重庆开县第一中学2022年高二数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 设函数可导,则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
2. 两旅客坐火车外出旅游,希望座位连在一起,且有一个靠窗,已知火车上的座位的排法如图所示,则下列座位号码符合要求的应当是( )
A.48,49 B.62,63 C.75,76 D.84,85
参考答案:
D
【考点】进行简单的合情推理.
【分析】本题考查的知识点是归纳推理,分析已知图形中座位的排列顺序,我们不难发现座位排列的规律,即被5除余1的数,和能被5整除的座位号临窗,由于两旅客希望座位连在一起,且有一个靠窗,分析答案中的4组座位号,不难判断正确的答案.
【解答】解:由已知图形中座位的排列顺序,
可得:被5除余1的数,和能被5整除的座位号临窗,
由于两旅客希望座位连在一起,且有一个靠窗,
分析答案中的4组座位号,
只有D符合条件.
故选D
3. 双曲线的两条渐近线所成的锐角是( )
A.30° B.45° C.60° D.75°
参考答案:
C
4. 在一个棱长为3cm的正方体的表面涂上颜色,将其适当分割成棱长为1cm的小正方体,全部放入不透明的口袋中,搅拌均匀后,从中任取一个,取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】等可能事件的概率.
【分析】由题意知本题是一个等可能事件的概率,试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体,共有27种结果,满足条件的事件是取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色,有6种结果,根据等可能事件的概率得到结果.
【解答】解:在27个小正方体中,恰好有三个面都涂色有颜色的共有8个,恰好有两个都涂有颜色的共12个,恰好有一个面都涂有颜色的共6个,表面没涂颜色的1个.
由题意知本题是一个等可能事件的概率,试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体,共有27种结果
,满足条件的事件是取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色,有6种结果,所以所求概率为=.
故选C.
5. 已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是,则双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
6. 设,,,则a,b,c的大小关系是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【分析】
分别判断a,b,c与0,1的大小关系得到答案.
【详解】
故答案选B
【点睛】本题考查了根据函数单调性判断数值大小,01分界是一个常用的方法.
7. 已知集合,集合,则 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
8. 已知两个数列3,7,11,…,139与2,9,16,…,142,则它们所有公共项的个数为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
参考答案:
B
9. 如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】LM:异面直线及其所成的角.
【分析】根据题意可设CB=1,CA=CC1=2,分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系,得到A、B、B1、C1四个点的坐标,从而得到向量与的坐标,根据异面直线所成的角的定义,结合空间两个向量数量积的坐标公式,可以算出直线BC1与直线AB1夹角的余弦值.
【解答】解:分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系,
∵CA=CC1=2CB,∴可设CB=1,CA=CC1=2
∴A(2,0,0),B(0,0,1),B1(0,2,1),C1(0,2,0)
∴=(0,2,﹣1),=(﹣2,2,1)
可得?=0×(﹣2)+2×2+(﹣1)×1=3,且=, =3,
向量与所成的角(或其补角)就是直线BC1与直线AB1夹角,
设直线BC1与直线AB1夹角为θ,则cosθ==
故选A
【点评】本题给出一个特殊的直三棱柱,求位于两个侧面的面对角线所成角的余弦之值,着重考查了空间向量的坐标运算和异面直线及其所成的角的概论,属于基础题.
10. 圆上的点到直线3x+4y+14=0的距离的最大值是( )
A.4 B.5 C.6 D. 8
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 不等式| e x – e – x | <(e是自然对数的底)的解集是 。
参考答案:
( ln,ln)
12. 曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为 .
参考答案:
x﹣y+1=0
【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】求出函数的导数,求出切线的斜率,利用点斜式求解切线方程即可.
【解答】解:曲线y=x2+,可得y′=2x﹣,
切线的斜率为:k=2﹣1=1.
切线方程为:y﹣2=x﹣1,即:x﹣y+1=0.
故答案为:x﹣y+1=0.
13. 函数的定义域是
参考答案:
解:由.
所以原函数的定义域为.
因此,本题正确答案是.
14. 复数满足,则的虚部是 .
参考答案:
1
15. 在平面直角坐标系中,焦点为的抛物线的标准方程为 ▲ .
参考答案:
16. 已知函数,且则的值为
参考答案:
17. 已知是圆(为圆心)上一动点,线段的垂直平分线交直线于,则动点的轨迹方程为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)已知函数.
(Ⅰ) 若时,取得极值,求的值;
(Ⅱ) 若对任意,直线都不是曲线的切线,求的取值范围.
