河北省邯郸市武安第三中学高一数学文上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 圆的周长是( )
A. 25π
B. 10π
C. 8π
D. 5π
参考答案:
B
【分析】
通过配方法把圆的一般方程化成标准方程求出圆的半径,进而求出圆的周长.
【详解】,所以圆的半径为,因此圆的周长为,故本题选B.
【点睛】本题考查了通过圆的一般式方程化为普通方程求半径问题,考查了配方法.
2. 设全集U={1,3,5,7,9},集合A={1,|a﹣5|,9},?UA={5,7},则实数a的值是( )
A.2 B.8 C.﹣2或8 D.2或8
参考答案:
D
【考点】补集及其运算.
【专题】计算题.
【分析】根据补集的定义和性质可得 3∈A,|a﹣5|=3,解出实数a的值.
【解答】解:由题意可得3∈A,|a﹣5|=3,
∴a=2,或a=8,
故选 D.
【点评】本题考查集合的表示方法、集合的补集的定义和性质,判断|a﹣5|=3 是解题的关键.
3. 已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为1的正方形,主视图与左视图是边长为1的正三角形,则其全面积是( )
A.2 B.3
C. D.
参考答案:
B
4. 已知函数f(x)=,若方程f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,则x1+x2+的值为( )
A.0 B.﹣1 C.1 D.2
参考答案:
B
【考点】根的存在性及根的个数判断.
【分析】作出函数f(x),得到x1,x2关于x=﹣1对称,x3x4=1;化简条件,利用数形结合进行求解即可.
【解答】解:作函数f(x)的图象如右,
∵方程f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,
∴x1,x2关于x=﹣1对称,即x1+x2=﹣2,
0<x3<1<x4,
则|log2x3|=|log2x4|,
即﹣log2x3=log2x4,
则log2x3+log2x4=0
即log2x3x4=0
则x3x4=1;
x1+x2+=﹣1.
故选:B.
【点评】本题考查分段函数的运用,主要考查函数的单调性的运用,运用数形结合的思想方法是解题的关键.
5. 若,,则有( )
A. B.
C. 、异面 D. A、B、C选项都不正确
参考答案:
D
略
6. 如图所示,阴影部分的面积S是h的函数(),则该函数的图象是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
观察图,可知阴影部分的面积S随h的增大而减小,排除B和C.
由于图形的宽度上小下大,所以S的变化率随h的增大而减小,排除D.
故选A.
7. 函数,设,若,的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
8. 函数是偶函数,则函数的对称轴是 ( )
A. B。 C。 D。
参考答案:
A
9. 半径R的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为( )
A.πR3 B.πR3 C.πR3 D.πR3
参考答案:
A
【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台).
【分析】求出扇形的弧长,然后求出圆锥的底面周长,转化为底面半径,求出圆锥的高,然后求出体积.
【解答】解:2πr=πR,所以r=,则h=,所以V=
故选A
10. 不同的直线a,b,c及不同的平面α,β,γ,下列命题正确的是( )
A.若a?α,b?α,c⊥a,c⊥b 则c⊥α B.若b?α,a∥b 则 a∥α
C.若a∥α,α∩β=b 则a∥b D.若a⊥α,b⊥α 则a∥b
参考答案:
D
【考点】2K:命题的真假判断与应用;LP:空间中直线与平面之间的位置关系.
【分析】根据直线与平面垂直的判定定理和线线平行的判定定理,对四个选项进行一一判断;
【解答】解:A、若a?α,b?α,c⊥a,c⊥b,若在平面α内直线a平行直线b,则c不一定垂直α,故A错误;
B、已知b?α,a∥b,则a∥α或a?α,故B错误;
C、若a∥α,α∩β=b,直线a与b可以异面,故C错误;
D、垂直于同一平面的两直线平行,故D正确;
故选D;
【点评】此题主要考查空间中直线与平面之间的位置关系,是一道基础题,比较简单;
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 经过原点并且与直线x+y﹣2=0相切于点(2,0)的圆的标准方程是 .
参考答案:
(x﹣1)2+(y+1)2=2
【考点】圆的切线方程.
【分析】设出圆心坐标与半径,根据题意列出方程组,解方程组求出圆心与半径即可.
【解答】解:设圆心的坐标为(a,b),
则a2+b2=r2①,(a﹣2)2+b2=r2②, =1③;
由①②③组成方程组,解得:
a=1,b=﹣1,r2=2;
故所求圆的标准方程是(x﹣1)2+(y+1)2=2.
