广东省汕尾市德成学校高二数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若函数在区间上有最小值,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D.
参考答案:
C
略
2. 已知m,n是两条不同的直线,α是一个平面,则下列说法正确的是
A.若m∥n, nα, 则m∥α
B. 若m∥α , nα,则m∥n
C. 若m⊥α, n⊥α, 则m∥n
D. 若m⊥n, n⊥α, 则m∥α
参考答案:
C
A,若m∥n, nα,则m∥α,是不对的,因为有可能m在平面α内;B,B. 若m∥α , nα,则m∥n,是不对的,两个直线有可能都在平面内,两条直线的位置关系有可能是相交的关系;C垂直于同一平面的两条直线是平行的关系;D,有可能线m在面内。
故答案为:C.
3. 若,则 ( )
A.9 B.10 C. D.
参考答案:
D
略
4. 已知实数m、n满足2m+n=2,其中mn>0,则的最小值为( )
A.4 B.6 C.8 D.12
参考答案:
A
【考点】7F:基本不等式.
【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出.
【解答】解:∵实数m、n满足2m+n=2,其中mn>0,
∴===,当且仅当,2m+n=2,即n=2m=2时取等号.
∴的最小值是4.
故选A.
5. 椭圆上的点到直线的最大距离是( )
A.3 B. C. D.
参考答案:
D
6. 以下四个命题中:
①从匀速传递的产品流水线上,质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样;
②两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于1;
③若数据x1,x2,x3,…,xn的方差为1,则2x1,2x2,2x3,…,2xn的方差为2;
④对分类变量X与Y的随机变量k2的观测值k来说,k越小,判断“X与Y有关系”的把握程度越大.
其中真命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
A
【考点】独立性检验的基本思想;命题的真假判断与应用;两个变量的线性相关.
【分析】对于①,从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样系统抽样;对于②,根据相关系数与相关性的关系可知正确;对于③根据数据扩大n倍,方差扩大n2倍,可得2x1,2x2,2x3,…,2xn的方差为4,对于④对分类变量X与Y的随机变量k2的观测值k来说,k越小,判断“X与Y有关系”的把握程度越小.
【解答】解:从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样系统抽样,故①错误;
两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于1,线性相关性越弱,相关系数的绝对值越接近于0,故②正确;
若数据x1,x2,x3,…,xn的方差为1,则2x1,2x2,2x3,…,2xn的方差为4,故③错误;
对分类变量X与Y的随机变量k2的观测值k来说,k越小,判断“X与Y有关系”的把握程度越小,故④错误;
故真命题有1个,
故选:A
7. 当∈[0,2]时,函数在时取得最大值,则实数的取值范围是
A.[ B.[ C.[ D.
参考答案:
D
8. 已知α,β是两个不同的平面,a,b是两条不同的直线,则下面的命题中不正确的是( )
A.若a∥b,a⊥α,则b⊥α B.若a⊥β,a⊥α,则α∥β
C.若a⊥α,a?β,则α⊥β D.若a∥α,α∩β=b,则a∥b
参考答案:
D
【考点】LP:空间中直线与平面之间的位置关系;LQ:平面与平面之间的位置关系.
【分析】根据空间线面位置关系的判定与性质进行判断.
【解答】解:对于A,设m,n为α内的两条相交直线,
∵a⊥α,∴a⊥m,a⊥n,
又a∥b,∴b⊥m,b⊥n,
∴b⊥α.故A正确;
对于B,由“垂直与同一条直线的两个平面互相平行”可知B正确;
对于C,由面面垂直的判定定理可知C正确.
对于D,由线面平行的性质可知只有当a?β时才有a∥b,故D错误.
故选D.
9. 的内角所对的边满足,且C=60°,则的值为( )
A. B. C. 1 D.
参考答案:
A
略
10. 焦点为直线-2-4=0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程是( )
(A) =16 (B) =-8 或 =16
(C) = 8 (D) =8 或 =-16
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数在[-1,1]上有最大值3,则该函数在[-1,1]上的最小值是__________
参考答案:
略
12. 已知不等式,,,…,可推广为,则a等于 .
参考答案:
略
13. 命题“”的否定是 ▲ .
参考答案:
14. 奇函数定义域为,其导函数是.当时,有,则关于的不等式的解集为 .
参考答案:
令,
则,
由条件得当时,,
∴函数g(x)在上单调递减.
又函数g(x)为偶函数,
∴函数g(x)在上单调递增.
①当时,,不等式可化为,
∴;
②当时,,,不等式可化为,
∴.
综上可得不等式的解集为.
