河北省邯郸市曲陌乡曲陌中学高三数学文联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. (5分)已知抛物线y2=8x的焦点与双曲线的一个焦点重合,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D. 3
参考答案:
B
【考点】: 双曲线的简单性质;抛物线的简单性质.
【专题】: 计算题;压轴题.
【分析】: 先求出抛物线y2=8x的焦点坐标,由此得到双曲线的一个焦点,从而求出a的值,进而得到该双曲线的离心率.
解:∵抛物线y2=8x的焦点是(2,0),
∴c=2,a2=4﹣1=3,
∴e=.
故选B.
【点评】: 本题考查双曲线的性质和应用,解题时要抛物线的性质进行求解.
2. 调查显示,某市人均年收入x(单位:万元)和人均年消费支出y(单位:万元)具有线性相关关系,并由调查数据得到y对x的回归直线方程:由回归直线方程可知,人均年收入每增加l万元,人均年消费支出增加
A.0.136万元 B.0.264万元 C.0.272万元 D.0.400万元
参考答案:
A
3. 定义:表示的解集中整数的个数.若,且,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
【分析】
根据函数图象,结合,则有求解.
【详解】因为
如图所示:
则有
解得:
故选:B
【点睛】本题主要考查函数与不等式问题,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.
4. 已知正项等比数列= ( )
A. B.2 C.4 D.
参考答案:
A
5. 已知平面区域,直线和曲线有两个不同的交点,它们围成的平面区域为M,向区域上随机投一点A,点A落在区域M内的概率为,若,则的取值范围为
A. B. C. D.
参考答案:
D
已知直线过半圆上一点(-2,0),
当m=0时直线与x轴重合,这时,故可排除A,B,若m=1,
如图可求得当,故选D. 高考资源网w。w-w*k&s%5¥u
6. 公差不为零的等差数列的前项和为。若是与的等比中项,,则等于( )
A. 18 B. 24 C. 60 D. 90
参考答案:
C
因为是与的等比中项,所以,又,即,解得,所以,选C.
7. 从抛物线图像上一点引抛物线准线的垂线,垂足为,且,设抛物线焦点为,则的面积为 ( )
A.10 B.8 C. 6 D.4
参考答案:
A
略
8. 非零向量使得成立的一个充分非必要条件是( )
A . B. C. D.
参考答案:
B
要使成立,则有共线且方向相反,所以当时,满足,满足条件,所以选B.
9. 设复数的共轭复数为,若(为虚数单位)则的值为
A. B. C. D.
参考答案:
D
10. 函数的反函数是( )
. .
. .
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设数列满足: .
则数列的通项公式为 ;
参考答案:
略
12. 若函数 则不等式的解集为____________
参考答案:
略
13. 已知函数,若关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根,则实数k的取值范围是 .
参考答案:
(0,1)
【考点】函数的零点.
【专题】作图题.
【分析】由题意在同一个坐标系中作出两个函数的图象,图象交点的个数即为方程根的个数,由图象可得答案.
【解答】解:由题意作出函数的图象,
关于x的方程f(x)=k有两个不同的实根等价于
函数,与y=k有两个不同的公共点,
由图象可知当k∈(0,1)时,满足题意,
故答案为:(0,1)
【点评】本题考查方程根的个数,数形结合是解决问题的关键,属基础题.
14. 在△ABC中,若+=1,则= .
参考答案:
3
【考点】三角函数中的恒等变换应用.
【专题】方程思想;综合法;三角函数的求值.
【分析】将切化弦,对条件进行化简,得出cosC,结合余弦定理得出a,b,c的关系.
【解答】解:∵ +=1,∴(+)=1,
即?=1,
∴sin2C=sinAsinBcosC.∴cosC==,
又∵cosC=,
∴a2+b2﹣c2=2c2,即a2+b2=3c2,
∴==3.
故答案为:3.
【点评】本题考查了三角函数的恒等变换,结合正余弦定理是解决有关三角形知识的重要方法.
15. 已知函数是上的偶函数,若对于,都有,且当时,,则的值为_____________
参考答案:
1
试题分析:由得函数的周期,,由于为偶函数,,所以
考点:1、偶函数的应用;2、函数的周期性.
16. 某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家.为掌握各类超市的营业情况,现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本,应抽取中型超
市 家.
参考答案:
17. 已知点,若曲线上存在两点,,使为正三角形,则称为型曲线.给定下列三条曲线:
①;②;③.
其中,是型曲线的有__________.
参考答案:
①③
∵在之外,∴①正确,是型曲线.
对于曲线②,表示圆的第二象限的部分,显然不存在,故②不是型曲线.
对于曲线③,表示位于第四象限的一支双曲线,以为圆心做顶角为的圆弧,易知与之相交时,符合条件,∴③是型曲线.
∴答案为①③
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知{an}是公差d≠0的等差数列,a2,a6,a22成等比数列,a4+a6=26;数列{bn}是公比q为正数的等比数列,且b3=a2,b5=a6.
(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{an?bn}的前n项和Tn.
参考答案:
【考点】数列的求和;平面向量坐标表示的应用.
【专题】计算题;整体思想;综合法;等差数列与等比数列.
