2022-2023学年广东省阳江市闸坡职业中学高一数学文下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数(a>0,且a≠1)的图像过一个定点,则这个定点坐标是( )
A.(2,5) B.(4,2) C.(2,4) D.(2,5)(1,4)
参考答案:
D
2. 设,且,则
A. B. C. D.
参考答案:
B
3. 设,是方程的两个根,不解方程,求下列各式的值:
(1)
(2)
参考答案:
(1);(2) .
【分析】
由韦达定理得x1+x2=3,x1x2,
(1)由通分代入韦达定理能求出结果.
(2)由(x1+x2)(),,能求出结果.
【详解】由韦达定理得x1+x2=3,x1x2,
(1).
(2)(x1+x2)()
=3[(x1+x2)2﹣3x1x2)]
=3(9)
.
【点睛】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意韦达定理的合理运用.
4. 某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分成6组:[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图。已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为( )
A. 588 B. 480 C. 450 D. 120
参考答案:
B
试题分析:根据频率分布直方图,得;该模块测试成绩不少于60分的频率是1-(0.005+0.015)×10=0.8,∴对应的学生人数是600×0.8=480
考点:频率分布直方图
5. 若集合满足,,则不可能是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
6. 设,,,则的大小顺序是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
7. 在△ABC中,已知2sinAcosB=sinC,那么△ABC一定是( )
A.直角三角形B.等腰三角形
C.等腰直角三角形D.正三角形
参考答案:
B
【考点】两角和与差的正弦函数.
【分析】根据三角形三个内角和为180°,把角C变化为A+B,用两角和的正弦公式展开移项合并,公式逆用,得sin(B﹣A)=0,因为角是三角形的内角,所以两角相等,得到三角形是等腰三角形.
【解答】解:由2sinAcosB=sinC知2sinAcosB=sin(A+B),
∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB.
∴cosAsinB﹣sinAcosB=0.
∴sin(B﹣A)=0,
∵A和B是三角形的内角,
∴B=A.
故选B
8. 已知点和向量,若,则点的坐标为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
9. 定义映射f :A→B,若集合A中元素x在对应法则f作用下的象为log3x,则A中元素9的象是……………………………………………………………( )
A .3 B .2 C.2 D .3
参考答案:
C
10. 若等差数列{an}的公差为2,且a5是a2与a6的等比中项,则该数列的前n项和Sn取最小值时,n的值等于( )
A.7 B.6 C.5 D.4
参考答案:
B
【分析】由题意可得,运用等差数列的通项公式和等比数列的中项的性质,解方程可得a1,结合已知公差,代入等差数列的通项可求,判断数列的单调性和正负,即可得到所求和的最小值时n的值
【解答】解:由a5是a2与a6的等比中项,
可得a52=a2a6,
由等差数列{an}的公差d为2,
即(a1+8)2=(a1+2)(a1+10),
解得a1=﹣11,
an=a1+(n﹣1)d=﹣11+2(n﹣1)=2n﹣13,
由a1<0,a2<0,…,a6<0,a7>0,…
可得该数列的前n项和Sn取最小值时,n=6.
故选:B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数恒过定点
参考答案:
(3,4)
12. 设函数,,则= .
参考答案:
13. 设为虚数单位,则______.
参考答案:
因为。所以
14. 已知,,则___________。
参考答案:
略
15. 已知函数
它满足对任意的,则的取值范围是
参考答案:
16. 若关于的方程只有一个实数解,则的值等于 .
参考答案:
10017. 函数f(x)=的值域为______________。
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 函数
(1)若定义域为R,求实数a的取值范围;
(2)若定义域为,求实数a的值. w.w.w.k.s.5
参考答案:
解析:(1)依题意: 对任何恒成立,
当,即,容易验证时符合题意
:当时则必有解得, 综上可知
(2) 依题意: 不等式的解集为,则,解得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
19. (本小题满分12分)
某商品经营部每天的房租、人员工资等固定成本为300元,已知商品进价为3元/件,并规定其销售单价不低于商品进价,且不高于12元,该商品日均销售量(件)与销售单价(元)的关系如图所示。
(1)试求关于的函数关系式;
(2)当销售单价定为多少圆时,该商品每天的利润最大?