答案:
15. 现有如下四个命题:
①若动点P与定点A(﹣4,0)、B(4,0)连线PA、PB的斜率之积为定值,则动点P的轨迹为双曲线的一部分
②设m,n∈R,常数a>0,定义运算“*”:m*n=(m+n)2﹣(m﹣n)2,若x≥0,则动点的轨迹是抛物线的一部分
③已知两圆A:(x+1)2+y2=1、圆B:(x﹣1)2+y2=25,动圆M与圆A外切、与圆B内切,则动圆的圆心M的轨迹是椭圆
④已知A(7,0),B(﹣7,0),C(2,﹣12),椭圆过A,B两点且以C为其一个焦点,则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线
上述四个命题中真命题为 .(请写出其序号)
参考答案:
①②③
【考点】曲线与方程.
【分析】利用直译法,求①选项中动点P的轨迹方程,进而判断表示的曲线;利用新定义运算,利用直译法求选项②中曲线的轨迹方程,进而判断轨迹图形;利用圆与圆的位置关系,利用定义法判断选项③中动点的轨迹;
利用椭圆定义,由定义法判断④中动点的轨迹即可.
【解答】解:设P(x,y),因为直线PA、PB的斜率存在,所以x≠±4,直线PA、PB的斜率分别是k1=,k2=,∴,化简得9y2=4x2﹣64,即(x≠±4),
∴动点P的轨迹为双曲线的一部分,①正确;
∵m*n=(m+n)2﹣(m﹣n)2,∴=2,设P(x,y),则y=2,即y2=4ax(x≥0,y≥0),即动点的轨迹是抛物线的一部分,②正确;
由题意可知,动圆M与定圆A相外切与定圆B相内切
∴MA=r+1,MB=5﹣r
∴MA+MB=6>AB=2
∴动圆圆心M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,③正确;
设此椭圆的另一焦点的坐标D (x,y),
∵椭圆过A、B两点,则 CA+DA=CB+DB,
∴15+DA=13+DB,∴DB﹣DA=2<AB,
∴椭圆的另一焦点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线一支,④错误
故答案为:①②③.
16. 已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形.若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为
参考答案:
17. 取一根长度为6米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得的两段都不少于1 米的概率是 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 椭圆,椭圆上一点到左焦点的距离取值为[1,3].
(1)求椭圆C1的方程;
(2)分别与椭圆相切,且,如图, 围成的矩形的面积取值记为S,求S的取值范围.
参考答案:
(1) ----------------5分
(2)当l1,l2⊥x轴或l3,l4⊥y轴∴ ----------------7分
当l1,l2,l3,l4斜率存在:设l1:l2:
l3:l4:
其中
∴
由△=0
∴∴∴ ----------------10分
∴
----------------12分
∵
∴
∴
当且仅当等号成立,----------------14分
∴
综上:. ----------------15分
19. 某校高一某班的一次数学测试成绩(满分为100分)的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题:
(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数;
(2)求分数在[80,90)之间的频数,并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高;
(3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,在抽取的试卷中,求至少有一份分数在[90,100]之间的概率.
参考答案:
解:
(1)分数在[50,60)的频率为0.008×10=0.08,
由茎叶图知:分数在[50,60)之间的频数为2,所以全班人数为=25,
(2)分数在[80,90)之间的频数为25-2-7-10-2=4;
频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为÷10=0.016.
(3)将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4,[90,100]之间的2个分数编号为5,6,
在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为:
(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,4),(3,5),(3,6),
(4,5),(4,6),
(5,6)共15个,
其中,至少有一份在[90,100]之间的基本事件有9个,
故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是=0.6.
略
20. 在(1+x+x2)n=Dn0+Dn1x+Dn2x2+…+Dnrxr+…+Dn2n﹣1x2n﹣1+Dn2nx2n的展开式中,把Dn0,Dn1,Dn2,…,Dn2n叫做三项式系数.
(1)当n=2时,写出三项式系数D20,D21,D22,D23,D24的值;
(2)类比二项式系数性质Cn+1m=Cnm﹣1+Cnm(1≤m≤n,m∈N,n∈N),给出一个关于三项式系数Dn+1m+1(1≤m≤2n﹣1,m∈N,n∈N)的相似性质,并予以证明.
参考答案:
【考点】DB:二项式系数的性质;F3:类比推理.
【分析】(1)由(x2+x+1)2=x4+2x3+3x2+2x+1,即可得出.
(2)类比二项式系数性质Cn+1m=Cnm﹣1+Cnm(1≤m≤n,m∈N,n∈N),三项式系数有如下性质: =++.(1≤m≤2n﹣1).由于(1+x+x2)n+1=(1+x+x2)n?(1+x+x2),即(1+x+x2)n+1=(1+x+x2)?( Dn0+Dn1x+Dn2x2+…+Dnrxr+…+