山西省太原市五十二中学高一数学文期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知,,则在方向上的投影为( )
A. -4 B. -2 C. 2 D.4
参考答案:
D
2. 已知, , 且, 则= .
参考答案:
1
略
3. 已知函数f(+1)=x+1,则函数f(x)的解析式为 ( )
A.f(x)=x2 B.f(x)=x2+1(x≥1)
C.f(x)=x2-2x+2(x≥1) D.f(x)=x2-2x(x≥1)
参考答案:
C
4. 已知向量与的夹角为60°,||=2,||=6,则2﹣在方向上的投影为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
A
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】根据平面向量数量积的定义与投影的定义,进行计算即可.
【解答】解:∵向量与的夹角为60°,||=2,||=6,
∴(2﹣)?=2﹣=2×22﹣6×2×cos60°=2,
∴2﹣在方向上的投影为=.
故选:A.
【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与投影的计算问题,是基础题目.
5. 设锐角q使关于x的方程有重根,则q的弧度数为 [ ]
A. B。 C。 D。
参考答案:
解析:因方程有重根,故
得
,于是。 故选B。
6. 为了使函数y=sinωx(ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值,
则ω的最小值是( ).
A.98π B. π C. π D.100π
参考答案:
B
略
7. 以下四组函数中,表示相同函数的是( )
A f=与g= B 与g=
C f=与 g= D =与=
参考答案:
D
略
8. 若△ABC的三个内角满足,则△ABC( )
A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形
C. 一定是钝角三角形 D. 可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形
参考答案:
C
试题分析:由正弦定理得,所以C是最大的角,由余弦定理,所以C为钝角,因此三角形ABC一定是钝角三角形
考点:三角形形状的判定及正、余弦定理的应用
9. 已知a,5,b组成公差为d的等差数列,又a,4,b组成等比数列,则公差d=( )
A.-3 B.3 C.-3或3 D.2或
参考答案:
C
10. 为了从甲、乙两组中选一组参加“喜迎国庆共建小康”知识竞赛活动.班主任老师将两组最近的6次测试的成绩进行统计,得到如图所示的茎叶图.若甲、乙两组的平均成绩分别是.则下列说法正确的是( )
A. ,乙组比甲组成绩稳定,应选乙组参加比赛
B. ,甲组比乙组成绩稳定.应选甲组参加比赛
C. ,甲组比乙组成绩稳定.应选甲组参加比赛
D. ,乙组比甲组成绩稳定,应选乙组参加比赛
参考答案:
D
【分析】
由茎叶图数据分别计算两组的平均数;根据数据分布特点可知乙组成绩更稳定;由平均数和稳定性可知应选乙组参赛.
【详解】;
乙组的数据集中在平均数附近 乙组成绩更稳定
应选乙组参加比赛
本题正确选项:D
【点睛】本题考查茎叶图的相关知识,涉及到平均数的计算、数据稳定性的估计等知识,属于基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,,若方程f(x)=kx恰有3个不同的根,则实数k的取值范围是 .
参考答案:
[﹣,﹣)∪(,]
【考点】根的存在性及根的个数判断;分段函数的应用.
【分析】利用周期与对称性得出f(x)的函数图象,根据交点个数列出不等式得出k的范围.
【解答】解:∵当x>2时,f(x)=f(x﹣1),
∴f(x)在(1,+∞)上是周期为1的函数,
作出y=f(x)的函数图象如下:
∵方程f(x)=kx恰有3个不同的根,
∴y=f(x)与y=kx有三个交点,
若k>0,则,解得<k≤,
若k<0,由对称性可知﹣≤k<﹣.
故答案为:[﹣,﹣)∪(,].
12. 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)一个周期的图象(如图),则这个函数的解析式为 .
参考答案:
f(x)=.
【分析】由图象的顶点坐标求出A,由周期求出ω,通过图象经过(,1),求出φ,从而得到f(x)的解析式.
【解答】解:由函数的图象可得A=1, T=﹣,解得:T==π,
解得ω=2.
图象经过(,1),可得:1=sin(2×+φ),
解得:φ=2kπ+,k∈Z,
由于:|φ|<,
可得:φ=,
故f(x)的解析式为:f(x)=.
故答案为:f(x)=.
13. 函数的图象恒过一定点,这个定点是_______________.
参考答案:
略
14. 设向量=(1,cosθ)与=(﹣1,2cosθ)垂直,则cos2θ等于 .
参考答案:
0
【考点】平面向量数量积的运算;二倍角的余弦.
【分析】利用向量=(1,cosθ)与=(﹣1,2cosθ)垂直,得出1×(﹣1)+cosθ×2cosθ=0,化简整理即得.
【解答】解:∵=(1,cosθ)与=(﹣1,2cosθ)垂直,∴=0,
即1×(﹣1)+cosθ×2cosθ=0,
化简整理得2cos2θ﹣1=0,
即cos2θ=0
故答案为:0.
15. 已知函数f(x)=lgx,若f(ab)=1,则f(a2)+f(b2)= .
参考答案:
2
【考点】对数的运算性质.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】由函数f(x)=lgx,f(ab)=lg(ab)=1,知f(a2)+f(b2)=lga2+lgb2=2lg(ab).由此能求出结果.
