广西壮族自治区防城港市第四中学高二数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,与双曲线x2﹣y2=1的渐近线有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为( )
A. +=1 B. +=1 C. +=1 D. +=1
参考答案:
D
【考点】圆锥曲线的共同特征;椭圆的标准方程;双曲线的简单性质.
【分析】由题意,双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x,根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,可得(2,2)在椭圆C: +=1.利用,即可求得椭圆方程.
【解答】解:由题意,双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x
∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,故边长为4,
∴(2,2)在椭圆C: +=1(a>b>0)上
∴
又∵
∴
∴a2=4b2
∴a2=20,b2=5
∴椭圆方程为: +=1
故选D.
2. 过点与直线垂直的直线的方程为( )
A.
B.
C.
D.
参考答案:
A
略
3. 设离散型随机变量X的概率分布列如下表:
则p等于( )
参考答案:
D
略
4. 已知函数的定义域是,关于函数给出下列命题:
①对于任意,函数是上的减函数;
②对于任意,函数存在最小值;
③存在,使得对于任意的,都有成立;
④存在,使得函数有两个零点.
其中正确命题的序号是 ( ).
A.①② B.②③
C.②④ D.③④
参考答案:
C
5. 已知f′(x)是函数f(x),(x∈R)的导数,满足f′(x)=﹣f(x),且f(0)=2,设函数g(x)=f(x)﹣lnf3(x)的一个零点为x0,则以下正确的是( )
A.x0∈(﹣4,﹣3) B.x0∈(﹣3,﹣2) C.x0∈(﹣2,﹣1) D.x0∈(﹣1,0)
参考答案:
D
【考点】利用导数研究函数的单调性.
【分析】求出f(x)的表达式,得到g(x)的表达式,设h(x)=f(x)﹣g(x),求出h(0)和h(﹣1)的值,从而求出x0的范围.
【解答】解:设f(x)=ke﹣x,
则f(x)满足f′(x)=﹣f(x),
而f(0)=2,∴k=2,
∴f(x)=2e﹣x,
∴g(x)=3lnf(x)=3(﹣x+ln2)=﹣3x+3ln2,
设h(x)=f(x)﹣g(x),
则h(x)=2e﹣x+3x﹣3ln2,
∴h(0)=2﹣3ln2<0,h(﹣1)=2e﹣3﹣3ln2>0,
即在(﹣1,0)上存在零点,
故选:D.
6. 已知f(x)=3x+1(x∈3x+1(x∈R),若|f(x)﹣4|<a的充分条件是|x﹣1|<b(a,b>0),则a,b之间的关系是( )
A.a B. C. D.
参考答案:
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】由题意的|f(x)﹣4|=|3x﹣3|<a,即原不等式等价于|x﹣1|<.根据题意可得|x﹣1|<的充分条件是|x﹣1|<b,即|x﹣1|<b?|x﹣1|<,进而可得到答案.
【解答】解:因为f(x)=3x+1(x∈R),
所以|f(x)﹣4|=|3x﹣3|<a,即原不等式等价于|x﹣1|<.
又因为|f(x)﹣4|<a的充分条件是|x﹣1|<b,
所以|x﹣1|<的充分条件是|x﹣1|<b.
即|x﹣1|<b?|x﹣1|<
所以.
故选B.
7. 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(2﹣x),且f(﹣1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f
A.1 B.0 C.﹣2 D.2
参考答案:
C
【考点】函数奇偶性的性质.
【分析】本题通过赋值法对f(2﹣x)=f(x)中的x进行赋值为2+x,可得﹣f(x)=f(2+x),可得到函数f(x)的周期为4,根据奇函数的性质得到f(0)=0,再通过赋值法得到f(1),f(2),f(3),f(4)的值,即可求解.
【解答】解:∵f(2﹣x)=f(x),∴f[2﹣(2+x)]=f(2+x),即f(﹣x)=f(2+x),即﹣f(x)=f(2+x),
∴f(x+4)=f(4+x),故函数f(x)的周期为4.
∵定义在R上的奇函数f(x)满足f(2﹣x)﹣f(x)=0,且f(﹣1)=2,
∴f(0)=0,f(1)=﹣f(﹣1)=﹣2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(﹣1)=2,f(4)=f(0)=0,
∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f+f(2)+f(3)+f(4)]+f+f(1)=0+(﹣2)=﹣2,
故选:C.
8. 执行如图所示的程序框图,输出.那么判断框内应填( )
A.k≤2015 B.k≤2016 C.k≥2015 D.k≥2016
参考答案:
A
【考点】程序框图.
【分析】模拟执行程序框图,根据程序的功能进行求解即可.
【解答】解:本程序的功能是计算S=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣,
由1﹣=,得=,
即k+1=2016,即k=2015,
即k=2016不成立,k=2015成立,
故断框内可填入的条件k≤2015,
故选:A.
