浙江省宁波市三山中学高二数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 复数是纯虚数,则=
A. B.1 C. D.
参考答案:
D
略
2. 在满足极坐标和直角坐标互化的条件下,极坐标方程经过直角坐标系下的伸缩变换后,得到的曲线是( )
A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 直线
参考答案:
A
【分析】
先将极坐标方程转化为直角坐标方程,然后进行伸缩变换,由此判断所得曲线是什么曲线.
【详解】由得,即,由得,代入得,即,表示的曲线为圆,故选A.
【点睛】本小题主要考查极坐标方程转化为直角坐标方程,考查伸缩变换等知识,属于基础题.
3.
参考答案:
B
略
4. 若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则实数m的取值范围是( )
A.(,+∞) B.(-∞,) C. [,+∞) D. (-∞,]
参考答案:
C
5. 圆x2+y2﹣6x+4y+12=0与圆(x﹣7)2+(y﹣1)2=36的位置关系是( )
A.外切 B.相交 C.内切 D.外离
参考答案:
A
【考点】圆与圆的位置关系及其判定.
【专题】计算题;方程思想;综合法;直线与圆.
【分析】将圆的方程分别化为标准方程,找出圆心坐标和半径,利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d,可得出d=R﹣r,可得出两圆内切.
【解答】解:将圆x2+y2﹣6x+4y+12=0化为标准方程得:(x﹣3)2+(y+2)2=1,
又,(x﹣7)2+(y﹣1)2=36,
∴圆心坐标分别为(3,﹣2)和(7,1),半径分别为r=1和R=6,
∵两圆心距d==5,
∴d=R﹣r,
则两圆的位置关系是内切.
故选:A.
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系及其判定,圆与圆的位置关系可以由圆心距d与R及r的关系来判定,当d<R﹣r时,两圆内含;当d=R﹣r时,两圆内切;当R﹣r<d<R+r时,两圆相交;当d=R+r时,两圆外切;当d>R+r时,两圆外离.
6. 已知a,b,c∈R,下列命题中正确的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
略
7. 已知过双曲线Г: =1(a>0,b>0)的右焦点F2作圆x2+y2=a2的切线,交双曲线Г的左支交于点A,且AF1⊥AF2,则双曲线的渐近线方程是( )
A.y=±2x B.y=±x C.y=±x D.y=±x
参考答案:
A
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】设切点为M,连接OM,运用切线的性质,以及中位线定理,可得AF1=2a,由双曲线的定义,可得AF2=2a+AF1=4a,再由勾股定理,可得c2=5a2,结合a,b,c的关系,可得b=2a,进而得到双曲线的渐近线方程.
【解答】解:设切点为M,连接OM,
可得OM⊥AF2,
AF1⊥AF2,可得AF1∥OM,
且OM=a,AF1=2a,
由双曲线的定义,可得AF2=2a+AF1=4a,
在直角三角形AF1F2中,
AF12+AF22=F1F22,
即为4a2+16a2=4c2,
即有c2=5a2,
由c2=a2+b2,可得b=2a,
可得双曲线的渐近线方程为y=±x,
即为y=±2x.
故选:A.
8. 若、、是互不相同的空间直线,、是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
参考答案:
D
略
9. 不等式成立的必要不充分条件是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
10. 阅读如图所示的程序框图,输出的结果的值为( )
A.0 B. C. D.
参考答案:
A
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知复数z满足,其中i为虚数单位,则复数z= .
参考答案:
,
,故答案为.
12. 命题“”的否定是
参考答案:
13. 如果执行右边的程序框图,那么输出的 ▲ .
参考答案:
110
略
14. 已知点满足,则的取值范围是____▲____.
参考答案:
略
15. (几何证明选讲选做题)如图,已知⊙O的割线PAB交⊙O于A,B两点,割线PCD经过圆心,若PA=3,AB=4,PO=5,则⊙O的半径为________.
参考答案:
2
设圆的半径为R,由得解得R=2.
16. 已知(﹣)n的展开式中只有第四项的二项式系数最大,则展开式中的常数项等于 .
参考答案:
15
【考点】二项式系数的性质.
【分析】先利用展开式中只有第四项的二项式系数最大求出n=6,再求出其通项公式,令x的指数为0,求出r,再代入通项公式即可求出常数项的值.
【解答】解:(﹣)n的展开式中只有第四项的二项式系数最大所以n=6.
其通项公式Tr+1=C6r?(﹣1)r?x,
令﹣6=0,求得r=4,可得展开式中的常数项为C64?(﹣1)4=15,
故答案为:15.
17. 课外阅读所用时间的数据,结果用如右图所示的条形图表示.根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为________.
参考答案:
0.9
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (12分)已知圆A:,圆B:,动圆P与圆A、圆B均外切.
(Ⅰ) 求动圆P的圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ)过圆心B的直线与曲线C交于M、N两点,求|MN|的最小值.
参考答案:
(Ⅰ)设动圆P的半径为,则│PA│=,│PB│=,
∴│PA│-│PB│=2. ………………………………………3分
故点P的轨迹是以A、B为焦点,实轴长为2的双曲线的右支,
其方程为(≥1). ………………………………………5分
(Ⅱ)(1)设MN的方程为,代入双曲线方程,得
.
由,解得. ………………………………………8分
设,则
.………………………10分
当时,. ………………………………………12分
19. 已知复数,求及.
参考答案:
解:
…4分
∴, …2分
。 …2分
略
20. 已知圆C的圆心坐标为(2,0), 直线与圆C交于点M, P, 直线与圆C交于点N, Q, 且M, N在x轴的上方. 当时, 有.
(1) 求圆C的方程;
(2) 当直线PQ的斜率为时, 求直线MN的方程.
参考答案:
21. 在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且=﹣.
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)若b=,a+c=4,求△ABC的面积.
参考答案:
【考点】解三角形.
【分析】(1)根据正弦定理表示出a,b及c,代入已知的等式,利用两角和的正弦函数公式及诱导公式变形后,根据sinA不为0,得到cosB的值,由B的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出角B的度数;
(2)由(1)中得到角B的度数求出sinB和cosB的值,根据余弦定理表示出b2,利用完全平方公式变形后,将b,a+c及cosB的值代入求出ac的值,然后利用三角形的面积公式表示出△ABC的面积,把ac与sinB的值代入即可求出值.
【解答】解:(1)由正弦定理得:
a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,
将上式代入已知,
即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0,
即2sinAcosB+sin(B+C)=0,
∵A+B+C=π,
∴sin(B+C)=sinA,
∴2sinAcosB+sinA=0,即sinA(2cosB+1)=0,
∵sinA≠0,∴,
∵B为三角形的内角,∴;
(II)将代入余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得:
b2=(a+c)2﹣2ac﹣2accosB,即,
∴ac=3,
∴.
22. 已知函数.
(1)讨论f(x)在(1,+∞)上的单调性;
(2)若对恒成立,求正整数a的最小值.
参考答案:
(1),
当时,在上单调递增.
当或时,,在单调递减.
当且时,令,得;
令,得.
∴在上单调递增,在上单调递减.
(2)∵对恒成立.
∴,解得或,
则正整数的最小值为.
下面证明当时,对恒成立,过程如下:
当时,
令,得;
令,得.
故,
从而对恒成立.
故整数的最小值为5.