上海莘光学校高三数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数的导函数的图像是如图所示的一条直线,与轴交点坐标为, 若,则与的大小关系为 ( )
A. B.
C. D.无法确定
参考答案:
A
略
2. 设集合,,则集合等于 ( ▲ )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
3. 某几何体的三视图如图所示,其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形,则此几何体的体积是( )
A. B.6π C. D.
参考答案:
C
【考点】由三视图求面积、体积.
【专题】计算题.
【分析】由三视图可知,几何体是下部是半径为2,高为1的圆柱的一半,上部为底面半径为2,高2.的圆锥的一半,分别计算两部分的体积,即可.
【解答】解:由三视图可知,几何体是下部是半径为2,高为1的圆柱的一半,
上部为底面半径为2,高为2的圆锥的一半,
所以,半圆柱的体积为V1=×22×π×1=2π,
上部半圆锥的体积为V2=×π×22×2=.
故几何体的体积为V=V1+V2==.
故选C.
【点评】本题考查三视图求几何体的表面积,考查计算能力,空间想象能力,三视图复原几何体是解题的关键.
4. 设第一象限内的点满足约束条件,
若目标函数的最大值为40,则的最小值为( )
(A) (B) (C)1 (D)4
参考答案:
B
5. 已知函数(其中)的图象如图1所示,则函数的图象是图2中的( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
6. 向量,,则向量在向量方向上的投影为( )
A. B. C.1 D.
参考答案:
A
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】根据投影公式,代值计算即可
【解答】解:由定义,向量在向量方向上的投影为=,
故选:A.
【点评】本题主要考查向量投影的定义及求解的方法,公式与定义两者要灵活运用.解答关键在于要求熟练应用公式.
7. 已知函数,正实数、、满足,若实数是函数的一个零点,那么下列四个判断:
①;②;③;④.其中可能成立的个数为(***).
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
B
8. 如图,函数的图象为折线,则不等式的解集是( )
A.[-3,0] B.[-3,1] C.[-3,2] D.[-∞,1]
参考答案:
B
9. 已知命题p:?x∈R,sinx≤1,则( )
A.¬p:?x0∈R,sinx0≥1 B.¬p:?x∈R,sinx≥1
C.¬p:?x0∈R,sinx0>1 D.¬p:?x∈R,sinx>1
参考答案:
C
【考点】命题的否定.
【专题】简易逻辑.
【分析】利用“¬p”即可得出.
【解答】解:∵命题p:?x∈R,sinx≤1,∴¬p:?x0∈R,sinx0>1.
故选:C.
【点评】本题考查了“非命题”的意义,考查了推理能力,属于基础题.
10. 函数的图象关于( )
A.y轴对称 B.直线y=-x对称 C.坐标原点对称 D.直线y=x对称
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知数列中,,则
参考答案:
略
12. 已知函数f(x)=,若函数g(x)=f(x)﹣m有3个零点,则实数m的取值范围是 .
参考答案:
(0,1)
考点:函数的零点.
专题:数形结合法.
分析:先把原函数转化为函数f(x)=,再作出其图象,然后结合图象进行求解.
解答: 解:函数f(x)==,
得到图象为:
又函数g(x)=f(x)﹣m有3个零点,
知f(x)=m有三个零点,
则实数m的取值范围是(0,1).
故答案为:(0,1).
点评:本题考查函数的零点及其应用,解题时要注意数形结合思想的合理运用,
13. 在平面直角坐标系中,动点到两条坐标轴的距离之和等于它到点的距离,记点的轨迹为曲线.
(I) 给出下列三个结论:
①曲线关于原点对称;
②曲线关于直线对称;
③曲线与轴非负半轴,轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于;
其中,所有正确结论的序号是_____;
(Ⅱ)曲线上的点到原点距离的最小值为______.
参考答案:
②③;
14. 将函数的图像按向量()平移,所得图像对应的函数为偶函数,则的最小值为 .
参考答案:
由题意知,按平移,得到函数,即,此时函数为偶函数,所以,所以,所以当时,的最小值为。
15. 函数y=sin2x的最小正周期是 .
参考答案:
π
【考点】三角函数的周期性及其求法.
【分析】由条件根据函数y=Asin(ωx+φ)的周期为,可得结论.
【解答】解:函数y=sin2x的最小正周期是=π,
故答案为:π.
16. 已知等比数列的首项为,公比为,其前项和记为,又设,的所有非空子集中的最小元素的和为,则的最小正整数为__________.
参考答案:
45
略
17. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)
A. (不等式选做题) 已知a, b, m, n均为正数, 且a+b=1, mn=2, 则(am+bn)(bm+an)的最小值为 .
B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB与CD相交于内一点E, 过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P. 已知PD=2DA=2, 则PE= .
C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角为参数, 则圆的参数方程为 .
参考答案:
A. 由科尔不等式可得
(am+bn)(bm+an)≥()2mn(a+b)2=2
B.
C. x=,y=, 0 ≤<
A. 略
B.