【分析】(Ⅰ)利用等差中项及a4+a6=26可知a5=13,进而通过a2,a6,a22成等比数列计算可知d=3,利用q2=及=4可知q=2,进而计算可得结论;
(Ⅱ)通过(I)可知an?bn=(3n﹣2)?2n﹣1,进而利用错位相减法计算即得结论.
【解答】解:(Ⅰ)∵{an}是公差d≠0的等差数列,且a4+a6=26,
∴a5=13,
又∵a2,a6,a22成等比数列,
∴(13+d)2=(13﹣3d)(13+17d),
解得:d=3或d=0(舍),
∴an=a5+(n﹣5)d=3n﹣2;
又∵b3=a2,b5=a6,
∴q2====4,
∴q=2或q=﹣2(舍),
又∵b3=a2=4,
∴bn=b3?qn﹣3=4?2n﹣3=2n﹣1;
(Ⅱ)由(I)可知,an?bn=(3n﹣2)?2n﹣1,
∴Tn=1?20+4?21+7?22+…+(3n﹣5)?2n﹣2+(3n﹣2)?2n﹣1,
2Tn=1?21+4?22+…+(3n﹣5)?2n﹣1+(3n﹣2)?2n,
错位相减得:﹣Tn=1+3(21+22+…+2n﹣1)﹣(3n﹣2)?2n
=1+3?﹣(3n﹣2)?2n
=﹣5﹣(3n﹣5)?2n,
∴Tn=5+(3n﹣5)?2n.
【点评】本题考查数列的通项及前n项和,考查运算求解能力,利用错位相减法是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.
19. (本小题满分12分)如图,四棱锥中, 面,
、分别为、的中点,,.
(Ⅰ)证明:∥面;
(Ⅱ)求面与面所成锐角的余弦值.
参考答案:
(Ⅰ)因为、分别为、的中点,
所以∥……………………2分
因为面,面
所以∥面……………………4分
(Ⅱ)因为
所以
又因为为的中点
所以
所以
得,即……………6分
因为,所以
分别以为轴建立坐标系
所以
则………8分
设、分别是面与面的法向量
则,令
又,令……………11分
所以……………12分
20. 知数列{an}的前n项和,数列{bn}满足.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)求数列的前n项和Tn.
参考答案:
(1)在中,令,得,
当时, ,所以.
由于满足,所以.
因为,所以.
(2)由(1)知,所以,①
则 .②
①-②得
,
所以.
21. 已知函数f(x)=mx+3,g(x)=x2+2x+m,
(1)求证:函数f(x)﹣g(x)必有零点;
(2)设函数G(x)=f(x)﹣g(x)﹣1,若|G(x)|在[﹣1,0]上是减函数,求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】函数单调性的性质;二次函数的性质;函数零点的判定定理.
【专题】计算题.
【分析】(1)函数f(x)﹣g(x)的零点即为,方程f(x)﹣g(x)=0的根,根据已知中函数f(x)=mx+3,g(x)=x2+2x+m,构造方程f(x)﹣g(x)=0,判断其△的与0的关系,即可得到结论.
(2)由已知中函数G(x)=f(x)﹣g(x)﹣1,我们可得到函数G(x)的解析式,分析二次函数G(x)的值域,进而根据对折变换确定函数y=|G(x)|的图象及性质,进而得到满足条件的实数m的取值范围.
【解答】解:(1)证明∵f(x)﹣g(x)=﹣x2+(m﹣2)x+3﹣m
又∵f(x)﹣g(x)=﹣x2+(m﹣2)x+3﹣m=0时,
则△=(m﹣2)2﹣4(m﹣3)=(m﹣4)2≥0恒成立,
所以方程f(x)﹣g(x)=﹣x2+(m﹣2)x+3﹣m=0有解
函数f(x)﹣g(x)必有零点
解:(2)G(x)=f(x)﹣g(x)﹣1=﹣x2+(m﹣2)x+2﹣m
①令G(x)=0则△=(m﹣2)2﹣4(m﹣2)=(m﹣2)(m﹣6)
当△≤0,2≤m≤6时G(x)=﹣x2+(m﹣2)x+2﹣m≤0恒成立
所以,|G(x)|=x2+(2﹣m)x+m﹣2,在[﹣1,0]上是减函数,则2≤m≤6
②△>0,m<2,m>6时|G(x)|=|x2+(2﹣m)x+m﹣2|
因为|G(x)|在[﹣1,0]上是减函数
所以方程x2+(2﹣m)x+m﹣2=0的两根均大于0得到m>6
或者一根大于0而另一根小于0且,得到m≤0
综合①②得到m的取值范围是(﹣∞,0]∪[2,+∞).
【点评】本题考查的知识点是函数单调性的性质,二次函数的性质,函数零点的判定定理,其中熟练掌握二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的辩证关系是解答本题的关键.
22. 已知向量,,,且、、分别为 的三边、、所对的角。
(1)求角C的大小;
(2)若,,成等差数列,且,求边的长。
参考答案:
解:(1) …………2分
对于,
…………3分
又, …………7分
(2)由,
由正弦定理得 …………9分
,
即 …………12分
由余弦弦定理, ………