参考答案:
20. 设各项为正的数列{an}的前n项和为Sn,已知,.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令,求数列{bn}的前n项和Tn.
参考答案:
(1) (2)
【分析】
(1) 当时,由可得,整理得,数列各项为正数,则有,可知数列是等差数列,当时,由可得,将 和d的值代入,即得通项公式;(2)由(1)知,用错位相减法求数列 的前n项和。
【详解】(1)解:当时,
由(1)(2)得:
化简得:
即:
又,所以,数列是等差数列
当时,,得
(2)
①
②
由①②得:
,
【点睛】本题考查求数列的通项公式和用错位相减法求数列的前n项和,属于常见的题型。
21. 函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在它的某一个周期内的单调减区间是[,].
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)将y=f(x)的图象先向右平移个单位,再将图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),所得到的图象对应的函数记为g(x),若对于任意的x∈[,],不等式m<g(x)恒成立,求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;H2:正弦函数的图象.
【分析】(I)根据周期公式计算ω,根据f()=1计算φ,从而得出f(x)的解析式;
(II)利用函数图象变换得出g(x)解析式,求出g(x)的最小值即可得出m的范围.
【解答】解:( I)由已知得, =﹣=,即T=π,∴ =π,∴ω=2,
又f()=sin(+φ)=1,
∴+φ=+2kπ,解得φ=﹣+2kπ,k∈Z.
又∵|φ|<,∴φ=﹣,
∴f(x)的解析式为f(x)=sin(2x﹣).
( II)将y=f(x)图象向右平移个单位,得y=sin(2x﹣)的图象,
∴g(x)=sin(4x﹣),
∵x∈[,],∴4x﹣∈[﹣,],
∴当4x﹣=﹣时,函数g(x)在[,]上的最小值为﹣.
∴m.
22. 如图,已知四边形ABCD是正方形,EA⊥平面ABCD,PD∥EA,AD=PD=2EA=2,F,G,H分别为BP,BE,PC的中点.
(1)求四棱锥P﹣BCD外接球(即P,B,C,D四点都在球面上)的表面积;
(2)求证:平面FGH⊥平面AEB;
(3)在线段PC上是否存在一点M,使PB⊥平面EFM?若存在,求出线段PM的长;若不存在,请说明理由.
参考答案:
【考点】LY:平面与平面垂直的判定;LW:直线与平面垂直的判定.
【分析】(1)证明PD⊥BD,PC⊥BC,根据直角三角形的中线特点得出F为外接球的球心,计算出球的半径代入面积公式计算即可;
(2)证明BC⊥平面ABE,FH∥BC即可得出FH⊥平面ABE,于是平面FGH⊥平面AEB;
(3)证明EF⊥PB,故只需FM⊥PB即可,利用相似三角形计算出PM.
【解答】解:(1)连结FD,FC,
∵EA⊥平面ABCD,PD∥EA,
∴PD⊥平面ABCD,又BD?平面ABCD,
∴PD⊥BD,∵F是PB的中点,
∴DF=PB,
同理可得FC=PB,
∴F为棱锥P﹣BCD的外接球的球心.
∵AD=PD=2EA=2,
∴BD=2,PB==2,
∴四棱锥P﹣BCD外接球的表面积为4π?()2=12π.
(2)证明:∵EA⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,
∴EA⊥CB.又CB⊥AB,AB∩AE=A,
∴CB⊥平面ABE.
∵F,H分别为线段PB,PC的中点,
∴FH∥BC.
∴FH⊥平面ABE.又FH?平面FGH,
∴平面FGH⊥平面ABE.
(3)在直角三角形AEB中,∵AE=1,AB=2,∴.
在直角梯形EADP中,∵AE=1,AD=PD=2,∴,
∴PE=BE.又F为PB的中点,
∴EF⊥PB.
假设在线段PC上存在一点M,使PB⊥平面EFM.
只需满足PB⊥FM即可,
∵PD⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,
∴PD⊥CB,又CB⊥CD,PD∩CD=D,
∴CB⊥平面PCD,∵PC?平面PCD,
∴CB⊥PC.若PB⊥FM,则△PFM∽△PCB,∴.
∵,,,
∴.
∴线段PC上存在一点M,使PB⊥平面EFM,此时PM=.