已知∠BCE=∠PED=∠BAP ∴PDE∽PEA
∴ 而PD=2DA=2 ∴PA=3
PE2=PA·PD=6 故PE=
C. x2+y2-x=0,(x-)2+y2=,以()为圆心,为半径,且过原点的圆,它的标准参数方程为x=,y=,0 ≤a<2,由已知,以过原点的直线倾斜角为参数,则0 ≤<,所以0 ≤2<2,所以所求圆的参数方程为x=,y=, 0 ≤<
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)已知函数的图象过点,且在处取得极值.
(1) 求实数的值;
(2) 求在 (为自然对数的底数)上的最大值.
参考答案:
(1)当时,, ……………………………………1分
由题意得:,即, …………………………………3分
解得:。 …………………………………5分
(2)由(1)知:
①当时,,
解得;解得或
∴在和上单减,在上单增,
由得:或,………………………………………6分
∵ ,
∴在上的最大值为. ……………………………………………………8分
②当时,,
当时,;当时,在单调递增;
∴在上的最大值为。 ……………………………………………………10分
∴当时,在上的最大值为; ……………………………………11分
当时,在上的最大值为. ……………………………………12分
19. 已知数列的奇数项是首项为的等差数列,偶数项是首项为的等比数列.数列前项和为,且满足,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求正整数的值;
(3)是否存在正整数,使得恰好为数列中的一项?若存在,求出所有满足条件的值,若不存在,说明理由.
参考答案:
【知识点】等比数列的性质;等差数列的性质. D2 D3
【答案解析】(1);(2)2;(3)存在正整数m=1,使得恰好为数列{an}中的第三项,存在正整数m=2,使得恰好为数列{an}中的第二项.
解析:(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,
则a1=1,a2=2,a3=1+d,a4=2q,a9=1+4d.
∵S5=2a4+a5,∴a1+a2+a3=a4,即4d=2q,
又a9=a3+a4.∴1+4d=1+d=2q.解得:d=2,q=3.
∴对于k∈N*,有.
故;
(2)若am=2k,则由amam+1=am+2,得
2?3k﹣1(2k+1)=2?3k,解得:k=1,则m=2;
若am=2k﹣1,则由(2k﹣1)?2?3k﹣1=2k+1,
此时左边为偶数,右边为奇数,不成立.
故满足条件的正数为2;
(3)对于k∈N*,有
.
.
假设存在正整数m,使得恰好为数列{an}中的一项,
又由(1)知,数列中的每一项都为正数,故可设=L(L∈N*),
则,变形得到:(3﹣L)3m﹣1=(L﹣1)(m2﹣1)①.
∵m≥1,L≥1,3m﹣1>0,∴L≤3.又L∈N*,故L可能取1,2,3.
当L=1时,(3﹣L)3m﹣1>0,(L﹣1)(m2﹣1)=0,∴①不成立;
当L=2时,(3﹣2)3m﹣1=(2﹣1)(m2﹣1),即3m﹣1=m2﹣1.
若m=1,3m﹣1≠m2﹣1,令,
则 =
.因此,1=T2>T3>…,故只有T2=1,此时m=2,L=2=a2.
当L=3时,(3﹣3)3m﹣1=(3﹣1)(m2﹣1).∴m=1,L=3=a3.
综上,存在正整数m=1,使得恰好为数列{an}中的第三项,
存在正整数m=2,使得恰好为数列{an}中的第二项.
【思路点拨】(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q由题意列式求出公差和公比,则等差数列和等比数列的通项公式即可得出;
(2)分am=2k和am=2k﹣1,利用amam+1=am+2即可求出满足该等式的正整数m的值;
(3)对于k∈N*,有.
.假设存在正整数m,使得恰好为数列{an}中的一项,设=L(L∈N*),则,变形得到(3﹣L)3m﹣1=(L﹣1)(m2﹣1),由此式得到L的可能取值,然后依次分类讨论求解.
20. (本小题满分12分)某学校高二年级共有1000名学生,其中男生650人,女生350人,为了调查学生周末的休闲方式,用分层抽样的方法抽查了200名学生.
(1)完成下面的列联表;
不喜欢运动
喜欢运动
合计
女生
50
男生
合计
100
200
(2)在喜欢运动的女生中调查她们的运动时间,发现她们的运动时间介于30分钟到90分钟之间,右图是测量结果的频率分布直方图,若从区间段和的所有女生中随机抽取两名女生,求她们的运动时间在同一区间段的概率.
参考答案:
1)根据分层抽样的定义,知抽取男生130人,女生70人,
不喜欢运动
喜欢运动
合计
女生
50
20
70
男生
50
80
130
合计
100
100
200
(2)由直方图知在内的人数为4人,设为.
在的人数为2人,设为.
从这6人中任选2人有AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd,ab,ac,ad,bc,bd,cd共15种情况
若时,有共六种情况.
若时,有一种情况.
事件A:“她们在同一区间段”所包含的基本事件