辽宁省大连市瓦房店实验中学2022年高二数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图,设向量=(3,1),=(1,3),若=λ+μ,且μ≥λ≥1,则用阴影表示C点的位置区域正确的是( )
参考答案:
C
略
2. 一个质点在如图所示的平面直角坐标系中移动,每秒移动一步,第一个四步:第一步,从原点出发向右移动一个单位长度,第二步,向上移动一个单位长度,第三步,向左移动一个单位长度,第四步,向上移动一个单位长度,第二个四步:与前四步方向一致,但移动长度都增加一个单位长度.第三个四步:与前四步方向一致,但移动长度都增加一个单位长度,照此规律,该质点第101秒所在的坐标为( )
A.(25,625) B.(25,650) C.(26,625) D.(26,650)
参考答案:
D
【考点】F4:进行简单的合情推理.
【分析】由题意,前四秒质点向上移动了2个单位长度,第五至八秒,质点向上移动了4个单位长度,第三个四步:与前四步方向一致,但移动长度都增加一个单位长度,照此规律,由101=4×25+1,能求出该质点第101秒所在的坐标.
【解答】解:由题意,前四秒质点向上移动了2个单位长度,
第五至八秒,质点向上移动了4个单位长度,
第三个四步:与前四步方向一致,但移动长度都增加一个单位长度,照此规律,
由101=4×25+1,该质点第101秒所在的坐标为:(26,),即(26,650).
∴该质点第101秒所在的坐标为(26,650).
故选:D.
【点评】本题考查排列、组合的综合应用,关键是分类讨论“移动4次又回到原点”的可能情况,考查学生分析解决问题的能力,考查函数的性质及应用,是中档题.
3. 已知复数满足,则复数的对应点在复平面上的集合是( )
A.线段 B.椭圆 C.双曲线 D.双曲线的一支
参考答案:
D
略
4. 设复数,则= ( )
A. B.1 C. D.5
参考答案:
D
5. 设a,b为实数,若复数,则
A. B.
C. D.
参考答案:
A
【分析】
先化简,然后用复数相等的条件,列方程组求解.
【详解】由可得1+2i=(a﹣b)+(a+b)i,所以,解得,,
故选:A.
【点睛】本题考查了复数相等的概念及有关运算,考查计算能力.是基础题.
6. 函数的定义域为
A、 B、 C、 D、
参考答案:
C
7. 关于相关系数r,下列说法正确的是 ( )
A.越大,线性相关程度越大 B.越小,线性相关程度越大
C.越大,线性相关程度越小,越接近0,线性相关程度越大
D.且越接近1,线性相关程度越大,越接近0,线性相关程度越小
参考答案:
C
8. 若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值为( )
A. 2 B. 4 C. 8 D.
参考答案:
C
9. 已知长方体,,,为中点,则异面直线与所成的角的余弦值为 ( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
略
10. 下列结论不正确的是( )
A.若y=3,则y'=0 B.若,则
C.若,则 D.若y=x,则y'=1
参考答案:
B
【考点】导数的运算.
【分析】根据导数的基本公式判断即可.
【解答】解:若y=3,则y'=0,故A正确,
若,则y′=﹣x,故B错误
若y=,y′=,故C正确,
若y=x,则y'=1,故D正确,
故选:B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数在处有极大值,则 .
参考答案:
6
12. 图是甲,乙两名同学次综合测评成绩的茎叶图,则乙的成绩的中位数是 ,甲乙两人中成绩较为稳定的是 .
参考答案:
87;甲。
13. 一个容量为20的样本数据,分组后,组距和频数如下:
[10,20),2;[20,30),3;[30,40),4;[40,50),5;
[50,60),4;[60,70],2.则样本数据在区间[50,+∞)上的频率为 ▲ .
参考答案:
略
14. 阅读下面的算法框图.若输入m=4,n=6,则输出a=________,i=_______.
参考答案:
略
15. 已知直线和两个不同的平面、,且,,则、的位置关系是_____.
参考答案:
平行
16. 若三角形的一边长为,这条边所对的角为,另两边之比为,则此三角形的面积是________.
参考答案:
解析: 设两边为,则,
得,得三角形的面积是.