9. 双曲线﹣=1的焦距的最小值为( )
A. B.2 C.5 D.10
参考答案:
B
【考点】双曲线的标准方程.
【分析】由题意,2c=2,即可求出双曲线﹣=1的焦距的最小值.
【解答】解:由题意,2c=2,
∴双曲线﹣=1的焦距的最小值为2,
故选B.
10. 已知△ABC满足:,,则BC的长是( )
A.2 B.1 C.1或2 D.3
参考答案:
C
【考点】余弦定理的应用;正弦定理的应用.
【专题】计算题.
【分析】利用余弦定理公式,根据题设中的条件建立等式整理后求得BC的值.
【解答】解:由余弦定理可知cosB==,
整理得BC2﹣3BC+2=0,求得BC=1或2,
故选C.
【点评】本题主要考查了余弦定理的应用.属基础题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若等边的边长为,平面内一点满足, 则_________
参考答案:
2
12. 如图,在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD的边长为7,BD1与底面所成角的大小为,则该正四棱柱的高等于 .
参考答案:
【考点】直线与平面所成的角.
【分析】根据正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱D1D⊥底面ABCD,判断∠D1BD为直线BD1与底面ABCD所成的角,即可求出正四棱柱的高.
【解答】解:∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱D1D⊥底面ABCD,
∴∠D1BD为直线BD1与底面ABCD所成的角,
∴tan∠D1BD=,
∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD的边长为3,
∴BD=7,
∴正四棱柱的高=7=,
故答案为:
13. 若抛物线的焦点在直线x﹣2y﹣4=0上,则此抛物线的标准方程是 .
参考答案:
y2=16x或x2=﹣8y
【考点】抛物线的标准方程.
【分析】分焦点在x轴和y轴两种情况分别求出焦点坐标,然后根据抛物线的标准形式可得答案.
【解答】解:当焦点在x轴上时,根据y=0,x﹣2y﹣4=0可得焦点坐标为(4,0)
∴抛物线的标准方程为y2=16x
当焦点在y轴上时,根据x=0,x﹣2y﹣4=0可得焦点坐标为(0,﹣2)
∴抛物线的标准方程为x2=﹣8y
故答案为:y2=16x或x2=﹣8y
【点评】本题主要考查抛物线的标准方程.属基础题.
14. 过抛物线焦点的直线的倾斜角为,且与抛物线相交于两点,为原点,那么的面积为 .
参考答案:
略
15. 如图,在某个城市中,M,N两地之间有南北街道5条、东西街道4条,现要求沿图中的街道,以最短的路程从M走到N,则不同的走法共有_________种.
参考答案:
35
略
16. 底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球,四个球两两相切,其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水,使水面恰好浸没所有铁球,则需要注水. 四个球心在底面的射影,则ABCD是一个边长为的正方形,所以注水高为1+,故应注水 .
参考答案:
cm3.
解析:设四个实心铁球的球心为,其中为下层两球的球心, 分别为四个球心在底面的射影。则ABCD是一个边长为的正方形。所以注水高为. 故应注水=
17. 与点P(3,﹣2)关于直线x﹣1=0对称的点的坐标是 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在直角坐标系xOy中,曲线C1: (t为参数,且t≠0),其中,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:, C3:.
(I)求C2与C3交点的直角坐标;
(II)若C1与 C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|最大值.
参考答案:
19. 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,c =3,.
(1) 求b的值; (2) 求sinC的值.
参考答案:
(Ⅰ)由余弦定理,,
得, ……3分
. ……5分
(Ⅱ)方法1:由余弦定理,得, ……8分
∵C是△ABC的内角, ……9分
∴. …10分
方法2:∵,且B是△ABC的内角,
∴. ……6分
根据正弦定理,,
. ……10分
20. 欲测河的宽度,在一岸边选定A、B两点,望对岸的标记物C,测得∠CAB=45°,∠CBA=75°,AB=120 m,求河宽. 欲测河的宽度,在一岸边选定A、B两点,望对岸的标记物C,测得∠CAB=45°,∠CBA=75°,AB=120 m,求河宽.
参考答案:
解:由题意C=180°-A-B=180°-45°-75°=60°
在△ABC中,由正弦定理=
∴ BC====40
S△ABC=AB·BCsinB=AB·h
∴h=BCsinB=40×=60+20
略
21. (本小题满分12分)
由世界自然基金会发起的“地球1小时”活动,已发展成为最有影响力的环保活动之一,今年的参与人数再创新高.然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问.对此,某新闻媒体进行了网上调查,所有参与调查的人中,持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示:
支持
保留
不支持
20岁以下
800
450
200
20岁以上(含20岁)
100
150
300
(1)在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取个人,已知从“支持