上海新加坡国际学校2022年高一数学文下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 正方体ABCD﹣A1B1C1D1中AB的中点为M,DD1的中点为N,则异面直线B1M与CN所成的角是( )
A.0° B.45° C.60° D.90°
参考答案:
D
【考点】异面直线及其所成的角.
【分析】根据异面直线所成角的定义,把直线CN平移和直线B1M相交,找到异面直线B1M与CN所成的角,解三角形即可求得结果.在平移直线时经常用到遇到中点找中点的方法.
【解答】解:去AA1的中点E,连接EN,BE角B1M于点O,
则EN∥BC,且EN=BC
∴四边形BCNE是平行四边形
∴BE∥CN
∴∠BOM就是异面直线B1M与CN所成的角,
而Rt△BB1M≌Rt△ABE
∴∠ABE=∠BB1M,∠BMB1=∠AEB,
∴∠BOM=90°.
故选D.
2. 设全集,集合,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
3. 已知定义在R上的函数在(-∞,-2)上是减函数,若是奇函数,且,则不等式的解集是( )
A.(-∞,-4]∪[-2,+∞) B.[-4,-2]∪[0,+∞)
C. (-∞,-2]∪[2,+∞) D.(-∞,-4]∪[0,+∞)
参考答案:
A
由 是把函数f(x)向右平移个单位得到的,所以函数f(x)的图象关于 对称,如图,且 , , ,结合函数的图象可知,当 或 时,综上所述, 的解集是 ,故选A.
4. 若,,与的夹角为,则( )
A.2 B.1 C.2 D.4
参考答案:
B
5. 如图,用向量,表示向量为( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
由图可知,,所以向量,故选C.
6. 设,,,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
7. 已知△ABC的平面直观图△A′B′C′,是边长为a的正三角形,那么原△ABC的面积为( )
A. a 2 B. a 2 C. a 2 D. a 2
参考答案:
C
【考点】LB:平面图形的直观图.
【分析】根据斜二测画法原理作出△ABC的平面图,求出三角形的高即可得出三角形的面积.
【解答】解:如图(1)所示的三角形A′B′C′为直观图,
取B′C′所在的直线为x′轴,B′C′的中点为O′,且过O′与x′轴成45°的直线为y′轴,
过A′点作M′A′∥O′y′,交x′轴于点M′,则在直角三角形A′M′O′中,O′A′=a,∠A′M′O′=45°,
∴M′O′=O′A′=a,∴A′M′=a.
在xOy坐标平面内,在x轴上取点B和C,使OB=OC=,
又取OM=a,过点M作x轴的垂线,且在该直线上截取MA=a,连结AB,AC,
则△ABC为直观图所对应的平面图形.
显然,S △ABC=BC?MA=a?a=a 2.
故选:C.
【点评】本题考查了平面图形的直观图,斜二测画法原理,属于中档题.
8. 已知圆C的方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=4,过直线x﹣y﹣6=0上的一点M作圆C的切线,切点为N,则|MN|的最小值为( )
A.2 B. C.4 D.3
参考答案:
B
【考点】圆的切线方程.
【专题】计算题;方程思想;综合法;直线与圆.
【分析】求出C(1,1)到直线x﹣y﹣6=0的距离d,可得|MN|的最小值.
【解答】解:圆C的方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=4,圆心坐标为(1,1),半径为2.
要使|MN|最小,需圆心C(1,1)到直线x﹣y﹣6=0的M的距离最小,
而CM的最小值即圆心C(1,1)到直线x﹣y﹣6=0的距离d==3,
故|MN|的最小值为=,
故选:B.
【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质,点到直线的距离公式的应用,体现了转化的数学思想,属于基础题.
9. 已知函数,的图象与直
线的两个相邻交点的距离等于,则的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
10. 在中,若,则的形状是
A、直角三角形 B、等边三角形 C、等腰三角形 D、不能确定
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知sinα=﹣,α为第三象限角,则等于 .
参考答案:
﹣
【考点】同角三角函数基本关系的运用.
【专题】计算题;三角函数的求值.
【分析】由已知及同角三角函数基本关系的运用可求cosα,将所求化简可得,代入即可求值.
【解答】解:∵sinα=﹣,α为第三象限角,
∴cosα=﹣=﹣
∴====﹣.
故答案为:﹣.
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用,二倍角公式的应用,属于基本知识的考查.
12. 设扇形的周长为,面积为,则扇形的圆心角的弧度数是
参考答案:
略
13. 下面有五个命题:
①终边在y轴上的角的集合是 | ;
②函数是奇函数;
③的图象向右平移个单位长度可以得到的图象;
④函数的图象关于y轴对称;
其中真命题的序号是___________(写出所有真命题的编号)
参考答案:
②③
略
14. 函数f(x)=3ax-2a+1 在区间(-1,1)上存在一个零点,求a的取值范围
参考答案:
或
15. 计算= ;
参考答案:
16. △ABC满足,∠BAC=30°,设M是△ABC内的一点(不在边界上),定义f(M)=(x,y,z),其中分别表示△MBC,△MCA,△MAB的面积,若,则的最小值为__________________
参考答案:
18
略
17. 若tanα=2,则= ;sinα?cosα= .
