2022年福建省福州市宏路中学高一数学文上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,,.则某人从甲地到乙地至少遇到2次红灯的概率为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【分析】
先计算至多1次遇到红灯的概率,再用1减去所求概率,即可求得结果.
【详解】若从甲地到乙地,遇到1次红灯,则概率为,
没有遇到红灯的概率为,
故某人从甲地到乙地至少遇到2次红灯的概率为.
故选:B.
【点睛】本题考查独立事件的概率计算,属基础题.
2. 若圆上有且只有两个点到直线4x-3y=2的距离等于1,则半径的范围是( )
A(4,6) B[4,6) C(4,6] D[4,6]
参考答案:
A
3. 设为的一个内角且,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
4. 下列说法正确的是( )
A、数量可以比较大小,向量也可以比较大小.
B、方向不同的向量不能比较大小,但同向的可以比较大小.
C、向量的大小与方向有关.
D、向量的模可以比较大小.
参考答案:
D
5. 设,,从到的对应法则不是映射的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
6. .函数的最小正周期为 ( )
A B C D
参考答案:
B
7. 为定义在R上的奇函数,当时,(为常数),则
A. B. C.1 D.3
参考答案:
A
略
8. 下列函数中,图象关于对称且为偶函数的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
9. 设M={3,a},N={1,2},M∩N={1},M∪N=( )
A.{1,3,a} B.{1,2,3,a} C.{1,2,3} D.{1,3}
参考答案:
C
【考点】并集及其运算.
【分析】先求出集体合M,N,由此能求出M∪N.
【解答】解:∵M={3,a},N={1,2},M∩N={1},
∴a=1,M={3,1},
∴M∪N={1,2,3}.
故选:C.
【点评】本题考查并集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意并集定义的合理运用.
10. 已知数列,满足,,,且对任意的正整数,当时,都有,则的值是
A. 2012 B. 2013 C. 2014 D. 2015
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数的单调递减区间是
参考答案:
12. 函数,的值域是_________.
参考答案:
13. (5分)函数y=定义域是 .
参考答案:
(5,6]
考点: 函数的定义域及其求法.
专题: 计算题.
分析: 根据偶次根号下的被开方数大于等于零,对数的真数大于零,列出不等式组,进行求解再用集合或区间的形式表示出来.
解答: 解:要使函数有意义,则,
解得,5<x≤6,
则函数的定义域是(5,6].
故答案为:(5,6].
点评: 本题考查了函数定义域的求法,即根据函数解析式列出使它有意义的不等式组,最后注意要用集合或区间的形式表示出来,这是易错的地方.
14. 已知幂函数y=f(x)的图象过点,则f(9)= .
参考答案:
27
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域.
【分析】用待定系数法求出幂函数y=f(x)的解析式,再计算f(9)的值.
【解答】解:设幂函数y=f(x)=xa,a∈R,
且图象过点,
∴2a=2,
解得a=,
∴f(x)=;
∴f(9)==27.
故答案为:27.
15. 已知正方形的边长为1.记以为起点,其余顶点为终点的向量分别为、、;以为起点,其余顶点为终点的向量分别为、、.若且,则的最小值是________.
参考答案:
16. 已知辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示,则时速在的汽车大约有_________辆.
参考答案:
80
17. 已知在中,分别为角A,B,C对应的边长.若则 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知数列{an}满足,
(1)若{an}为不恒カ0的等差数列,求a;
(2)若,证明:.
参考答案:
(1)1;(2)证明见解析.
【分析】
(1)通过对变形、整理可以知道,设,利用等式恒成立列方程组求解即可;(2)利用放缩可以知道,通过叠加可以知道,利用,并项相加可以得到.
【详解】(1)数列为不恒为0的等差数列,
可设,
,
,
,
,
,
整理得:,
,
计算得出: 或 (舍),
,
;
(2)易知,
,
,
两端同时除以,得:,
,
,
,
叠加得:,
又
,
又,
,
,
.
【点睛】本题主要考查根据递推关系研究数列的性质,考查了裂项相消求和以及放缩法证明不等式,属于难题, 裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,常见的裂项技巧:(1);(2) ; (3);(4);此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误.
19. 解方程:log2(4x+4)=x+log2(2x+1﹣3)
参考答案:
【考点】对数的运算性质.
【专题】计算题;转化思想;综合法;函数的性质及应用.
【分析】由已知得4x+4=2x(2x+1﹣3),由此能求出原方程的解.
【解答】解:∵
∴4x+4=2x(2x+1﹣3),
∴4x﹣3?2x﹣4=0,
∴2x=4或2x=﹣1(舍)
∴x=2.
经检验x=2满足方程.
【点评】本题考查对数方程的求解,是基础题,解题时要认真审题,注意对数性质的合理运用.
20. (本小题12分)已知函数y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|<π)的 一段图象(如图)所示.
(1)求函数的解析式;
(2)求这个函数的单调增区间。
参考答案:
(1)由图可知A=3,……………………………………………1分
T==π,又,故ω=2…………………………1分
所以y=3sin(2x+φ),把代入得:
故,∴,k∈Z……………………2分
∵|φ|<π,故k=1,,……………………………………1分
∴………………………………………………1分
(2)由题知,…………………………2分
解得:…………………………………………2分
故这个函数的单调增区间为,k∈Z。………………2分
21. 在△ABC中,,,以边AB为一边长向外作正方体ABEF,O为方形ABEF的中心,M,N分别为边BC,AC的中点.
(1)若,求CO的长.
(2)当变化时,求OM+ON的最大值.
参考答案:
解:(1)因为,
所以,
由余弦定理,,
解得.
(2)取的中点为,连接,设.
在中,由正余弦定理,
在中,由余弦定理,
,
同理.
设,所以,由函数的单调性得
的最大值为.
22. 已知向量与不共线,且,.
(1)若与的夹角为120°,求;
(2)若向量与互相垂直,求k的值.
参考答案:
(1)-16(2)
【分析】
(1)根据平面向量的数量积即可解决。
(2)根据两个向量垂直,数量积为0即可解决。
【详解】解:(1)
(2)由题意可得:,即,
, .
【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积,及两个向量垂直时数量积为0的情况,属于基础题。