黑龙江省哈尔滨市旭东中学高三数学理联考试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知复数z满足,则z = ( )
A . B . C . D .
参考答案：
A
略
2. 在中，,则
A． B． C． D．
参考答案：
B
略
3. 球的表面积扩大到原来的2倍，则球的半径扩大到原来的 倍，球的体积扩大到原来的 倍．
A．， B．， C．， D．，
参考答案：
A
略
4. 是集合A到集合B的一个函数，其中，则为单调递增函数的概率是（ ）
A B C D
参考答案：
D
略
5. 已知函数y=f（x）的导函数为f′（x），且，则=( )
A． B． C． D．
参考答案：
A
考点：导数的运算．
专题：导数的概念及应用．
分析：先根据导数的运算法则求导，再代入值计算即可．
解答： 解：∵，
∴f′（x）=2f′（）x+cosx，
∴f′（）=2f′（）×+cos，
解得f′（）=，
故选：A
点评：本题考查了导数的运算法则和导数值的求法，属于基础题．
6. （2015?威海模拟）周期为4的奇函数f（x）在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（2014）+f（2015）=（ ）
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
参考答案：
B
考点： 函数的值．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 利用函数的周期性，以及函数的奇偶性，直接求解即可．
解答： 解：函数是周期为4的奇函数，f（x）在[0，2]上的解析式为f（x）=，
所以f（2014）+f（2015）=f（2012+2）+f（2016﹣1）
=f（2）+f（﹣1）=f（2）﹣f（1）=log22+1﹣12=1．
故选：B．
点评： 本题考查函数的奇偶性以及函数的周期性，函数值的求法，考查计算能力．
7. 已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么
A． B． C． D．
参考答案：
A
8. 已知向量,,若,则 ( )
A. 1 B. C. D.－1
参考答案：
D
9. 设m、n是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，，则 ②若，，，则
③若，，则 ④若，，则
其中正确命题的序号是 ( )
（A）①和② （B）②和③ （C）③和④ （D）①和④
参考答案：
A
略
10. 已知等比数列的前项和，则等于（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设是函数的一个零点，则函数在区间内所有极值点之和为 ．
参考答案：
12. 在数列{an}中，已知a1=2，a2=7，an+2等于anan+1（n∈N+）的个位数，则a2015= ．
参考答案：
2
考点：数列递推式．
专题：点列、递归数列与数学归纳法．
分析：通过计算前几项，可得从第三项起an的值成周期数列，其周期为6，进而可得结论．
解答： 解：∵a1a2=2×7=14，∴a3=4，
∵7×4=28，∴a4=8，
∵4×8=32，∴a5=2，
∵8×2=16，∴a6=6，
∴a7=2，a8=2，a9=4，a10=8，a11=2，
∴从第三项起an的值成周期数列，其周期为6，
又∵2015=335×6+5，
∴a2015=a5=2，
故答案为：2．
点评：本题考查数列的递推公式，找出周期是解决本题的关键，属于中档题．
13. 不等式的解集为 ．
参考答案：
(－1,2)
14. 设，其中，表示k与n的最大公约数，则的值为=__ .
参考答案：
520；
15. 设为虚数单位，集合A={1，﹣1，i，﹣i}，集合，则A∩B= ．
参考答案：
{﹣1，i}
考点：
虚数单位i及其性质；交集及其运算．
专题：
计算题．
分析：
利用复数的运算法则化简集合B，再利用交集即可得到A∩B．
解答：
解：对于集合B：由i10=i2=﹣1，1﹣i4=1﹣1=0，（1+i）（1﹣i）=1+1=2，=．
∴B={﹣1，0，2，i}．
∴A∩B={﹣1，i}．
故答案为{﹣1，i}．
点评：
熟练掌握复数的运算法则和交集的运算性质是解题的关键．
16. 设关于x的方程x2﹣ax﹣1=0和x2﹣x﹣2a=0的实根分别为x1，x2和x3，x4，若x1＜x3＜x2＜x4，则实数a的取值范围为 ．
参考答案：
（）
考点：根与系数的关系．
专题：函数的性质及应用．
分析：由x2﹣ax﹣1=0得ax=x2﹣1，由x2﹣x﹣2a=0得2a=x2﹣x，在同一坐标系中作出两个函数得图象，继而得出关系式求解即可．
解答： 解：由x2﹣ax﹣1=0得ax=x2﹣1，①
由x2﹣x﹣2a=0得2a=x2﹣x，②
由①可得2a=2x﹣，
作出函数y=x2﹣x和y=2x﹣的函数图象如下图：
∵x1＜x3＜x2＜x4
∴x2﹣x=2x﹣
整理得：，即，即
解得：x=1或x=
当x=1﹣时，a=
∴
点评：本题主要考查函数中零点与系数的关系，在考试中经常作为选择填空出现，属于中档题．
17. 求曲线y=，y=x2所围成图形的面积 ．
参考答案：
【考点】定积分．
【分析】先由解的x的值，再利用定积分即可求得面积．
【解答】解：由，解得x=0，1．
∴曲线所围成图形的面积===．
故答案是．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数．
（1）若为的极值点，求实数的值；
（2）若在上为增函数，求实数的取值范围；
（3）当时，方程有实根，求实数的最大值．
参考答案：
（1）．（2）的取值范围为．（3）当时，有最大值0
(1)根据建立关于a的方程求出a的值.
