吉林省长春市第一五九中学2022年高一数学文月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 下列各组函数中,表示同一函数的是
A. B.
C. D.
参考答案:
C
2. 已知集合={0,1,2},则集合中元素的个数是( )
A.3 B.4 C.5 D.9
参考答案:
C
略
3. 侧棱长为的正三棱锥的侧面都是直角三角形,且四个顶点都在一个球面上,则球的表面积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
4. 对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面α,使得( )
A.a?α,b?α B.a?α,b∥α
C.a⊥α,b⊥α D.a?α,b⊥α
参考答案:
B
已知两条不相交的空间直线a和b,可以在直线a上任取一点A,使得A?b.过A作直线c∥b,则过a、b必存在平面α,且使得a?α,b∥α.
5. 过点P(﹣1,2),倾斜角为135°的直线方程为( )
A.x+y﹣1=0 B.x﹣y+1=0 C.x﹣y﹣1=0 D.x+y+1=0
参考答案:
A
【考点】IK:待定系数法求直线方程.
【分析】由直线l的倾斜角为135°,所以可求出直线l的斜率,进而根据直线的点斜式方程写出即可.
【解答】解:∵直线l的倾斜角为135°,
∴斜率=tan135°=﹣1,
又直线l过点(﹣1,2),
∴直线的点斜式为y﹣2=﹣1(x+1),
即x+y﹣1=0.
故选:A.
6. 在等差数列中,,则
参考答案:
B
7. 在△ABC中,若,则A等于( )
A. 150° B. 120° C. 90° D. 60°
参考答案:
C
【分析】
根据正弦定理可得,因此三角形ABC为直角三角形.
【详解】,
,
,
,
故选C.
【点睛】本题考查了正弦定理和勾股定理,属基础题.
8. 与角终边相同的角是
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
9. 已知全集,A={2,4,5},B={1,3,5,7},则( )
A.{2,4} B.{2,4,6} C.{5} D.{6}
参考答案:
A
由题意可得:
故选A.
10. 如果函数f(x)=(1-2a)x在实数集R上是减函数,那么实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知f(x)=1+loga的图象过定点P,则P的坐标为 .
参考答案:
(2,1)
【考点】指数函数的单调性与特殊点.
【专题】函数思想;数形结合法;函数的性质及应用.
【分析】根据对数函数y=logax的图象过定点P(1,0),求出函数f(x)图象过定点P的坐标.
【解答】解:当=1,即x=2时,loga=0,
此时f(x)=1+0=1;
所以函数f(x)=1+loga的图象过定点P(2,1).
故答案为:(2,1).
【点评】本题考查了对数函数图象过定点的应用问题,是基础题目.
12. 函数为上的单调增函数,则实数的取值范围为 ____.
参考答案:
(1,3)
略
13. 设向量,,若向量与向量共线,则= .
参考答案:
-3
14. (3分)已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心,则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于 .
参考答案:
考点: 直线与平面所成的角.
专题: 综合题;空间角.
分析: 先求出点A1到底面的距离A1D的长度,即知点B1到底面的距离B1E的长度,再求出AB1的长度,在直角三角形AEB1中,即可求得结论.
解答: 由题意不妨令棱长为2,如图,A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心,故DA=,
由勾股定理得A1D==
过B1作B1E⊥平面ABC,则∠B1AE为AB1与底面ABC所成角,且B1E=,
如图作A1S⊥AB于中点S,∴A1S=,
∴AB1==
∴AB1与底面ABC所成角的正弦值sin∠B1AE==.
故答案为:
点评: 本题考查线面角,考查学生的计算能力,作出线面角是关键.
15. 设 (),则的最大值为 ,此时自变量x的值为 .
参考答案:
2;
,所以最大值为2,
此时,,得,又,所以。
16. 若在约束条件下 ,
目标函数的最大值为12.给出下列四个判断:
①; ②; ③; ④.
其中正确的判断是 .(请写出所有正确判断的序号)
参考答案:
①②④
17. 如图,ABCD- A1B1C1D1为正方体,下面结论中正确的是_______.(把你认为正确的结论都填上)
①平面;
②BD1⊥平面ACB1;
③BD1与底面BCC1B1所成角的正切值是;
④过点A1与异面直线AD与CB1成60°角的直线有2条.
参考答案:
①②④
【详解】,因为面,所以,由此平面,故①对。由三垂线定理可知,,,所以面,故②对。
由①②可知,为与面的所成角,所以,所以③错。
在正方体中,所以过与异面直线所成角为与直线所成角。将图形抽象出来如下图所示。由于,所以如下图,有上下两条直线分别直线,所成角为,故与异面直线和成,所以④对。
【点睛】本题考查线线垂直,线面垂直,判断定理和性质定理,以及异面直线所成角,
综合性很强,题目偏难。在使用线线垂直,线面垂直的性质定理时,三垂线定理学生要熟练掌握。求解异面直线所成角的步骤:先平移找到角,再证明,最后求解。
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设集合,集合,集合,使得,求实数的取值范围.
参考答案:
19. (本小题满分13分)
已知方程(R).
(1)若方程表示圆,求实数的取值范围;
(2)若方程表示的圆的圆心,求经过的圆C的切线方程;
(3)若直线与(2)中的圆交于两点,且是直角三角
形,求实数的值.
参考答案:
(1)方程配方得,.……………………………1分
使方程表示圆,则,,
故实数的取值范围是; .…….……………………………3分
(2)由(1),圆的圆心为,可得, ……………………4分
所以圆C的方程为, …………………………5分
①过点且垂直于轴的直线与圆相切,即是圆的切线;……6分
②当切线不垂直于轴时,设切线方程为,即,
由,可得,
此时切线方程为,即 ……………8分
综上,所求切线方程为和; .……………………9分
(3)由题意可知,,且,
则圆心到直线的距离为,即,.………11分
解得或. .…………………………………………………13分 注:解答题如有其他解法,可视具体情况给分.
20. (本小题满分12分)
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为,b,c,若 b cosC+c cosB=2a cosA
,且,求的值.
参考答案:
解:
故………………………6分
由
可得. ……………………………………………… 12分
略
21. (本小题满分12分)如图,某中学甲、乙两班共有25名学生报名参加了一项 测试.这25位学生的考分编成的茎叶图,其中有一个数据因电脑操作员不小心删掉了(这里暂用x来表示),但他清楚地记得两班学生成绩的中位数相同.
(1)求这两个班学生成绩的中位数及x的值;
(2)如果将这些成绩分为“优秀”(得分在175分以上,包括175分)和“过关”,若学校再从这两个班获得“优秀”成绩的考生中选出3名代表学校参加比赛,求这3人中甲班至多有一人入选的概率.
参考答案:
(Ⅰ)甲班学生成绩的中位数为(154+160)=157.2分
乙班学生成绩的中位数正好是150+x=157,故x=7;2分
(Ⅱ)用A表示事件“甲班至多有1人入选”.
设甲班两位优生为A,B,乙班三位优生为1,2,3.
则从5人中选出3人的所有方法种数为:(A,B,1),(A,B,2),
(A,B,3),(A,1,2),(A,1,3),(A,2,3),(B,1,2),
(B,1,3),(B,2,3),(1,2,3)共10种情况,.3分
其中至多1名甲班同学的情况共(A,1,2),(A,1,3),(A,2,3),
(B,1,2),(B,1,3),(B,2,3),(1,2,3)7种3分
由古典概型概率计算公式可得P(A)=.2分
22. 在中,内角A,B,C所对的分别是a,b,c。已知a=2, c=, cosA=.
(I)求sinC和b的值;
(II)求cos(2A+)的值。
参考答案: