安徽省合肥市巢湖兴华中学高二数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若函数在区间上为单调函数，且图象是连续不断的曲线，则下列说法中正确的是（    ） A．函数在区间上不可能有零点  B．函数在区间上一定有零点 C．若函数在区间上有零点，则必有 D．若函数在区间上没有零点，则必有 参考答案： D 考点：函数的零点 2. 已知，若恒成立，则实数的取值范围是（   ）    A.      B.    C.  D. 参考答案： D 略 3. 已知抛物线y2=ax（a≠0）的准线经过点（1，﹣1），则该抛物线焦点坐标为（　　） A．（﹣1，0） B．（1，0） C．（0，﹣1） D．（0，1） 参考答案： A 【考点】K8：抛物线的简单性质． 【分析】根据题意，由抛物线的方程可以求出其准线方程，则有﹣=1，解可得a的值，即可得抛物线的方程，结合抛物线的焦点坐标计算可得答案． 【解答】解：根据题意，抛物线的方程为y2=ax，其焦点在x轴上， 则其准线方程为：x=﹣， 若其准线经过点（1，﹣1），则其准线方程为x=1， 即有﹣=1 则a=﹣4，抛物线的方程为y2=﹣4x， 则该抛物线焦点坐标为（﹣1，0）； 故选：A． 4. 过双曲线x2－=1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|=4，则这样的直线有（  ）   A．1条           B．2条              C．3条            D．4条 参考答案： C 略 5. 一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的表面积等于（　　） A． B．16π C．32π D． 参考答案： B 【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何． 【分析】几何体为三棱柱，若内切球面积最大，则球的大圆为棱柱底面三角形的内切圆． 【解答】解：由三视图可知几何体为底面是直角三角形的直三棱柱．若要使其内切球最大，则球的大圆为底面三角形的内切圆． 由三视图可知棱柱的底面为主视图中的三角形，直角边分别为6，8，斜边为10． 设最大球半径为r，则6﹣r+8﹣r=10，解得r=2． ∴最大球的表面积为4πr2=16π． 故选B． 【点评】本题考查了多面体与内切球的相关知识，寻找球与多面体的关系是关键． 6. 已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于两点，且的中点为,则双曲线的方程为(   ) A．            B.      C.     D. 参考答案： C 7. 在下列关于点P，直线、与平面、的命题中,正确的是 （     ） A. 若,，则∥ B. 若，，，且，则 C. 若且,，则 D. 若、是异面直线，, ∥, , ∥,则∥. 参考答案： D 8. 如下图所示，已知，，三点不共线，为平面内一定点，为平面外任一点，则下列能表示向量的为（    ）． A． B． C． D． 参考答案： D 以为对角线，以，所在直线为邻边做平行四边形， 则， ∴， 故选． 9. △ABC的外接圆的圆心为O，，，则等于（  ） A. B. C. D. 参考答案： C 【详解】，选C 10. 若为虚数单位，复数等于（    ） A．  B．   C．   D． 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若，则______ 参考答案： 2 【分析】 用对数表示出，再根据对数运算法则求得结果即可. 【详解】由题意得：， 则 本题正确结果：2 【点睛】本题考查对数的运算，属于基础题. 12. 已知向量，，，若，则         ． 参考答案： 13. 已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2﹣2x，当x＞2时k（x﹣2）＜xf（x）+2g'（x）+3恒成立，则整数k最大值为　  　． 参考答案： 5 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】k（x﹣2）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立，等价于k（x﹣2）＜xlnx+2（x﹣2）+3对一切x∈（2，+∞）恒成立，分离参数，从而可转化为求函数的最小值问题，利用导数即可求得，即可求实数a的取值范围． 【解答】解：因为当x＞2时，不等式k（x﹣2）＜xf（x）+2g′（x）+3恒成立， 即k（x﹣2）＜xlnx+2（x﹣2）+3对一切x∈（2，+∞）恒成立， 亦即k＜=+2对一切x∈（2，+∞）恒成立， 所以不等式转化为k＜+2对任意x＞2恒成立． 设p（x）=+2，则p′（x）=， 令r（x）=x﹣2lnx﹣5（x＞2），则r′（x）=1﹣=＞0， 所以r（x）在（2，+∞）上单调递增． 因为r（9）=4（1﹣ln3）＜0，r（10）=5﹣2ln10＞0， 所以r（x）=0在（2，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（9，10）， 当2＜x＜x0时，r（x）＜0，即p′（x）＜0； 当x＞x0时，r（x）＞0，即p′（x）＞0． 所以函数p（x）在（2，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增， 又r（x0）=x0﹣2lnx0﹣5=0，所以2lnx0=x0﹣5． 所以[p（x）]min=p（x0）=+2=+2∈（5，6）， 所以k＜[p（x）]min∈（5，6）， 故整数k的最大值是5． 故答案为：5． 　 14. 已知x，y，a，b为均实数，且满足x2+y2=4，a2+b2=9，则ax+by的最大值m与最小值n的乘积mn=         ． 参考答案： ﹣36 【考点】二维形式的柯西不等式． 【专题】计算题；转化思想；数学模型法；不等式． 