(2)本小题实质是在区间上恒成立，
进一步转化为在区间上恒成立,
然后再讨论a=0和两种情况研究.
(2) 时，方程可化为，,
问题转化为在上有解，
即求函数的值域,然后再利用导数研究g(x)的单调区间极值最值，从而求出值域，问题得解.
解：（1）．………1分
因为为的极值点，所以．………………………2分
即，解得．…………………………………3分
又当时，，从而的极值点成立．…………4分
（2）因为在区间上为增函数，
所以在区间上恒成立．…5分
①当时，在上恒成立，所以上为增函数，故
符合题意．…………………………6分
②当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，故只能，
所以上恒成立．……………7分
令，其对称轴为，……………8分
因为所以，从而上恒成立，只要即可，
因为，
解得． u……………………………………9分
因为，所以．
综上所述，的取值范围为．…………………………………10分
（3）若时，方程可化为，．
问题转化为在上有解，
即求函数的值域．……………………11分
以下给出两种求函数值域的方法：
方法1：因为，令，
则 ，…………………………………12分
所以当，从而上为增函数，
当，从而上为减函数，………………………13分
因此．
而，故，
因此当时，取得最大值0．…………………………………………14分
方法2：因为，所以．
设，则．
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减；
因为，故必有，又，
因此必存在实数使得，
，所以上单调递减；
当，所以上单调递增；
当上单调递减；
又因为，
当，则，又．
因此当时，取得最大值0.……………………………14分
19.
(14分)已知椭圆过定点A(1,0)，焦点在x轴上，且离心率e满足．
（I）求的取值范围;
（II）若椭圆与的交于点B,求点B的横坐标的取值范围;
（Ⅲ）在条件（II）下,现有以A为焦点，过点B且开口向左的抛物线，抛物线的顶点坐标为M(m,0)，求实数m的取值范围．
参考答案：
解析：（I）由于椭圆过定点A(1,0)，于是a=1，c=.
∵ ，∴.
(Ⅱ)解方程组，得.
∵，∴.
(Ⅲ)设抛物线方程为：.
又∵，∴.
又,得.
令.
∵内有根且单调递增,
∴
∴
故.
20. 已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．
（1）若a=2，解不等式f（x）≤3；
（2）若存在实数x，使得不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】R5：绝对值不等式的解法．
【分析】（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出取并集即可；
（2）由题意知这是一个存在性的问题，须求出不等式左边的最大值，可运用绝对值不等式的性质可得最大值，再令其大于等于a，即可解出实数a的取值范围．
【解答】解：（1）a=2时：f（x）=|3x﹣2|﹣|x+2|≤3，
或或，
解得：﹣≤x≤；
（2）不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立，
即|3x﹣a|﹣|3x+6|≥1﹣a，
由绝对值不等式的性质可得||3x﹣a|﹣|3x+6||≤|（3x﹣a）﹣（3x+6）|=|a+6|，
即有f（x）的最大值为|a+6|，
∴或，
解得：a≥﹣．
【点评】本题考查绝对值不等式，求解本题的关键是正确理解题意，区分存在问题与恒成立问题的区别，本题是一个存在问题，解决的是有的问题，本题是一个易错题，主要错误就是出在把存在问题当成恒成立问题求解，因思维错误导致错误．
21. （16分）设m个不全相等的正数a1，a2，…，am（m≥3）依次围成一个圆圈．
（1）设m=2015，且a1，a2，a3，…，a1008是公差为d的等差数列，而a1，a2015，a2014，…，a1009是公比为q=d的等比数列；数列a1，a2，…，am的前n项和Sn（n≤m）满足S3=15，S2015=S2013+12a1，求数列{an}的通项公式；
（2）设a1=a，a2=b（a≠b），若数列a1，a2，…，am每项是其左右相邻两数平方的等比中项，求a8；
（3）在（2）的条件下，m≤2015，求符合条件的m的个数．
参考答案：
考点：等比数列的性质．
专题：综合题；等差数列与等比数列．
分析：（1）利用a1，a2015，a2014，…，a1009是公比为d的等比数列，求出d，S3=3a1+3d=15，解得a1=2，可得数列{an}的通项公式；
（2）确定an=an﹣1an+1，依此类推a8=a2=b；
（3）猜想：m=6k，m=12，18，…，2012，一共有335，再利用反证法进行证明即可．
解答： 解：（1）因a1，a2015，a2014，…，a1009是公比为d的等比数列，
从而
由S2015=S2013+12a1，a2015+a2014=12a1，
故解得d=3或d=﹣4（舍去）
因此d=3，