安徽省淮北市石台镇中学高一数学文模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知函数y=f(x)是(﹣1,1)上的偶函数,且在区间(﹣1,0)上是单调递增的,A,B,C是锐角三角形△ABC的三个内角,则下列不等式中一定成立的是( )
A.f(sinA)>f(sinB) B.f(sinA)>f(cosB) C.f(cosC)>f(sinB) D.f(sinC)>f(cosB)
参考答案:
C
【考点】奇偶性与单调性的综合;解三角形.
【专题】计算题;函数的性质及应用;三角函数的图像与性质.
【分析】由于f(x)定义在(﹣1,1)上的偶函数,且在区间(﹣1,0)上单调递增,可得f(x)在(0,1)上是减函数.而锐角三角形中,任意一个角的正弦要大于另外角的余弦,由此对题中各个选项依此加以判断,可得本题的答案.
【解答】解:对于A,由于不能确定sinA、sinB的大小,
故不能确定f(sinA)与f(sinB)的大小,可得A不正确;
对于B,∵A,B,C是锐角三角形△ABC的三个内角,
∴A+B>,得A>﹣B
注意到不等式的两边都是锐角,两边取正弦,
得sinA>sin(﹣B),即sinA>cosB
∵f(x)定义在(﹣1,1)上的偶函数,且在区间(﹣1,0)上单调递增
∴f(x)在(0,1)上是减函数
由sinA>cosB,可得f(sinA)<f(cosB),故B不正确
对于C,∵A,B,C是锐角三角形△ABC的三个内角,
∴B+C>,得C>﹣B
注意到不等式的两边都是锐角,两边取余弦,
得cosC<cos(﹣B),即cosC<sinB
∵f(x)在(0,1)上是减函数
由cosC<sinB,可得f(cosC)>f(sinB),得C正确;
对于D,由对B的证明可得f(sinC)<f(cosB),故D不正确
故选:C
【点评】本题给出抽象函数,求用锐角三角形的内角的正、余弦作为自变量时,函数值的大小关系.着重考查了函数的单调性、奇偶性和锐角三角形中三角函数值的大小比较等知识,属于中档题.
2. 把正方形沿对角线折起,当以四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线和平面所成的角的大小为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
3. 已知函数f(x)=的图象上关于y轴对称的点至少有3对,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】分段函数的应用.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】求出函数f(x)=sin()﹣1,(x<0)关于y轴对称的解析式,利用数形结合即可得到结论.
【解答】解:若x>0,则﹣x<0,
∵x<0时,f(x)=sin()﹣1,
∴f(﹣x)=sin(﹣)﹣1=﹣sin()﹣1,
则若f(x)=sin()﹣1,(x<0)关于y轴对称,
则f(﹣x)=﹣sin()﹣1=f(x),
即y=﹣sin()﹣1,x>0,
设g(x)=﹣sin()﹣1,x>0
作出函数g(x)的图象,要使y=﹣sin()﹣1,x>0与f(x)=logax,x>0的图象至少有3个交点,
则0<a<1且满足g(5)<f(5),
即﹣2<loga5,
即loga5>,
则5,
解得0<a<,
故选:A
【点评】本题主要考查分段函数的应用,作出函数关于y对称的图象,利用数形结合的思想是解决本题的关键.综合性较强,有一定的难度.
4. 衣柜里的樟脑丸,随着时间会挥发而体积缩小,刚放进的新丸体积为,经过天后体积与天数的关系式为:,若新丸经过50天后,体积变为;若一个新丸体积变为,则需经过的天数为 ( )
A.75天 B.100天 C.125天 D.150天
参考答案:
A
略
5. 下列说法正确的是( )
A. 不共面的四点中,其中任意三点不共线
B. 若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则A,B,C,D,E共面
C. 若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面
D. 依次首尾相接的四条线段必共面
参考答案:
A
【分析】
利用反证法可知正确;直线与直线异面时,不共面,排除;中可为异面直线,排除;中四条线段可构成空间四边形,排除.
【详解】选项:若任意三点共线,则由该直线与第四个点可构成一个平面,则与四点不共面矛盾,则任意三点不共线,正确;
选项:若三点共线,直线与直线异面,此时不共面,错误;
选项:共面,共面,此时可为异面直线,错误;
选项:依次首尾相接的四条线段可构成空间四边形,错误.
