2000件,经过市场调研发现每件销售价格在每件20元的基础上每减少一元则增加销售400件,而每增加一元则减少销售100件,现设每件的销售价格为元,为整数.
(I)写出该商店一年内销售这种商品所获利润(元)与每件的销售价格(元)的函数关系式(并写出这个函数的定义域);
(II)当每件销售价格为多少元时,该商店一年内利润(元)最大,并求出最大值.
参考答案:
(Ⅰ)依题意 2分
∴, ……………5分
定义域为 ………………6分
(Ⅱ)∵,
∴ 当时,则,(元) ……………… 8分
当时,则或24,(元) ………………10分
综上:当时,该商店获得的利润最大为32400元. ………………12分
略
14. (5分)已知向量,且,则λ= .
参考答案:
考点: 平面向量共线(平行)的坐标表示.
专题: 计算题.
分析: 利用向量的坐标运算求出的坐标,利用向量共线的充要条件列出关于λ的方程,解方程求出值即可.
解答: 因为向量,
所以,
因为
所以2λ﹣1=4(﹣1﹣λ)
解得
故答案为
点评: 本题考查的知识点是平面向量与共线向量,其中根据两个向量平行的充要条件,构造关于x的方程,是解答本题的关键.
15. 已知是定义在上的函数,且对任意实数,恒有,且的最大值为1,则满足的解集为
参考答案:
16. 下列命题中:
①若,则的最大值为2;
②当时,;
③的最小值为5; ④当且仅当a,b均为正数时,恒成立.
其中是真命题的是__________.(填上所有真命题的序号)
参考答案:
①②
【分析】
根据均值不等式依次判断每个选项的正误,得到答案.
【详解】①若,则的最大值为
,正确
②当时,
,时等号成立,正确
③最小值为,
取 错误
④当且仅当均为正数时,恒成立
均为负数时也成立.
故答案为① ②
【点睛】本题考查了均值不等式,掌握一正二定三相等的具体含义是解题的关键.
17. 已知数列为 ;其前n项和为_____________.
参考答案:
.
【分析】
将数列的通项化简,将其裂项,利用裂项求和法求出前项和。
【详解】,设该数列的前项和为,
因此,,
故答案为:。
【点睛】本题考查数列的裂项求和法,要熟悉裂项求和法对数列通项的基本要求,同时要注意裂项法求和的基本步骤,考查计算能力,属于中等题。
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18.
参考答案:
略
19. 已知函数f(x)=.
(1)当时,求函数f(x)的取值范围;
(2)将f(x)的图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象,求g(x)的单调递增区间.
参考答案:
【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.
【分析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简可求f(x)=sin(2x﹣),由,可求2x﹣∈[﹣,],根据正弦函数的图象和性质可求f(x)的取值范围.
(2)根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换可求g(x)=f(x+)=sin(2x+),令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,k∈Z,即可解得g(x)的单调递增区间.
【解答】解:(1)∵f(x)===sin(2x﹣),
∵时,2x﹣∈[﹣,],
∴sin(2x﹣)∈[﹣,1].
∴函数f(x)的取值范围为:[﹣,1]…6分
(2)∵g(x)=f(x+)=sin[2(x+)﹣]=sin(2x+),
∴令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+,k∈Z,即可解得g(x)的单调递增区间为:[k,kπ+],k∈Z…12分
20. 在某市的一个中学举行的电脑知识竞赛中,将九年级两个班的参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组,绘制出如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30、0.15、0.10、0.05,第二小组的频数是40.
(1)求第二小组的频率,并补全这个频率直方图;
(2)求这两个班参赛的学生人数是多少?
(3)这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内?(不必说明理由)
参考答案:
略
21. (本小题满分12分) 某企业的某种产品产量与单位成本统计数据如下:
月份
1
2
3
4
5
6
产量(千件)
2
3
4
3
4
5
单位成本(元/件)[
73
72
71
73
69
68
(用最小二乘法求线性回归方程系数公式
注:,
)
(1)试确定回归方程;
(2)指出产量每增加1 件时,单位成本下降多少?
(3)假定产量为6 件时,单位成本是多少?单位成
本为70元/件时,产量应为多少件?
参考答案:
(1)设x表示每月产量(单位:千件),y表示单位成本(单位:元/件),作散点图.由图知y与x间呈线性相关关系,设线性回归方程为y=bx+a.
由公式可求得b≈-1.818,a=77.364,∴回归方程为y=-1.818x+77.364.
(2)由回归方程知,每增加1 件产量,单位成本下降1.818元.
(3)当x=6时,y=-1.818×6+77.364=66.455;
当y=70时,70=-1.818x+77.364,得
x≈4. 051千件.
∴ 产量为6 件时,单位成本是66.455元/件,单位成本是70元/件时,产量约为4 051件.
22. (本小题满分13分)
数列的前项和为,。
(1)求证:数列成等比数列;
(2)求数列的通项公式;
(3)数列中是否存