参考答案:
解:(Ⅰ),当时,
当时,,时,,
所以在处取得极小值,即符合题意。………………6分
(III)因为,直线都不是曲线的切线,
所以对成立, ………………9分
只要的最小值大于即可,
而的最小值为
所以,即 ………………12分
略
19. 已知集合D={(x1,x2)|x1>0,x2>0,x1+x2=k},其中k为正常数
(1)设u=x1x2,求u的取值范围
(2)求证:当k≥1时,不等式(﹣x1)(﹣x2)≤()2对任意(x1,x2)∈D恒成立
(3)求使不等式(﹣x1)(﹣x2)≥()2对任意(x1,x2)∈D恒成立的k的范围.
参考答案:
【考点】集合的表示法.
【专题】证明题;转化思想;综合法;不等式的解法及应用.
【分析】(1)u=x1x2≤()2=,由此能求出μ的取值范围.
(2)(﹣x1)(﹣x2)=﹣+2=,由此能证明当k≥1时,不等式(﹣x1)(﹣x2)≤()2对任意(x1,x2)∈D恒成立.
(3)(﹣x1)(﹣x2)﹣()2=,要使不等式(﹣x1)(﹣x2)≥()2恒成立,只需满足4﹣k2x1x2﹣4k2≥0恒成立,由此能求出k的范围.
【解答】解:(1)∵集合D={(x1,x2)|x1>0,x2>0,x1+x2=k},其中k为正常数
∴u=x1x2≤()2=,当且仅当时等号成立,
故μ的取值范围为(0,].(2分)
(2)∵(﹣x1)(﹣x2)=﹣
=﹣+2=.(4分)
由0<,又k≥1,k2﹣1≥0,
∴由定义法可得(﹣x1)(﹣x2)在(0,]上是增函数,(6分)
∴(﹣x1)(﹣x2)=≤+2==()2.
∴当k≥1时,不等式(﹣x1)(﹣x2)≤()2对任意(x1,x2)∈D恒成立.(7分)
(3)(﹣x1)(﹣x2)﹣()2
=﹣
=()﹣()﹣()
=﹣﹣,
∵x1+x2=k,∴,
∴(﹣x1)(﹣x2)﹣()2
=﹣﹣
=,(10分)
要使不等式(﹣x1)(﹣x2)≥()2恒成立,
只需满足4﹣k2x1x2﹣4k2≥0恒成立,
即x1x2≤恒成立,由(1)知0<,
所以,即k4+16k2﹣16≤0,
解得0<k≤2,
∴使不等式(﹣x1)(﹣x2)≥()2对任意(x1,x2)∈D恒成立的k的范围是(0,2].(12分)
【点评】本题考查实数的取值范围的求法,考查不等式的证明,综合性强,难度大,对数学思维能力要求较高,解题时要认真审题,注意等价转化思想的合理运用.
20. 已知圆及直线. 当直线被圆截得的弦长为时, 求
(Ⅰ)的值;
(Ⅱ)求过点且与圆相切的直线的方程.
参考答案:
略
21. 在△ABC中,a,b,c分别是角A、B、C的对边,若tanA=3,cosC=.
(1)求角B的大小;
(2)若c=4,求△ABC面积.
参考答案:
【分析】(1)求出C的正切函数值,利用两角和的正切函数求解即可.
(2)利用正弦定理求出b,然后求解A的正弦函数值,然后求解三角形的面积.
【解答】解:(1)∵cosC=,∴sinC=,∴tanC=2.
∵tanB=﹣tan(A+C)=﹣=﹣=1,
又0<B<π,∴B=.
(2)由正弦定理,得=,∴b===.
∵B=,∴A=﹣C.∴sinA=sin(﹣C)=sincosC﹣cossinC
=×﹣(﹣)×=.
∴S△ABC=bcsinA=××4×=6.
【点评】本题考查正弦定理以及三角形的解法,两角和与差的三角函数的应用,考查计算能力.
22. 已知圆的方程为,点是坐标原点.直线与圆交于两点.
(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)设是线段上的点,且.请将表示为的函数.
参考答案:
(Ⅰ)将代入得 则 ,(*)
由得 .
所以的取值范围是 .4分
(Ⅱ)因为M、N在直线l上,可设点M、N的坐标分别为,,则
,,又,
由得,,
所以由(*)知 ,,
所以 , 因为点Q在直线l上,所以,代入可得, 由及得 ,即 .
依题意,点Q在圆C内,则,所以 , 于是, n与m的函数关系为 ().8分