福建省厦门市禾山中学2022年高一数学文上学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度,所得函数图象的解析式为 ,再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是,故选C.
2. 平行四边形ABCD中, ?=0,且|+|=2,沿BD将四边形折起成直二面角A﹣BD﹣C,则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为( )
A.4π B.16π C.2π D.
参考答案:
A
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】由已知中?=0,可得AB⊥BD,沿BD折起后,将四边形折起成直二面角A一BD﹣C,可得平面ABD⊥平面BDC,可得三棱锥A﹣BCD的外接球的直径为AC,进而根据2||2+||2=4,求出三棱锥A﹣BCD的外接球的半径,可得三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积.
【解答】解:∵平行四边形ABCD中, ?=0,且|+|=2,
∴平方得2||2+2?+||2=4,
即2||2+||2=4,
∵?=0,∴AB⊥BD,
沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C,
∵将四边形折起成直二面角A一BD﹣C,
∴平面ABD⊥平面BDC
∴三棱锥A﹣BCD的外接球的直径为AC,
∴AC2=AB2+BD2+CD2=2AB2+BD2,
∵2||2+||2=4,
∴AC2=4
∴外接球的半径为1,
故表面积是4π.
故选:A.
3. 如果幂函数y=(-3m+3) 的图像不过原点,则m的取值范围是 ( )
A.-1≦m≦2 B.m=-1 或m=2 C m=1 D m=1或m=2
参考答案:
D
4. (5分)半径为10cm,面积为100cm2的扇形中,弧所对的圆心角为()
A. 2弧度 B. 2° C. 2π弧度 D. 10弧度
参考答案:
A
考点: 扇形面积公式.
专题: 计算题.
分析: 由,得,由此可求出弧所对的圆心角.
解答: 由,
得,
解得θ=2弧度.
故选A.
点评: 本题考查扇形面积公式,解题时要注意公式的灵活运用.
5. 若正数a、b满足:,则的最小值为( )
A. 2 B. C. D.
参考答案:
A
【分析】
把化为,利用基本不等式可求最小值.
【详解】因,为正数,所以,从而.
又可化为,
故,当且仅当时等号成立,
所以的最小值为2.
故选:A.
【点睛】本题考查基本不等式的应用,应用基本不等式求最值时,需遵循“一正二定三相等”,如果原代数式中没有积为定值或和为定值,则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.
6. 已知的图象如图,则函数的图象可能为
A. B. C. D.
参考答案:
C
7. 已知扇形的周长为12 ,面积为8 ,则扇形圆心角的弧度数为 ( )
A.1 B. 4 C. 1或4 D.2或4
参考答案:
C
8. 下列对应关系f中,不是从集合A到集合B的映射的是( )
A A=,B=[1,3),f:求算术平方根; B A=R,B=R,f:取绝对值
C A=,B=R,f:求平方; D A=R,B=R,f:取倒数
参考答案:
D
9. 已知圆C的半径为,圆心在轴的正半轴上,直线与圆C相切,则圆C的方程( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
试题分析:设圆心c(a,0)(a>0),则圆的标准方程为: ,由题意圆心到直线距离等于半径得: ,解得:a=2.整理得: .
考点:直线与圆的位置关系;圆的方程 .
10. 阅读下面的两个程序:
对甲乙两程序和输出结果判断正确的是( ).
A.程序不同,结果不同 B.程序不同,结果相同
C.程序相同,结果不同 D.程序相同,结果相同
参考答案:
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设f(x)=asin 2x+bcos 2x,其中a,b∈R,ab≠0.若f(x)≤|f()|对一切x∈R恒成立,则以下结论正确的是 (写出所有正确结论的编号).
①;
②|≥|;
③f(x)的单调递增区间是(kπ+,kπ+)(k∈Z);
④f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
参考答案:
①②④
【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.
【分析】利用辅助角公式化简f(x),根据f(x)≤|f()|可得,a,b的值.然后对个结论依次判断即可.
【解答】解:由f(x)=asin 2x+bcos 2x=sin(2x+φ).
∵f(x)≤|f()|对一切x∈R恒成立
∴当x=时,函数取得最大值,即2×+φ=,解得:φ=.
故得f(x)=sin(2x+).
则f()=sin(2×+)=0,∴①对.
②f()=sin(2×+)=
f()=sin(2×+)=,∴|≥|,∴②对.
