2022-2023学年河南省郑州市第四十三中学高三数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
2. 已知、为双曲线的左、右焦点,点在上,,则
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
双曲线的方程为,所以,因为|PF1|=|2PF2|,所以点P在双曲线的右支上,则有|PF1|-|PF2|=2a=,所以解得|PF2|=,|PF1|=,所以根据余弦定理得,选C.
3. 样本中共有5个个体,其中四个值分别为0,1,2,3,第五个值丢失,但该样本的平均值为1,则样本方差为=( )
A、 B、 C、 D、2
参考答案:
D
4. 已知集合,若对任意,均不存在使得成立,则称集合为“好集合”,下列集合为“好集合”的是
A.
B.
C.
D.
参考答案:
【知识点】向量垂直的充要条件;渐近线方程;F3 H6
【答案解析】D 解析:,即存在两点与原点连线互相垂直。A存在 B切线方程为互相垂直,存在;C切线方程为互相垂直,存在 ; D渐近线方程为,倾斜角小于所以不存在. 故选D.
【思路点拨】对于A:,即存在两点与原点连线互相垂直。A存在 ;
对于B: B切线方程为互相垂直,存在;
对于C:C切线方程为互相垂直,存在 ;
对于D: D渐近线方程为,倾斜角小于所以不存在.
5. 已知i是虚数单位,复数z满足,则的虚部是( )
A.1 B.i C.-1 D.-i
参考答案:
C
6. 已知命题;命题的极大值为6.则下面选项中真命题是
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
7. 已知点在由不等式确定的平面区域内,则点所在的平面区域面积是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
参考答案:
C
8. 集合,,若,则实数的取值范围是( )
A.
参考答案:
【知识点】集合的运算A1
D因为 ,,所以,即,故选D.
【思路点拨】由集合的运算直接计算即可.
9. 将函数 的图像分别向左平移 个单位,向右平移n(n>0)个单位,所得到的两个图像都与函数 的图像重合,则m+n的最小值为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
10. 设各项为正的等比数列的公比,且成等差数列,则的值为
A. B。 C。 D。2
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 定义域为的偶函数满足对任意,有,且当 时,,若函数在上至少有三个零点,则的取值范围是 .
参考答案:
知识点:抽象函数及其应用;函数的零点
解析:∵f(x+2)=f(x)﹣f(1),
且f(x)是定义域为R的偶函数,令x=﹣1可得f(﹣1+2)=f(﹣1)﹣f(1),
又f(﹣1)=f(1),∴f(1)=0 则有f(x+2)=f(x),
∴f(x)是最小正周期为2的偶函数.
当x∈[2,3]时,f(x)=﹣2x2+12x﹣18=﹣2(x﹣3)2,
函数的图象为开口向下、顶点为(3,0)的抛物线.
∵函数y=f(x)﹣loga(|x|+1)在(0,+∞)上至少有三个零点,
令g(x)=loga(|x|+1),则f(x)的图象和g(x)的图象至少有3个交点.
∵f(x)≤0,∴g(x)≤0,可得0<a<1,
要使函数y=f(x)﹣loga(|x|+1)在(0,+∞)上至少有三个零点,
则有g(2)>f(2),可得 loga(2+1)>f(2)=﹣2,
即loga3>﹣2,∴3<,解得-<a<,又0<a<1,∴0<a<,
故答案为:(0,).
【思路点拨】令x=﹣1,求出f(1),可得函数f(x)的周期为2,当x∈[2,3]时,f(x)=﹣2x2+12x﹣18,画出图形,根据函数y=f(x)﹣loga(|x|+1)在(0,+∞)上至少有三个零点,利用数形结合的方法进行求解.
12. 给出下列命题:
① 若函数的一个对称中心是,则的值为;
② 函数在区间上单调递减;
③ 已知函数 ,若对任意恒成立,则;
④ 函数的最小正周期为.
其中正确结论的序号是 .
参考答案:
①③
13. 已知正方体的棱长是3,点、分别是棱、的中点,则异面直线与所成角的大小等于 .
参考答案:
略
14. 已知集合M={﹣1,1},,则M∩N= .
参考答案:
{﹣1}
考点:交集及其运算.
