四川省绵阳市江油西屏中学高三数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在复平面内,复数的对应点位于( )
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
参考答案:
2. 已知函数是定义域为R的偶函数,且上是增函数,那么上是
A.增函数 B.减函数 C.先增后减的函数 D.先减后增的函数
参考答案:
C
由得即函数的周期为2,因为是偶函数,且在上是增函数,所以在是减函数,所以上递增,在上递减,选C.
3. 设集合,,则等于( )
A.(-1,0] B.[-1,0] C.[0,1) D.[0,1]
参考答案:
C
4. 已知x=lnπ,y=log52,,则( )
A.x<y<z B.z<x<y C.z<y<x D.y<z<x
参考答案:
D
【考点】不等式比较大小.
【分析】利用x=lnπ>1,0<y=log52<,1>z=>,即可得到答案.
【解答】解:∵x=lnπ>lne=1,
0<log52<log5=,即y∈(0,);
1=e0>=>=,即z∈(,1),
∴y<z<x.
故选:D.
5. 函数f(x)=1+log2x与g(x)=2-x+1在同一直角坐标系下的图象大致是( )
参考答案:
C
略
6. 已知、都是定义在上的函数,,,.在区间上随机取一个数,的值介于4到8之间的概率是
A. B. C. D.
参考答案:
B
7. 已知是两条不同直线,是三个不同平面,则下列正确的是( )
A.若∥∥,则∥ B.若,则∥
C.若∥∥,则∥ D. 若,则∥
参考答案:
D
8. 已知函数f(x)=在定义域(-∞,+∞)上是单调增函数,则实数a的取值范围是
A.(-∞,] B.[,+∞) C.[,] D.(,)
参考答案:
C
函数f(x)在定义域(-∞,+∞)上是单调增函数,
所以在(1,+∞)上单调递增(1),在上单调的增(2),
且(3)
(1)显然恒成立,;
(2)在上恒成立,当时,;当时,,即,,在上单调递减,时,,即,∴,;当时,,在上单调递减,,∴,,从而;
(3),即
综上,.
故选:C
9. 若x,y满足约束条件,则的取值范围是
A. (-∞,2] B. [2,3] C. [3,+∞) D. [2,+∞)
参考答案:
D
10. .已知集合,则等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
试题分析:由题意得,,则,故选D.
考点:集合的运算.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设,则“”是“直线与直线平行”的___ ____. (填充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件之一)
参考答案:
充分不必要条件
12.
两个三口之家,拟乘两艘小游艇一起水上游,每艘游艇最多只能坐4个人,其中两个小孩(另4个为两对夫妇)不能独坐一艘游艇,则不同的乘坐方法共有__________.
参考答案:
答案:48
13. 设,函数的值域为,若,则的取值范围是 .
参考答案:
【知识点】指数与指数函数 对数与对数函数B6 B7
【答案解析】<y≤2 ∵函数可得0<y<2t,或y≤,
∴值域为:{y|0<y<2t,或y≤}
∵域为M,若4?M,∴2t≤4,且<4,可解得:<y≤2
【思路点拨】根据函数f(x)= ,可得0<y<2t,或y≤,
由值域为M,4?M,可得:2t≤4,且<4,即可解出t 的范围.
14. 在边长为2的正方形ABCD中有一个不规则的图形M,用随机模拟方法来估计不规则图形的面积.若在正方形ABCD中随机产生了10000个点,落在不规则图形M内的点数恰有2000个,则在这次模拟中,不规则图形M的面积的估计值为 .
参考答案:
【考点】模拟方法估计概率.
【专题】概率与统计.
【分析】先利用古典概型的概率公式求概率,再求不规则图形M的面积的估计值.
【解答】解:由题意,∵在正方形ABCD中随机产生了10000个点,落在不规则图形M内的点数恰有2000个,
∴概率P==,
∵边长为2的正方形ABCD的面积为4,
∴不规则图形M的面积的估计值为=.
故答案为:
【点评】本题考查古典概型概率公式,考查学生的计算能力,属于中档题.
15. 命题p:?x∈R,x2+1>0的否定是 .
参考答案:
?x∈R,x2+1≤0
考点: 命题的否定.
专题: 规律型.
分析: 本题中的命题是一个全称命题,其否定是一个特称命题,由规则写出否定命题即可
解答: 解:∵命题“?x∈R,x2+1>0”
∴命题“?x∈R,x2+1>0”的否定是“?x∈R,x2+1≤0”
故答案为:?x∈R,x2+1≤0.
点评: 本题考查命题的否定,解题的关键是掌握并理解全称命题否定的书写方法,其规则是全称命题的否定是特称命题,书写时注意量词的变化.
16. 已知函数,若函数h(x)=f(x)﹣mx﹣2有且仅有一个零点,则实数m的取值范围是 .
参考答案:
(﹣∞,﹣e]∪{0}∪{﹣}
【考点】52:函数零点的判定定理.
【分析】画出图象f(x)=
转化为函数f(x)与y=mx﹣2有且仅有一个公共点,分类讨论,①当m=0时,y=2与f(x)有一个交点;
②当y=mx+2与y=相切,结合导数求解即可,求解相切问题;
③y=mx+2过(1,2﹣e)(0,2),动态变化得出此时的m的范围.
