山西省吕梁市文水中学高一数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 的值是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GH：同角三角函数基本关系的运用． 【分析】首先把10°角变成30°﹣20°引出特殊角，通过两角和公式进一步化简，最后约分得出结果． 【解答】解：原式= = = =． 故答案为C 2. （5分）已知 f（x）=，则 f[f（﹣2015）]=（） A． 0 B． 2015 C． e D． e2 参考答案： C 考点： 函数的值． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 根据分段函数代入进行求解． 解答： 由分段函数得f（﹣2015）=0， 则f（0）=e， 则f[f（﹣2015）]=f（0）=e， 故选：C 3. 四棱锥的底面是菱形，其对角线，，都与平面垂直，，则四棱锥与公共部分的体积为    A．           B.    C.              D. 参考答案： A 4. 设，则这四个数的大小关系是（    ） A.    B.   C.   D. 参考答案： B ， 所以 ，故选B。   5. 在四面体中，分别是的中点，若，则与所成的角的度数为（　　） A．        B．     C．       D． 参考答案： C 略 6. 设，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A．       B．        C．       D． 参考答案： D ， .   7. 参考答案： C 略 8. 如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，，设∥，若（λ∈R），则λ的值为（　　） A． B． C． D．2 参考答案： C 【考点】平面向量的基本定理及其意义． 【分析】延长AG交BC于点F，易知AF为边BC上的中线，从而表示出，，从而解得． 【解答】解：如图，延长AG交BC于点F， ∵BO为边AC上的中线，， ∴AF为边BC上的中线， ∴=+， 又∵=﹣=+（λ﹣1）， 且∥， ∴：（λ﹣1）=， ∴=λ﹣1， ∴λ=， 故选：C． 　 9. 某大学数学系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为(     ) A．80 B．40 C．60 D．20 参考答案： B 考点：分层抽样方法． 专题：概率与统计． 分析：要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，根据一、二、三、四年级的学生比为4：3：2：1，利用三年级的所占的比例数除以所有比例数的和再乘以样本容量即得抽取三年级的学生人数． 解答： 解：∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本， 一、二、三、四年级的学生比为4：3：2：1， ∴三年级要抽取的学生是 ×200=40， 故选：B． 点评：本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例，本题也可以先做出三年级学生数和每个个体被抽到的概率，得到结果 10. 若集合A={1，a，b}，B={1，﹣1，2}，且B=A，则a+b的值为（　　） A．3 B．1 C．0 D．不能确定 参考答案： B 【考点】集合的相等． 【专题】集合思想；综合法；集合． 【分析】根据集合的相等，求出a，b的值，相加即可． 【解答】解：∵集合A={1，a，b}，B={1，﹣1，2}， 且B=A，∴a=﹣1，b=2或a=2，b=﹣1， 则a+b=1， 故选：B． 【点评】本题考查了集合的相等问题，是一道基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知在数列{an}中，，，则数列{an}的通项公式______． 参考答案： 【分析】 通过变形可知，累乘计算即得结论． 【详解】∵（n+1）an＝nan+1， ∴， ∴，，…，， 累乘得：， 又∵a1＝1， ∴an＝n， 故答案：an＝n． 【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，利用累乘法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题． 12. 幂函数的图象经过点，则的解析式是    ▲    ； 参考答案： 13. 下列几个命题： ①方程若有一个正实根，一个负实根，则； ②函数是偶函数，但不是奇函数； ③函数的值域是，则函数的值域为； ④ 一条曲线和直线的公共点个数是，则的值不可能是. 其中正确的有___________________. 参考答案： 略 14. 关于函数，下列命题： ①函数图像关于点成中心对称； ②函数的图像的一条对称轴为 ； ③若，则成立；    ④在区间上单调递减. 其中正确命题的序号是 . 参考答案： ①③ 15. 已知函数f（x）=（x∈R），给出下面四个命题： ①函数f（x）的图象一定关于某条直线对称； ②函数f（x）在R上是周期函数； ③函数f（x）的最大值为； ④对任意两个不相等的实数，都有成立． 其中所有真命题的序号是　　． 参考答案： ①③ 【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象． 【分析】利用诱导公式化简函数解析式，由f（2﹣x）=f（x）说明①正确；函数f（x）的定义域是R，且其图象有对称轴，由函数解析式可以得出，其图象周期性穿过X轴，由于分母不断增大，图象往两边延伸都无限靠近于X轴，说明函数不是周期函数，②错误；由函数解析式抽象出函数图象的大致形状，说明③正确，④错误． 【解答】解：f（x）==． ∵f（2﹣x）=，∴函数f（x）的图象一定关于直线x=1对称，故①正确； 当x→+∞时，2x+22﹣x→+∞，则f（x）→0，∴函数f（x）在R上不是周期函数，故②错误； 由①知，函数f（x）关于直线x=1对称，且当x＞1时，随着x的增大，其图象大致形状如图： 函数f（x）的最大值为，故③正确； 由图可知，在x=1右侧附近，连接曲线上两点的斜率小于0，故④错误． ∴所有真命题的序号是①③． 故答案为：①③． 16. 在等比数列中，，，则 ____________。 参考答案： 512 略 17. 已知 ，且，则 的最大值为_______. 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数在时有最大值1，，并且时，的取值范围为． 试求m，n的值． 参考答案： 解析： 由题 ，                                 ……5分     ，，即，上单调减，     且．               ……10分     ，n是方程的两个解，方程即     =0，     解方程，得解为1，，．     ，，．                                ……15分 19. (本题满分15分) 已知公比为整数的正项等比数列{an}满足： ， ． （1）求数列{an}的通项公式； （2）令，求数列{bn}的前n项和Sn． 参考答案： （1）设等比数列的公比为， 由，有可得，…………………1分 由可得，…………………2分 两式相除可得： ，…………………3分 整理为： ， 由，且为整数，可解得，故…………………5分 数列的通项公式为．…………………7分 （2）由， ， 有 ，…………………9分 两式作差有： ，…………………11分 得 ，…………………14分 故．…………………15分   20. （本小题满分14分）设函数，已知不等式的解集为. （1）若不等式的解集为，求实数的取值范围；[KS5UKS5U] （2）若对任意的实数都成立，求实数的取值范围. 参考答案： （1）；（2）． 试题分析：（1）首先根据不等式的解集求得的值，然后求出函数的最小值，从而求的取值范围得；（2）首先将问题转化为，然后根据函数的单调性求得的取值范围． 考点：1、不等式恒成立问题；2、函数的单调性． 【方法点睛】在给定自变量的取值范围时，解有关不等式问题时，往往采用分离变量或适当变形，或变换主元，或构造函数，再利用函数的单调或基本不等式进行求解，在解答时，一定要注意观察所给不等式的形式和结构，选取合适的方法去解答． 21. （本小题满分10分） 已知为第三象限角，． （１）化简     （２）若，求的值 参考答案： （1） （2）∵     ∴       从而又为第三象限角 ∴    即的值为 22. 已知函数 ⑴若函数在区间上存在零点，求实数a的取值范围；. ⑵当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数m的取值范围。 参考答案： ⑴ 函数图象的对称轴为直线，要使在上有零点， 则即所以所求实数a的取值范围是.  ……4分 ⑵当时， 所以当时，，记. 由题意，知 当时，在上是增函数， ，记. 由题意，知 解得   ……7分 当时，在上是减函数， ，记. 由题意，知 解得   ……7分 综上所述，实数m的取值范围是