专题:计算题.
分析:把集合N中的不等式变形后,利用指数函数的单调性列出关于x的不等式,求出解集中的整数解即可得到集合N的元素,然后利用求交集的法则求出M与N的交集即可.
解答: 解:集合N中的不等式可化为:2﹣1<2x+1<22,
因为2>1,所以指数函数y=2x为增函数,则﹣1<x+1<2即﹣2<x<1,由x∈Z得到x的值可以是﹣1和0
所以N={﹣1,0},则M∩N═{﹣1,1}∩{﹣1,0}={﹣1}
故答案为:{﹣1}
点评:本题属于以函数的单调性为平台,求集合的交集的基础题,是2015届高考常会考的题型.
15. 若平面向量满足 且,则的最大值为 .
参考答案:
16. 已知圆的方程为,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为_______________.
参考答案:
20
17. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,若抛物线在点处的切线斜率为1,则线段 .
参考答案:
1
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (13分)在等比数列{an}(n∈N*)中,已知a1>1,q>0.设bn=log2an,且b1+b3+b5=6,b1b3b5=0.
(1)求数列{an}、{bn}的通项公式an、bn;
(2)若数列{bn}的前n项和为Sn,试比较Sn与an的大小.
参考答案:
19. 已知,其中向量(x∈R),
(1)求函数y=f(x)的单调递增区间;
(2)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知f (A)=2,a=,b=,求边长c的值.
参考答案:
【考点】三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算;余弦定理.
【分析】(1)利用平面向量数量积的运算,两角和的正弦函数公式可求函数解析式为f (x)=2sin(2x+),利用正弦函数的单调性即可得解.
(2)由已知可得sin(2A+)=1,结合范围0<A<π,可求A的值,由余弦定理即可解得c的值.
【解答】(本题满分为12分)
解:(1)f (x)==sin2x+cos2x …
=2sin(2x+) …
由,
得 .…
∴f(x)的单调增区间为.…
(2)f (A)=2sin(2A+)=2,
∴sin(2A+)=1,…
∵0<A<π,
∴,
∴2A+=,
∴A=.…
由余弦定理得 a2=b2+c2﹣2bccosA,
7=3+c2﹣3c 即 c2﹣3c﹣4=0,…
∴c=4或c=﹣1 (不合题意,舍去),
∴c=4. …
20. (12分)(2015春?银川校级期末)命题p方程:x2+mx+1=0有两个不等的实根,命题q:方程4x2+4(m+2)x+1=0无实根.若“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,求m的取值范围.
参考答案:
【考点】复合命题的真假.
【专题】简易逻辑.
【分析】先将命题p,q分别化简,然后根据若“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,判断出p,q一真一假,分类讨论即可.
【解答】解:由题意命题P:x2+mx+1=0有两个不等的实根,则△=m2﹣4>0,解得m>2或m<﹣2,
命题Q:方程4x2+4(m+2)x+1=0无实根,则△<0,解得﹣3<m<﹣1,
若“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,则p,q一真一假,
(1)当P真q假时:,
解得m≤﹣3,或m>2,
(2)当P假q真时:,
解得﹣2≤m<﹣1,
综上所述:m的取值范围为m≤﹣3,或m>2,或﹣2≤m<﹣1.
【点评】本题考查命题的真假判断和应用,解题时要认真审题,注意解不等式公式的合理运用
21. (本题满分13分)已知函数
(1)判断在上的增减性,并证明你的结论
(2)解关于的不等式
(3)若在上恒成立,求的取值范围
参考答案:
(1)证明设
在上为减函数
(2)不等式即即
1) 当,不等式的解
2) 当不等式的解或(舍)
(3)若在恒成立即
所以因为的最小值为4
所以即或
22. 已知向量
(I)求的最小正周期与单调递增区间;
(II)在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,若的面积,求a的值。
参考答案:
(Ⅰ) ………(3分)
∴ 的最小正周期为=, ………(4分)
由得
∴ 的单调递增区间为 ………(6分)
(Ⅱ) =4 得 即
∵ ∴,即 A= ………(8分)
又 ∴ ∴ …………(10分)
在△ABC中由余弦定理有
∴ …………(12分