【解答】解:∵f(x)=
∴f(x)=
∵函数h(x)=f(x)﹣mx﹣2有且仅有一个零点,
∴f(x)与y=mx+2有一个公共点
∵直线y=mx+2过(0,2)点
①当m=0时,y=2与f(x)有一个交点
②当y=mx+2与y=相切
即y′=
切点(x0,),m=﹣
=﹣+2,x0>1
x0=(舍去),x0=3
∴m==
③y=mx+2过(1,2﹣e),(0,2)
m=﹣e
当m≤﹣e时,f(x)与y=mx+2有一个公共点
故答案为:(﹣∞,﹣e]∪{0}∪{﹣}
17. 设是定义在上的函数,且,对任意,若经过点的直线与轴的交点为,则称为关于函数的平均数,记为,例如,当时,可得,即为的算术平均数.
(Ⅰ)当时,为的几何平均数;
(Ⅱ)当时,为的调和平均数;
(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)
参考答案:
(Ⅰ) ; (Ⅱ) (或填(Ⅰ) ; (Ⅱ),其中为正常数均可)
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设数列{an}满足:a1=1,3a2﹣a1=1,且=(n≥2)
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设数列b1=,4bn=an﹣1an,设{bn}的前n项和Tn.证明:Tn<1.
参考答案:
【考点】数列递推式;数列的求和.
【分析】(Ⅰ)由已知得,从而推导出{}是首项为1,公差为的等差数列,由此能求出数列{an}的通项公式.
(Ⅱ)由bn==,利用错位相减法能证明Tn<1.
【解答】(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)∵数列{an}满足:a1=1,3a2﹣a1=1,且=(n≥2),
∴,…(1分)
又a1=1,3a2﹣a1=1,
∴,∴ =,…(3分)
∴{}是首项为1,公差为的等差数列,…
∴=1+,
∴an=.…(7分)
(Ⅱ)证明:∵数列b1=,4bn=an﹣1an,
∴bn==,…(9分)
∴Tn=b1+b2+…+bn=(1﹣)+()+…+()=<1.
故Tn<1.…(12分)
【点评】本题考查数列的通项公式的求法,考查数列的前n项和小于1的证明,是中档题,解题时要认真审题,注意裂项求和法的合理运用.
19. (本小题满分12分)如图,在四棱锥中,底面为菱形,,为的中点。
(I)点在线段上,,试确定的值,使平面;
(II)在(I)的条件下,若平面平面ABCD,求二面角的大小。
参考答案:
(1)当时,平面
下面证明:若平面,连交于
由可得,,
.........2分
平面,平面,平面平面,
........................4分
即: ......6分
(2)由PA=PD=AD=2, Q为AD的中点,则PQ⊥AD。.7分
又平面PAD⊥平面ABCD,所以PQ⊥平面ABCD,连BD,
四边形ABCD为菱形,
∵AD=AB, ∠BAD=60°△ABD为正三角形,
Q为AD中点, ∴AD⊥BQ............8分
以Q为坐标原点,分别以QA、QB、QP所在的直线为
轴,建立如图所示的坐标系,则各点坐标为
A(1,0,0),B(),Q(0,0,0),P(0,0,)
设平面MQB的法向量为,可得,
取z=1,解得 ………10分
取平面ABCD的法向量设所求二面角为,
则 故二面角的大小为60°..........12分
20. 已知数列{an}是等差数列,前n项和为Sn,且a2=2,S5=15.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式an及Sn;
(Ⅱ)设bn=? ,Tn=b1+b2+b3+…+bn,求Tn.
参考答案:
【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】(Ⅰ)利用等差数列的通项公式与求和公式,通过解方程组,即可求得数列{an}的通项公式an及Sn;
(Ⅱ)依题意,利用裂项法可得bn=?=(﹣),逐项累加,即可求得Tn=b1+b2+b3+…+bn.
【解答】解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,则,
解得d=a3﹣a2=3﹣2=1,∴a1=1,
∴an=1+(n﹣1)=n;
Sn=;
(Ⅱ)∵bn=?=?=(﹣),
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn,= [(﹣)+(﹣)+…+(﹣)]
=(﹣)=﹣.
21. (本小题满分14分) 已知,函数
(1)如果实数满足,若函数是奇函数或者偶函数,求相应的值
(2)如果判断函数的奇偶性
参考答案:
22. 已知p:x∈A={x|x2﹣2x﹣3≤0,x∈R},q:x∈B={x|x2﹣2mx+m2﹣9≤0,x∈R,m∈R}.
(1)若A∩B=[1,3],求实数m的值;
(2)若p是?q的充分条件,求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】集合关系中的参数取值问题;必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【专题】计算题;综合题.
【分析】(1)根据一元二次不等式的解法,对A,B集合中的不等式进行因式分解,从而解出集合A,B,再根据A∩B=[1,3],求出实数m的值;
(2)由(1)解出的集合A,B,因为p是?q的充分条件,所以A?CRB,根据子集的定义和补集的定义,列出等式进行求解.
【解答】解:由已知得:A={x|﹣1≤x≤3},
B={x|m﹣3≤x≤m+3}.
(1)∵A∩B=[1,3]
∴
∴,
∴m=4;
(2)∵p是?q的充分条件,∴A??RB,
而CRB={x|x<m﹣3,或x>m+3}
∴m﹣3>3,或m+3<﹣1,
∴m>6,或m<﹣4.
【点评】此题主要考查集合的定义及集合的交集及补集运算,一元二次不等式的解法及集合间的交、并、补运算是高考中的常考内容,要认真掌握.属中档题.