【解答】解:∵函数f(x)=lgx,f(ab)=lg(ab)=1,
f(a2)+f(b2)=lga2+lgb2
=lg(ab)2=2lg(ab)=2.
故答案为:2.
【点评】本题考查对数的运算性质,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.
16. 若由表格中的数据可以判定方程的一个零点所在的区间为,则实数的值为___________
-1
0
1
2
3
0.37
1
2.72
7.39
20.09
1
2
3
4
5
参考答案:
1
17. 若指数函数y=f(x)的图象过点(1,2),则f(2)= .
参考答案:
4
【考点】指数函数的单调性与特殊点.
【专题】计算题;函数思想;定义法;函数的性质及应用.
【分析】设函数f(x)=ax,a>0 且a≠1,把点(1,2),求得a的值,可得函数的解析式,代值计算即可.
【解答】解:设函数f(x)=ax,a>0 且a≠1,
把点(1,2),代入可得 a1=2,求得a=2,
∴f(x)=2x,
∴f(2)=22=4
故答案为:4.
【点评】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式,求函数的值,属于基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)某校高三年级一次数学考试之后,为了解学生的数学学习情况, 随机抽取名学生的数 学成绩, 制成下表所示的频率分布表.
(1) 求,,的值;
(2) 若从第三, 四, 五组中用分层抽样方法抽取6名学生,并在这6名学生中随机抽取2
名与张老师面谈,求第三组中至少有名学生与张老师面谈的概率.
参考答案:
(1)依题意,得,
解得,,,. ……………3分
(2)因为第三、四、五组共有60名学生,用分层抽样方法抽取6名学生,
则第三、四、五组分别抽取名,名,名. …………6分
第三组的名学生记为,第四组的名学生记为,第五组的名学生记为,
则从名学生中随机抽取名,共有种不同取法,具体如下:,,,,,,,,,
,,,,,. ……………8分
其中第三组的名学生没有一名学生被抽取的情况共有种,具体如下:,,. ……………10分
故第三组中至少有名学生与张老师面谈的概率为. ……………12分
19. 中华龙鸟是生存于距今约1.4亿年的早白垩世现已灭绝的动物,在一次考古活动中,考古学家发现了中华龙鸟的化石标本共5个,考古学家检查了这5个标本股骨和肱骨的长度,得到如下表的数据:
股骨长度x/cm
38
56
59
64
73
肱骨长度y/cm
41
63
70
72
84
若由资料可知肱骨长度y与股骨长度x呈线性相关关系.
(1)求y与x的线性回归方程y=x+(,精确到0.01);
(2)若某个中华龙鸟的化石只保留有股骨,现测得其长度为37cm,根据(1)的结论推测该中华龙鸟的肱骨长度(精确到1cm).
(参考公式和数据:b=,a=﹣, xiyi=19956, x=17486)
参考答案:
【考点】线性回归方程.
【专题】计算题;应用题;函数思想;综合法;概率与统计.
【分析】(1)求出,代入回归系数公式解出,,得到回归方程;
(2)把x=37代入回归方程求出y即为肱骨长度的估计值.
【解答】解:(1)=(38+56+59+64+73)=58, =(41+63+70+72+84)=66,
∴==1.23, =66﹣1.23×58=﹣5.34.
∴y与x的线性回归方程是y=1.23x﹣5.34.
(2)当x=37时,y=1.23×37﹣5.34≈40.
∴此中华龙鸟的肱骨长度约为40cm.
【点评】本题考查了线性回归方程的求法和数值估计,属于基础题.
20. (16分)已知向量=(m,﹣1),=(,)
(1)若m=﹣,求与的夹角θ;
(2)设⊥.
①求实数m的值;
②若存在非零实数k,t,使得[+(t2﹣3)]⊥(﹣k+t),求的最小值.
参考答案:
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】(1)由条件利用两个向量的数量积的定义求得cosθ=的值,可得θ的值.
(2)①利用两个向量垂直的性质,求得m的值.
②根据[+(t2﹣3)]?(﹣k+t)=0,求得4k=t(t2﹣3),从而求得=,再利用二次函数的性质求得它的最小值.
【解答】解:(1)向量=(m,﹣1),=(),若m=﹣,与的夹角θ,
则有cosθ===﹣,∴θ=.
(2)①设,则=﹣=0,∴m=.
②由①可得, =(,﹣1),=﹣=0,
若存在非零实数k,t,使得[+(t2﹣3)]⊥(﹣k+t),故有[+(t2﹣3)]?(﹣k+t)=0,
∴﹣k+[﹣k(t2﹣3)+t] +t(t2﹣3)=﹣k?4+0+t(t2﹣3)=0,∴4k=t(t2﹣3),
∴=+t==≥﹣,当且仅当t=﹣2时,取等号,
故的最小值为﹣.
【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算,两个向量垂直的性质,二次函数的性质应用,属于中档题.
21. 已知圆与圆.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程;
(2)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程.
参考答案:
(1)(2)
试题分析:(1)过圆与圆交点的直线,即为两圆公共弦的直线.
所以过A、B两点的直线方程. 5分
(2)设所求圆的方程为. 6分
则圆心坐标为8分
∵圆心在直线上
∴将圆心坐标代入直线方程,得9分