由2x+,(k∈Z)
解得: +kπ≤x≤+kπ,(k∈Z)
∴f(x)的单调递增区间是(kπ,kπ+)(k∈Z);∴③不对
f(x)的对称轴2x+=+kπ,(k∈Z);∴③
解得:x=kπ+,不是偶函数,
当x=0时,f(0)=,不关于(0,0)对称,
∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
故答案为①②④.
12. 设α为锐角,若cos(α+)=,则sin(2α+)的值为 .
参考答案:
【考点】三角函数中的恒等变换应用;两角和与差的余弦函数;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦.
【分析】先设β=α+,根据cosβ求出sinβ,进而求出sin2β和cos2β,最后用两角和的正弦公式得到sin(2α+)的值.
【解答】解:设β=α+,
∴sinβ=,sin2β=2sinβcosβ=,cos2β=2cos2β﹣1=,
∴sin(2α+)=sin(2α+﹣)=sin(2β﹣)=sin2βcos﹣cos2βsin=.
故答案为:.
13. 若集合A={﹣4,2a﹣1,a2},B={a﹣5,1﹣a,9},且A∩B={9},则a的值是 .
参考答案:
﹣3
【考点】集合关系中的参数取值问题.
【分析】由题意可得9∈A,且 9∈B,分2a﹣1=9和a2=9两种情况,求得a的值,然后验证即可.
【解答】解:由题意可得9∈A,且 9∈B.
①当2a﹣1=9时,a=5,此时A={﹣4,9,25},B={0,﹣4,9},A∩B={﹣4,9},不满足A∩B={9},故舍去.
②当a2=9时,解得a=3,或a=﹣3.
若a=3,A={﹣4,5,9},B={﹣2,﹣2,9},集合B不满足元素的互异性,故舍去.
若a=﹣3,A={﹣4,﹣7,9},B={﹣8,4,9},满足A∩B={9}.
综上可得,a=﹣3,
故答案为﹣3.
14. 定义:关于的不等式的解集叫的邻域.若的邻域为区间,则的最小值是_______.
参考答案:
15. 已知函数,的最大值为_____.
参考答案:
【分析】
化简,再利用基本不等式以及辅助角公式求出的最大值,即可得到的最大值
【详解】由题可得:
由于,,所以,
由基本不等式可得:
由于,所以
所以,即的最大值为
故答案为
【点睛】本题考查三角函数的最值问题,涉及二倍角公式、基本不等式、辅助角公式等知识点,属于中档题。
16. 若,则角的取值范围是__________________.
参考答案:
略
17. 已知函数 那么不等式的解集为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 若二次函数f(x)=x2+bx+c满足f(0)=f(﹣2),且f(1)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若在区间[﹣1,1]上,不等式f(x)>x+m恒成立,求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】函数恒成立问题;二次函数的性质.
【专题】函数思想;转化法;函数的性质及应用.
【分析】(1)根据所给条件,待定系数法求解b与c;
(2)据上一问的结果,将原不等式整理为m<g(x)恒成立,当x∈[﹣1,1],所以转化为求函数g(x)在给定区间的最小值问题.
【解答】解:(1)由f(0)=f(﹣2),
则c=4﹣2b+c,即b=2.再有f(1)=3=1+b+c,则c=0,
故f(x)=x2+2x;
(2)由f(x)>x+m恒成立,则x2+2x>x+m;
∴x2+x>m,
令g(x)=x2+x,故g(x)在区间[﹣1,1]上的最小值为g(﹣)=﹣,
∴m<﹣.
【点评】1.待定系数求函数的解析式;2.二次函数求最值和恒成立问题的转化.
19. 已知二次函数的最小值为1,且.
(1)求的解析式;
(2)若在区间上不单调,求实数的取值范围;
(3)在区间上,的图象恒在的图象上方,试确定实数的取值范围.
参考答案:
解:(1)由已知,设,由,得,
故。
(2)要使函数不单调,则,则。
(3)由已知,即,化简得,
设,则只要,
而,得。
略
20. (本题12分)计算:
参考答案:
21. 已知,是互相垂直的两个单位向量,,.
(1)求和的夹角;
(2)若,求的值.
参考答案:
(1)因为,是互相垂直的单位向量,所以
设与的夹角为,故
又
故
(2)由得
,又
故
【解法二】
设与的夹角为,则由,是互相垂直的单位向量,
不妨设,分别为平面直角坐标系中轴、轴方向上的单位向量,则
,
故
又
故
(2)由与垂直得
,又
故
22. 已知向量
⑴若,求的值;
⑵若,与所成的角为,求
参考答案:
解:依题意,, 1分
(1) 3分
5分
7分