四川省达州市朝阳中学高三数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数的图像与轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列,要得到函数的图像,只需将的图像( )
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
参考答案:
D
2. sin160°cos10°+cos20°sin10°=( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】两角和与差的余弦函数;运用诱导公式化简求值.
【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值.
【分析】由条件利用诱导公式、两角和的正弦公式,求得所给式子的值.
【解答】解:sin160°cos10°+cos20°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin
=sin30°=,
故选:C.
【点评】本题主要考查诱导公式、两角和的正弦公式,属于中档题.
3. 过双曲线的右焦点作圆的切线(切点为),交轴于点,若为线段的中点,则双曲线的离心率是( )
A . 2 B. C. D.
参考答案:
B
∵OM⊥PF,且FM=PM
∴OP=OF,
∴∠OFP=45°
∴|0M|=|OF|?sin45°,即a=c?
∴e==
4. 函数(其中)的图象如图所示,为了得到的图象,只需把 的图象上所有点 ( )
A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度
参考答案:
A
5. 已知复数,则对应的点在
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
参考答案:
B
6. 已知复数,则复数z的实部为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.
【详解】解:∵,
∴复数的实部为.
故选A.
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.
7. 已知Sn是等比数列{an}的前n项和,若存在,满足,,则数列{an}的公比为
A.2 B.3 C. D.
参考答案:
B
8. 已知,则
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
9. 执行右面的程序框图,则输出的的值是
A. 210 B. -210 C. 420 D. -420
参考答案:
B
10. 已知,若恒成立,则的取值范围是( )
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若曲线Γ:(θ为参数且),则Γ的长度为 .
参考答案:
π
考点:
参数方程化成普通方程;弧长公式.3804980
专题:
直线与圆.
分析:
根据同角三角函数关系消去参数θ,即可求出曲线Γ的普通方程,得出是一段圆弧,再利用弧长公式求其长度即可.
解答:
解:由(θ为参数且),
即,
得(x﹣1)2+(y﹣2)2=9.
其中得
∴曲线Γ表示一段圆心角为,半径为3的圆弧,如图.
其弧长为l=αR==π.
故答案为:π.
点评:
本题主要考查了圆的参数方程,以及参数方程化成普通方程,属于基础题.
12. 函数f(x)=ex(x+sinx+1)在x=0处的切线方程为 .
参考答案:
3x﹣y+1=0
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】求出函数的导数,可得在x=0处切线的斜率,求得切点坐标,运用斜截式方程可得切线的方程.
【解答】解:f′(x)=ex(sinx+cosx+x+2),
f′(0)=3,f(0)=1,
故切线方程是:y﹣1=3x,
即3x﹣y+1=0,
故答案为:3x﹣y+1=0.
13. 如图所示,过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C,D两点,AB切⊙O
于B,弦MN过CD的中点P.已知AC=4,AB=6,则MP·NP= .
参考答案:
略
14. 已知等差数列{an}公差不为0, 其前n项和为Sn, 等比数列{bn}前n项和为Bn, 公比为q, 且|q|>1, 则=___________________.
参考答案:
15. 过点的直线与圆截得的弦长为,则该直线的方程为 。
参考答案:
16. 已知函数y=f(x)与y=f﹣1(x)互为反函数,又y=f﹣1(x+1)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称,若f(x)=(x>0),则g(x)= .
参考答案:
log(x2+2)﹣1(x>0)
考点:反函数;函数的图象与图象变化.
专题:函数的性质及应用.
分析:根据y=f﹣1(x)向左平移1个单位得出y=f﹣1(x+1),利用反函数的概念图象的对称性得出f(x)图象向下平移1个单位得出g(x)的图象,即可得出g(x)的解析式.