17. 某细胞集团,每小时有2个死亡,余下的各个分裂成2个,经过8小时后该细胞集团共有772个细胞,则最初有细胞__________个.
参考答案:
7.
【分析】
设开始有细胞a个,利用细胞生长规律计算经过1小时、2小时后的细胞数,找出规律,得到经过8小时后的细胞数,根据条件列式求解.
【详解】设最初有细胞a个,因为每小时有2个死亡,余下的各个分裂成2个,所以
经过1个小时细胞有,
经过2个小时细胞有=,
······
经过8个小时细胞有,又,
所以,,.
故答案为7.
【点睛】本题考查等比数列求和公式的应用,找出规律、构造数列是解题关键,考查阅读理解能力及建模能力,属于基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设轴对称的任意两个不同的点,连结交椭圆
于另一点,证明:直线与x轴相交于定点;
(3)在(2)的条件下,过点的直线与椭圆交于、两点,求的取值
范围.
参考答案:
解:(1)由题意知
故椭圆C的方程为 ………………3分
(2)由题意知直线PB的斜率存在,设直线PB的方程为
由 …………①
将代入整理得,
得 ………………②
由①得代入②整得,得
所以直线AE与x轴相交于定点Q(1, 0) …………7分
(3)当过点Q的直线MN的斜率存在时,
设直线MN的方程为在椭圆C上。
所以 ………………13分
19. (本小题满分12分)
已知函数,当时,;当()时,.
(1)求在[0,1]内的值域;
(2)为何值时,不等式在上恒成立.
参考答案:
20. (13分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,E是PC的中点.已知AB=2,AD=2,PA=2.求:
(1)三角形PCD的面积;
(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.
参考答案:
)[解](1)因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥CD,又AD⊥CD,
所以CD⊥平面PAD, 从而CD⊥PD
因为PD=,CD=2,
所以三角形PCD的面积为 6分
(2)[解法一]如图所示,建立空间直角坐标系,
则B(2, 0, 0),C(2, 2,0),E(1, , 1),
,
设与的夹角为q,则
,q=. 12分
由此可知,异面直线BC与AE所成的角的大小是 13分
略
21. 某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨,B原料2吨;
生产每吨乙产品要用A原料1吨,B原料3吨,销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18吨.那么在一个生产周期内该企业生产甲、乙两种产品各多少吨可获得最大利润,最大利润是多少?(用线性规划求解要画出规范的图形)
参考答案:
解: 设生产甲产品吨,生产乙产品吨,
则有:
目标函数………………………………5分
作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域.如图:……9分
作直线:,平移,观察知,;当经过点时,取到最大值
解方程组得的坐标为
………………………………
22. 已知圆C的方程是(x﹣1)2+(y﹣1)2=4,直线l的方程为y=x+m,求:当m为何值时
(1)直线平分圆;
(2)直线与圆相切;
(3)直线与圆有两个公共点.
参考答案:
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】(1)根据题意,由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径r,直线平分圆即直线过圆心,所以把圆心坐标代入直线方程中即可求出m的值;
(2)直线与圆相切时,圆心到直线的距离等于半径,所以利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d,让d等于圆的半径列出关于m的方程,求出方程的解即可得到符合题意m的值;
(3)直线与圆有两公共点即直线与圆相交,即圆心到直线的距离公式小于圆的半径,所以利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离d,让d小于圆的半径列出关于m的不等式,求出不等式的解集即可得到满足题意的m的范围.
【解答】解:由圆的方程(x﹣1)2+(y﹣1)2=4,得到圆心坐标为(1,1),圆的半径r=2,
(1)当直线平分圆时,即直线过圆的直径,把(1,1)代入y=x+m中,解得m=0;
(2)当直线与圆相切时,圆心(1,1)到直线y=x+m的距离d==r=2,解得m=±2;
(3)当直线与圆有两个公共点即直线与圆相交时,圆心(1,1)到直线的距离d=<r=2,
解得:﹣2<m<2.
所以,当m=0时,直线平分圆;当m=±2时,直线与圆相切;当﹣2<m<2时,直线与圆有两个公共点.
【点评】此题考查学生掌握直线与圆相切及相交时所满足的条件,是一道综合题.