【分析】先根据柯西不等式可知（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2，求得（ax+by）2的最大值，进而求得ax+by的最大值和最小值，则答案可求． 【解答】解：∵a2+b2=9，x2+y2=4， 由柯西不等式（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2， 得36≥（ax+by）2，当且仅当ay=bx时取等号， ∴ax+by的最大值为6，最小值为﹣6， 即m=6，n=﹣6， ∴mn=﹣36． 故答案为：﹣36． 【点评】本题主要考查了柯西不等式在最值问题中的应用．解题的关键是利用了柯西不等式，达到解决问题的目的，属于基础题． 15. 将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第10行从左向右的第3个数为　　． 参考答案： 48 【考点】84：等差数列的通项公式；8B：数列的应用． 【分析】先找到数的分布规律，求出第n﹣1行结束的时候一共出现的数的个数，再求第n行从左向右的第3个数，代入n=10可得． 【解答】解：由排列的规律可得，第n﹣1行结束的时候共排了1+2+3+…+（n﹣1） ==个数， ∴第n行从左向右的第3个数为+3=， 把n=10代入可得第10行从左向右的第3个数为48 故答案为：48 16. 设函数的定义域为D，若函数满足下列两个条件，则称在定义域D上是闭函数．①在D上是单调函数；②存在区间，使在上值域为．如果函数为闭函数，则的取值范围是_______ 参考答案： 17. 将进货价为80元的商品按90元一个售出时，能卖400个，已知该商品每个涨价一元时，其销售就减少20个，为了取得最大利润，售价应定为          k 参考答案： 95 s y＝(90＋a－80)(400－20a)＝－20(a－5)2＋4500  则a＝5. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数， ． （1）求函数的表达式及值域； （2）若函数与的图象关于直线对称，问是否存在实数，使得命题和满足复合命题且为真命题？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由． 参考答案： （1）由得，故 令，则 故，所以在上单调递减，则的值域为 （2）因为在上单调递减，故真且 又，即，故真， 故存在满足复合命题且为真命题 略 19. 已知分别是中角的对边，且. （1）求角的大小； （2）若的面积为，且，求的值； 参考答案： 解：(1) .   ⑵ 因为△的面积为，所以，所以． 因为b＝，，所以＝3，即＝3． 所以＝12，所以a＋c＝． 20. （12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△ADP是等腰直角三角形，∠APD是直角，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=． （Ⅰ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值； （Ⅱ）求平面PCD与平面PAB所成二面角的平面角的余弦值． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角． 【分析】（Ⅰ）取AD的中点O，连结OP，OC，则PO⊥AD，从而OC，AD，PO两两垂直，以O为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线PB与平面PCD所成角的正弦值． （Ⅱ）求出平面PAB的法向量和平面PAB的一个法向量，利用向量法能求出平面PCD与平面PAB所成二面角的平面角的余弦值． 【解答】（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）取AD的中点O，连结OP，OC， ∵△ADP是等腰直角三角形，∠APD是直角，∴PO⊥AD． ∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD． ∴PO⊥OA，PO⊥OC，又∵AC=CD，∴OC⊥AD． 即OC，AD，PO两两垂直．（2分） 以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 由条件知，，PO=1． 故O，A，B，C，D，P各点的坐标分别为： O（0，0，0），A（0，1，0），B（1，1，0），C（2，0，0），D（0，﹣1，0），P（0，0，1）， 所以，，，，． 设平面PCD的法向量为n=（x，y，z），则，即 令x=1，则y=﹣2，z=2，故n=（1，﹣2，2）是平面PCD的一个法向量．（6分） 设直线PB与平面PCD所成角为θ1， 则， 即直线PB与平面PCD所成角的正弦值为．（8分） （Ⅱ）设平面PAB的法向量为m=（x1，y1，z1），则，即． 令y1=1，则z1=1，故m=（0，1，1）是平面PAB的一个法向量．（10分） 设平面PCD与平面PAB所成角的二面角的平面角为θ2， 则， 所以平面PCD与平面PAB所成二面角的平面角的余弦值0．（12分） 【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 21. 如图，在三棱柱中，平面，，且,点为的中点，点在棱的运动 （1）试问点在何处时，∥平面，并证明你的结论； （2）在（1）的条件下，且，直线与平面的成角的正弦值为， 求二面角的大小. 参考答案： （1）中点；. 22. （本小题满分12分）如图（1），是等腰直角三角形，，、分别为、的中点，将沿折起，使在平面上的射影恰为的中点，得到图（2）． （1）求证：； （2）求三棱锥的体积． 参考答案： （Ⅰ）证法一：在中，是等腰直角的中位线，                              --------1分Ks5u 在四棱锥中，，，     平面， 又平面,                           -------6分 证法二：同证法一                                                                 Ks5u 平面，