解答: 解:y=f﹣1(x)向左平移1个单位得出y=f﹣1(x+1),
∵函数y=f(x)与y=f﹣1(x)互为反函数
∴函数y=f(x)与y=f﹣1(x)的图象关于直线y=x对称,
∵y=f﹣1(x+1)与y=g(x)的图象关于直线y=x对称,
∴f(x)图象向下平移1个单位得出g(x)的图象,
∵f(x)=(x>0),
∴g(x)=﹣1(x>0),
故答案为:g(x)=log(x2+2)﹣1(x>0);
点评:本题考查了函数图象的对称性,平移问题,利用反函数的概念,图象的对称性的知识求解,知识综合较多,属于中档题.
17. 若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,2],则该函数的解析式f(x)=________.
参考答案:
-2x2+2
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设函数,其中,角的顶点与坐标原点重合,始边与x轴非负半轴重合,终边经过点.
(I)若P点的坐标为,求的值;
(II)若点为平面区域上的一个动点,试确定角的取值范围,并求函数的值域.
参考答案:
略
19. (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 是圆心为,半径为1的圆.
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)设为曲线上的点,为曲线上的点,求的取值范围.
参考答案:
(1),;(2).
试题分析:(1)用平方法消去参数即可得曲线的直角坐标方程,先把圆心化成直角坐标,直接写出圆的标准方程即可;(2)设,先求得,利用三角函数的有界性求出的范围,进而得的取值范围.
试题解析:(1)消去参数可得的直角坐标方程为,
曲线的直角坐标方程为.
(2)设,则,
∵,∴.
根据题意可得,即的取值范围是.
考点:1、极坐标化直角坐标;2、参数方程化普通方程及三角函数有界性.
20. 在直角坐标系xOy中,点,是曲线上的任意一点,动点C满足
(1)求点C的轨迹方程;
(2)经过点的动直线与点C的轨迹方程交于A、B两点,在x轴上是否存在定点D(异于点P),使得?若存在,求出D的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案:
(1);(2)存在点符合题意.
【分析】
(1)设,,利用相关点代入法得到点的轨迹方程;
(2)设存在点,使得,则,因为直线l的倾斜角不可能为,故设直线l的方程为,利用斜率和为0,求得,从而得到定点坐标.
【详解】(1)设,,
则,,.
又,则即
因为点N为曲线上的任意一点,
所以,
所以,整理得,
故点C的轨迹方程为.
(2)设存在点,使得,所以.由题易知,直线l的倾斜角不可能为,故设直线l的方程为,
将代入,得.设,,则,.因为,所以,即,所以.故存在点,使得.
【点睛】本题考查相关点代入法求轨迹方程及抛物线中的定点问题,考查函数与方程思想、数形结合思想的应用,求解时注意直线方程的设法,能使运算过程更简洁.
21. (本题12分)设、是两个不共线的非零向量()
(1)记那么当实数t为何值时,A、B、C三点共线?
(2)若,那么实数x为何值时的值最小?
参考答案:
(1)A、B、C三点共线知存在实数
即,…………………………………………………4分
则………………………………………………………………6分
(2)
……………………………9分
当…………………………………………12分
22. 如图所示,AB为圆O的直径,CB,CD为圆O的切线,B,D为切点.
(1)求证:AD∥OC;
(2)若圆O的半径为2,求AD?OC的值.
参考答案:
【考点】相似三角形的性质.
【专题】选作题;立体几何.
【分析】(1)连接BD,OD,利用切线的性质,证明BD⊥OC,利用AB为直径,证明AD⊥DB,即可证明AD∥OC;
(2)证明Rt△BAD∽Rt△COB,可得,即可求AD?OC的值
【解答】(1)证明:连接BD,OD,
∵CB,CD是圆O的两条切线,
∴BD⊥OC,
又AB为直径,∴AD⊥DB,
∴AD∥OC.
(2)解:∵AD∥OC,∴∠DAB=∠COB,
∴Rt△BAD∽Rt△COB,
∴,
∴AD?OC=AB?OB=8.
【点评】本小题主要考查平面几何的证明,具体涉及到圆的切线的性质,三角形相似等内容.本小题重点考查考生对平面几何推理能力.