故答案为(x﹣1)2+(y+1)2=2.
12. 已知数列的前项和,则其通项公式为_______。
参考答案:
略
13. 若对任意x>0,≤a恒成立,则a的取值范围是________.
参考答案:
略
14. 化简_____.
参考答案:
【分析】
利用对数的运算性质和换底公式可求得所求代数式的值.
【详解】由对数的运算性质得,原式.
故答案为:.
【点睛】本题考查对数的运算,涉及对数运算性质和换底公式的应用,考查计算能力,属于基础题.
15. 在同一坐标系中,y=2x与的图象与一次函数的图象的两个交点的横坐标之和为6,则= .
参考答案:
6
16. 若a>c且b+c>0,则不等式>0的解集为 ;
参考答案:
17. 已知函数f(x)的定义域为R,当x<0时,f(x)=x3﹣1;当﹣1≤x≤1时,f(﹣x)=﹣f(x);当x>时,f(x+)=f(x﹣),则f(6)= .
参考答案:
2
【考点】函数的值.
【分析】求得函数的周期为1,再利用当﹣1≤x≤1时,f(﹣x)=﹣f(x),得到f(1)=﹣f(﹣1),当x<0时,f(x)=x3﹣1,得到f(﹣1)=﹣2,即可得出结论.
【解答】解:∵当x>时,f(x+)=f(x﹣),
∴当x>时,f(x+1)=f(x),即周期为1.
∴f(6)=f(1),
∵当﹣1≤x≤1时,f(﹣x)=﹣f(x),
∴f(1)=﹣f(﹣1),
∵当x<0时,f(x)=x3﹣1,
∴f(﹣1)=﹣2,
∴f(1)=﹣f(﹣1)=2,
∴f(6)=2;
故答案为:2
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在集合内任取一个元素,能使代数式的概率是多少?
参考答案:
如右图,集合为矩形内(包括边界)的点的集合,上方(包括直线)所有点的集合,所以所求概率.
略
19. 已知函数,且.
(1)若,当时,解不等式;
(2)若函数,讨论在区间上的最小值.
参考答案:
解:(1)∵ 是偶函数 …………………2分
当时,是增函数,
若时, …………………9分
① 当,则
∴时,. …………………11分
② 当,则
在时,为增函数
∴时,. …………………13分
③ 当,则,
在时,为减函数.
∴时,. …………………15分
∴. …………………16分
20. 已知圆与直线相切
(1)若直线与圆O交于M,N两点,求
(2)已知,设P为圆O上任意一点,证明:为定值
参考答案:
(1)4;(2)详见解析.
【分析】
(1)利用直线与圆相切,结合点到直线距离公式求出半径,从而得到圆的方程;根据直线被圆截得弦长的求解方法可求得结果;(2)设,则,利用两点间距离公式表示出,化简可得结果.
【详解】(1)由题意知,圆心到直线的距离:
圆与直线相切 圆方程为:
圆心到直线的距离:
,
(2)证明:设,则
即为定值
【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题,涉及到直线与圆位置关系的应用、直线被圆截得弦长的求解、两点间距离公式的应用、定值问题的求解.解决定值问题的关键是能够用变量表示出所求量,通过化简、消元整理出结果.
21. (本题满分10分)
如图,三棱柱中,,为的中点,且.
(1)求证:∥平面;
(2)求与平面所成角的大小.
参考答案:
⑴证明:如图一,连结与交于点,连结.
在△中,、为中点,∴∥.
又平面,平面,∴∥平面.
图一 图二 图三
⑵证明:(方法一)如图二,∵为的中点,∴.
又,,∴平面.
取的中点,又为的中点,∴、、平行且相等,
∴是平行四边形,∴、平行且相等.
又平面,∴平面,∴∠即所求角.
由前面证明知平面,∴,
又,,∴平面,∴此三棱柱为直棱柱.
设∴,,∠=.
(方法二)如图三,∵为的中点,∴.
又,,∴平面.
取的中点,则∥,∴平面.
∴∠即与平面所成的角.
由前面证明知平面,∴,
又,,∴平面,∴此三棱柱为直棱柱.
设∴,,∴∠.
22. 已知函数
(1)求与的值; (2)若,求a的值.
参考答案:
(1)
---------------------2分
------------------------------------5分
(2)当时,
-----------------------------------------------------------7分
当时,
----------------------------------------------9分
当时,
(舍去)-----------------------------------------11分
综上,或 --------------------------------------12分