本题正确选项:A
【点睛】本题考查空间中点与直线、直线与直线位置关系的判断,属于基础题.
6. 已知是函数的一个零点.若,则( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
7. 下列四种说法中:
①函数在的最小值为2;
②的最小值为2;
③函数的最小值为-1;
④已知,则,所以的最小值为.
其中正确的个数有 ( )
A.0 B.1 C. 2 D.3
参考答案:
B
8. 如图所示,液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中,开始时,漏斗盛满液体,经过3分钟漏完.已知圆柱中液面上升的速度是一个常量,H是圆锥形漏斗中液面下落的距离,则H与下落时间t(分)的函数关系表示的图象只可能是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
9. 已知定义在R上的奇函数在满足,且区间上单调递增,则( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
略
10. 用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是( )
A.3 B.9 C.17 D.51
参考答案:
D
【考点】用辗转相除计算最大公约数.
【分析】用459除以357,得到商是1,余数是102,用357除以102,得到商是3,余数是51,用102除以51得到商是2,没有余数,得到两个数字的最大公约数是51.
【解答】解:∵459÷357=1…102,
357÷102=3…51,
102÷51=2,
∴459和357的最大公约数是51,
故选D.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 过点A(1,4)且在x、y轴上的截距相等的直线共有______条.
参考答案:
2
12. 下列命题中真命题的序号是________
①若,则方程有实数根 ②“若,则”的否命题
③“矩形的对角线相等”的逆命题 ④“若,则中至少有一个为0”的否命题
参考答案:
①②④
13. 设关于x的三个方程x2+2sinA1x+sinA2=0,x2+2sinA2x+sinA3=0,x2+2sinA3x+sinA1=0,均有实数根,A1,A2,A3为凸4n+2边形A1A2A3……A4n+2的三个内角,且所有内角均为30°的倍数,则这个凸4n+2边形的内角和为___________________.
参考答案:
4π
14. _______.
参考答案:
15. 正四棱台上、下底面的边长为b、a(a>b)且侧面积等于两底面面积之和,则棱台的高是______.
参考答案:
略
16. 设,则的中点到点的距离为____________.
参考答案:
略
17. 如果 ,那么的值为 .
参考答案:
3
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数
(Ⅰ)判断函数的单调性并用函数单调性定义加以证明;
(Ⅱ)若在上的值域是,求的值.
(Ⅲ)当,若在上的值域是 ,求实数的取值范围
参考答案:
解:(1)证明:设,则,
,
在上是单调递增的. 4分
(2)在上单调递增,
,易得. 7分Ks5u
(3) 依题意得……8分
又方程有两个不等正实数根
又,对称轴
∴实数a的取值范围为……12分
19. 已知f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1.
(1)求证:f(8)=3 (2)求不等式f(x)-f(x-2)>3的解集.
参考答案:
略
20. 已知函数,且.
(1)求函数的定义域.
(2)若有且仅有一实根,求实数t的取值范围.
参考答案:
(1).(2).
()∵,
∴,解得,
∴的定义域为.
()
,
∵有且仅有一实根,
∴在上有且仅有一实根,
整理得在上,
有且仅有一实根,
令,
∴,
即,解得.
21. (1)解关于x的方程loga(3x﹣1)=loga(x﹣1)+loga(3+x),(a>0且a≠1);
(2)求值:lg5+lg2﹣(﹣)﹣2+( ﹣1)0+log28.
参考答案:
【考点】对数的运算性质.
【分析】(1)loga(3x﹣1)=loga(x﹣1)+loga(3+x),(a>0且a≠1),可得3x﹣1>0,x﹣1>0,3+x>0,3x﹣1=(x﹣1)(3+x),联立解得x.
(2)利用指数与对数的运算法则即可得出.
【解答】解:(1)∵loga(3x﹣1)=loga(x﹣1)+loga(3+x),(a>0且a≠1),
∴3x﹣1>0,x﹣1>0,3+x>0,3x﹣1=(x﹣1)(3+x),联立解得:x=2.
(2)原式=lg10﹣3﹣1×(﹣2)+1+3=1﹣9+4=﹣4.
22. 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛,他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图,其中甲班学生的平均分是85,乙班学生成绩的中位数是83.
(1)求和的值;
(2)从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生,
求甲班至少有一名学生的概率.
参考答案:
(1)
76,81,81,83,91,91,96得y=83
(2)