参考答案:
2,
【考点】同角三角函数基本关系的运用;三角函数的化简求值.
【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值.
【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系,求得要求式子的值.
【解答】解:∵tanα=2,则==tanα=2,
sinα?cosα===,
故答案为:2;.
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系,属于基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在中,角的对边分别为,且.
(1)求角大小;(2)若,判断的形状
(1)
参考答案:
(2)
略
19. 已知集合A={x|a≤x≤a+3},B={x|x≤﹣1或x≥3},
(1)若A∩B=?,求实数a的范围;
(2)若A?B,求实数a的范围.
参考答案:
【考点】集合的包含关系判断及应用.
【专题】计算题;转化思想;综合法;集合.
【分析】由已知可得集合中端点之间的不等式组,解之即可得出结论.
【解答】解:(1)由已知,∵A∩B=?,
∴,解得﹣1<a<0;
(2)∵A?B,∴a+3≤﹣1或a≥3,
∴a≤﹣4或a≥3.
【点评】本题考查了集合的交集运算,以及由集合运算的性质求满足条件的参数范围,一般结合数轴数形结合解之.
20. (14分)设函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,并且满足f(xy)=f(x)+f(y),.
(1)求f(1)的值;
(2)若存在实数m,使得f(m)=2,求m的值;
(3)如果f(x)+f(2﹣x)<2,求x的取值范围.
参考答案:
考点: 抽象函数及其应用.
专题: 综合题;新定义;转化思想.
分析: (1)对于任意的x,y∈(0,+∞),f(x?y)=f(x)+f(y),令x=y=1,即可求得f(1)的值;
(2)根据题意,,令x=y=,f(xy)=f(x)+f(y)=2;有可求得m的值;
(3)f(x)+f(2﹣x)=f,根据函数的单调性把函数值不等式转化为自变量不等式,解不等式即可求得结果.
解答: (1)令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),∴f(1)=0
(2)∵,
∴
∴m=
(3)∴f(x)+f(2﹣x)=f<,
又由y=f(x)是定义在R+上的减函数,得:解之得:.
点评: 考查函数的单调性,及根据函数的单调性转化不等式,求抽象函数的有关命题,常采用赋值法求解,体现了转化的思想方法,属中档题.
21. (本小题满分10分)如图,AB是圆O的直径,C是半径OB的中点,
D是OB延长线上一点,且BD=OB,直线MD与圆O相交于点M、T
(不与A、B重合),DN与圆O相切于点N,连结MC,MB,OT.
(I)求证:;
(II) 若,试求的大小.
参考答案:
(1)证明:因MD与圆O相交于点T,由切割线定
理,,得
,设半径OB=,因BD=OB,且BC=OC=,
则,,
所以------------------5分
(2)由(1)可知,,且,
故∽,所以;
根据圆周角定理得,,则 --------10分
22. 如图1,在Rt△ABC中,∠ABC=60°,AD是斜边BC上的高,沿AD将△ABC折成60°的二面角B﹣AD﹣C,如图2.
(1)证明:平面ABD⊥平面BCD;
(2)在图2中,设E为BC的中点,求异面直线AE与BD所成的角.
参考答案:
【考点】MT:二面角的平面角及求法;LY:平面与平面垂直的判定.
【分析】(1)推导出AD⊥CD,AD⊥BD,从而AD⊥平面BCD,由此能证明平面ABD⊥平面BCD.
(2)取CD的中点F,连结EF,由EF∥BD,∠AEF是异面直线AE与BD所成角,由此能求出异面直线AE与BD所成的角.
【解答】证明:(1)∵折起前AD是BC边上的高,
∴当折起后,AD⊥CD,AD⊥BD,
又CD∩BD=D,∴AD⊥平面BCD,
∵AD?平面ABD,
∴平面ABD⊥平面BCD.
解:(2)取CD的中点F,连结EF,由EF∥BD,
∴∠AEF是异面直线AE与BD所成角,
连结AF、DE,设BD=2,则EF=1,AD=2,CD=6,DF=3,
在Rt△ADF中,AF==,
在△BCD中,由题设知∠BDC=60°,
则BC2=BD2+CD2﹣2BD?CD?cos60°=28,∴BC=2,
∴BE=,∴cos,
在△BDE中,DE2=BD2+BE2﹣2BD?BE?cos∠CBD=13,
在Rt△ADE中,cos∠AEF===,
∴∠AEF=60°,'
∴异面直线AE与BD所成的角为60°.