福建省泉州市张坂中学高一数学文下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 如图,正方体的棱长为1,线段上有两个动点,且,则下列四个结论中正确的个数是( )
①. ②.
③.三棱锥的体积为定值
④.异面直线所成的角为定值
A.1 B.2 C.3 D.4
参考答案:
C
2. 下列各组两个集合A和B,表示同一集合的是
(2)A=,B= B. A=,B=
C. A=,B= D. A=,B=
参考答案:
C
略
3. 设a>1,实数x,y满足f(x)=a|x|,则函数f(x)的图象形状 ( )
参考答案:
A
4. 的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
5. 已知=(1,2),=(﹣3,2),k+与﹣3平行,则k的值为( )
A.3 B. C. D.﹣
参考答案:
D
【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示.
【专题】计算题;对应思想;定义法;平面向量及应用.
【分析】根据向量的平行的条件和向量的坐标运算即可求出.
【解答】解: =(1,2),=(﹣3,2),
∴k+=(k﹣3,2k+2),﹣3=(10,﹣4),
∵k+与﹣3平行,
∴﹣4(k﹣3)=10(2k+2),
∴k=﹣,
故选:D.
【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量平行的条件,属于基础题.
6. 如果函数在区间上是减少的,那么实数的取值
范围是( ▲ )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
C
略
7. 已知函数f(lgx)定义域是[0.1,100],则函数的定义域是( )
A.[﹣1,2] B.[﹣2,4] C.[0.1,100] D.
参考答案:
B
【考点】函数的定义域及其求法.
【分析】由f(lgx)定义域求出函数f(x)的定义域,再由在f(x)的定义域内求解x的范围得答案.
【解答】解:∵f(lgx)定义域是[0.1,100],即0.1≤x≤100,
∴lg0.1≤lgx≤lg100,即﹣1≤lgx≤2.
∴函数f(x)的定义域为[﹣1,2].
由,得﹣2≤x≤4.
∴函数的定义域是[﹣2,4].
故选:B.
8. 已知角θ的终边经过点P(4,m),且sinθ=,则m等于( )
A.﹣3 B.3 C. D.±3
参考答案:
B
【考点】任意角的三角函数的定义.
【分析】利用任意角的三角函数的定义,求解即可.
【解答】解:角θ的终边经过点P(4,m),且sinθ=,
可得,(m>0)
解得m=3.
故选:B.
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义的应用,基本知识的考查.
9. 已知x,y∈R,且8﹣2y=2x,则x+y的最大值为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
参考答案:
C
【考点】基本不等式;有理数指数幂的化简求值.
【分析】由题意可得8=2x+2y≥2=2,由指数幂的运算验证等号成立即可.
【解答】解:∵x,y∈R,且8﹣2y=2x,
∴8=2x+2y≥2=2,
解得2x+y≤16,即x+y≤4,
当且仅当2x=2y即x=y=2时取等号
∴x+y的最大值为4
故选:C
10.
设,且,则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
对于A,当时,不等式不成立,故A不正确.
对于B,当时,不等式不成立,故B不正确.
对于C,当时,不等式不成立,故C不正确.
对于D,根据不等式的可加性知不等式成立,故D正确.
故选D.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若关于x的不等式<0的解集为,则实数a的取值范围为
参考答案:
12. 函数f(x)= loga(x+1)+ax+x-2的图像过定点________.
参考答案:
(0,-2)
∵对数函数f(x)=logax(a>0,a≠1)恒过定点(1,0),
∴函数f(x)=loga(x+1)的图象恒过定点(0,0)
一次函数y=ax+x-2=(a+1)x-2(a>0且a≠1)的图象恒过(0,-2)
∴f(x)= loga(x+1) +ax+x-2的图象恒过(0,-2).
13. 若方程表示圆,则实数m的取值范围为_______.
参考答案:
【分析】
方程表示圆,需要 计算得到答案.
【详解】方程表示圆
则
【点睛】本题考查了二元二次方程表示圆的条件,属于简单题.
14. 在数列中,,则数列的第20项是 .
参考答案:
75
15.
参考答案:
0
略
16. 已知圆O:x2+y2=4,直线l:mx﹣y+1=0与圆O交于点A,C,直线n:x+my﹣m=0与圆O交于点B,D,则四边形ABCD面积的最大值是 .
参考答案:
7
【考点】直线与圆相交的性质.
【分析】先确定直线m,n恒过定点M(0,1),圆心O(0,0),半径R=2,AC2+BD2为定值,表示出面积,即可求四边形ABCD的面积的最大值和最小值.
【解答】解:由题意可得,直线m,n恒过定点M(0,1),圆心O(0,0),半径R=2,
设弦AC,BD的中点分别为E,F,则OE2+OF2=OM2=1,
∴AC2+BD2=4(8﹣OE2﹣OF2)=28,
∴S2≤AC2?BD2=AC2?(28﹣AC2)≤=49,
∴S≤7,当且仅当AC2=28﹣AC2,即AC=时,取等号,
故四边形ABCD面积S的最大值为7.
故答案为:7.
17. 已知函数f(x)= 则f(f())= .
参考答案:
【考点】函数的值.
【分析】由此得f()==﹣2,由此能求出f(f()).
【解答】解:∵函数f(x)=,
∴f()==﹣2,
f(f())=f(﹣2)=3﹣2=.
故答案为:.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知数列{an}为等差数列,,且依次成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设,数列{bn}的前n项和为Sn,若,求n的值.
参考答案:
(1) (2)
【分析】
(1)设等差数列的公差为d,运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质,解方程可得首项和公差,即可得到所求通项公式;
(2)求得bn(),运用裂项相消求和可得Sn,解方程可得n.
【详解】解:(1)设数列{an}为公差为d的等差数列,
a7﹣a2=10,即5d=10,即d=2,
a1,a6,a21依次成等比数列,可得
a62=a1a21,即(a1+10)2=a1(a1+40),
解得a1=5,
则an=5+2(n﹣1)=2n+3;
(2)bn(),
即有前n项和为Sn()
(),
由Sn,可得5n=4n+10,
解得n=10.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质,考查数列的裂项相消求和,以及方程思想和运算能力,属于基础题.
19. 如图,三个同样大小的正方形并排一行.
(Ⅰ)求与夹角的余弦值.
(Ⅱ)求∠BOD+∠COD.
参考答案:
【考点】数量积表示两个向量的夹角.
【专题】计算题.
【分析】设正方形的边长为1,可得,,,的坐标,(1)cos<,>=代入数据计算可得;(2)同理可得cos∠BOD,cos∠COD的值,由平方关系可得sin∠BOD和sin∠COD的值,可得cos(∠BOD+∠COD)的值,结合角的范围可得答案.
【解答】解:设正方形的边长为1,则A(1,1),B(2,1),C(3,1),D(3,0),
故=(1,1),=(2,1),=(3,1),=(3,0)
(1)可得cos<,>===,
(2)同理可得cos∠BOD===,
故可得sin∠BOD==,
cos∠COD===,sin∠COD=,
故cos(∠BOD+∠COD)==,
由角的范围可知∠BOD+∠COD=
【点评】本题考查数量积表示向量的夹角,涉及和差角三角函数,属中档题.
20. 已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且,,,.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设,求数列{cn}的前n项和.
参考答案:
(1);(2)
【分析】
(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,运用通项公式,可得,进而得到所求通项公式;
(2)由(1)求得,运用等差数列和等比数列的求和公式,即可得到数列和.
【详解】(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,
因为,可得,所以,
又由,所以,
所以数列的通项公式为.
(2)由题意知,
则数列的前项和为
.
【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用,以及数列的分组求和,其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n项和公式,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
21. 已知函数f(x)=x(x﹣m)2在x=2处有极大值.
(1)求实数m的值;
(2)若关于x的方程f(x)=a有三个不同的实根,求实数a的取值范围.
参考答案:
【考点】54:根的存在性及根的个数判断;6D:利用导数研究函数的极值.
【分析】(1)令f′(2)=0解出m,再进行验证x=2是否为极大值点即可;
(2)求出f(x)的单调性和极值,即可得出a的范围.
【解答】解:(1)f'(x)=3x2﹣4mx+m2,由已知f'(2)=12﹣8m+m2=0,
∴m=2,或m=6,当m=2时,f'(x)=3x2﹣8x+4=(3x﹣2)(x﹣2),
∴f(x)在上单调递减,在x∈(2,+∞)上单调递增,
∴f(x)在x=2处有极小值,不符合题意,舍去.
∴m=6.
(2)由(1)知f(x)=x3﹣12x2+36x,f′(x)=3x2﹣24x+36,
且f(x)的另一个极值点为6,
∴f(x)在x∈(﹣∞,2)上单调递增,在x∈(2,6)上单调递减,在x∈(6,+∞)上单调递增,
当x=2时,f(x)取得极大值f(2)=32,
当x=6时,f(x)取得极小值f(6)=0,
∵方程f(x)=a有三个不同的实根,
∴0<a<32.
22. (14分)设集合A={x|x2﹣3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2﹣5)=0}.
(1)若A∩B={2},求实数a的值;
(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.
参考答案:
考点: 集合的包含关系判断及应用;并集及其运算;交集及其运算.
专题: 计算题.
分析: (1)先解出集合A,根据2是两个集合的公共元素可知2∈B,建立关于a的等式关系,求出a后进行验证即可.
(2)一般A∪B=A转化成B?A来解决,集合A两个元素故可考虑对集合B的元素个数进行讨论求解.
解答: 由x2﹣3x+2=0得x=1或x=2,故集合A={1,2}
(1)∵A∩B={2},∴2∈B,代入B中的方程,
得a2+4a+3=0?a=﹣1或a=﹣3;
当a=﹣1时,B={x|x2﹣4=0}={﹣2,2},满足条件;
当a=﹣3时,B={x|x2﹣4x+4=0}={2},满足条件;
综上,a的值为﹣1或﹣3;
(2)对于集合B,
△=4(a+1)2﹣4(a2﹣5)=8(a+3).
∵A∪B=A,∴B?A,
①当