云南省大理市宾川县第四中学高三数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 角θ的终边与单位圆的交点的横坐标为,则tanθ的值为( )
A. B.±1 C. D.
参考答案:
C
【考点】任意角的三角函数的定义.
【专题】三角函数的求值.
【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义,求得tanθ的值.
【解答】解:角θ的终边与单位圆的交点的横坐标为x=,则它的纵坐标为y=±,
故tanθ==±,
故选:C.
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,属于基础题.
2. 函数的定义域为( ).
.(0,1) .[0,1) .(0,1] .[0,1]
参考答案:
B
略
3. 函数(为自然对数的底数)的图像可能是( )
参考答案:
A
【知识点】函数的奇偶性
【试题解析】由解析式知函数为偶函数,故排除B、D。
又故选A。
故答案为:A
4. 设满足约束条件,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
5. 如图所示,在平面四边形ABCD中,AB=1,BC=2,△ACD为正三角形,则△BCD面积的最大值为( )
A.2 B. C. D.
参考答案:
D
【考点】正弦定理.
【分析】运用余弦定理,表示出AC,进而用三角函数表示出S△BCD.
【解答】解:在△ABC中,设∠ACB=α,∠ACB=β,由余弦定理得:
AC2=12+22﹣2×1×2cosα=5﹣4cosα,
∵△ACD为正三角形,
∴CD2=5﹣4cosα,
由正弦定理得: =,
∴AC?sinβ=sinα,
∴CD?sinβ=sinα,
∵(CD?cosβ)2=CD2(1﹣sin2β)=CD2﹣sin2α=5﹣4cosα﹣sin2α=(2﹣cosα)2,
∵β<∠BAC,
∴β为锐角,CD?cosβ=2﹣cosα,
∴S△BCD=?2?CD?sin(+β)
=CD?sin(+β)
=CD?cosβ+CD?sinβ
=?(2﹣cosα)+sinα
=+sin(α﹣),
当α=时,(S△BCD)max=+1.
故选:D.
【点评】本题考查三角形的面积的最值的求法,注意运用余弦定理和面积公式,同时考查基本不等式的运用,属于中档题.
6. 若函数的大致图像如右图,其中为常数,则函数的大致图像是( )
参考答案:
B.
试题分析:由函数的图像为减函数可知,,再由图像的平移知,的图像由向左平移可知,,故函数的大致图像为B选项.
考点:对数函数的图像与性质.
7. 已知函数y=f(x),满足y=f(-x)和y=f(x+2)是偶函数,且f(1)=,设F(x)=f(x)+f(-x),则F(3)=
A. B. C.π D.
参考答案:
B
由y=f(-x)和y=f(x+2)是偶函数知:
f(﹣x)=f(x),
f(x+2)=f(﹣x+2)=f(x﹣2),
故f(x)=f(x+4),
则F(3)=f(3)+f(﹣3)=2f(3)=2f(﹣1)=2f(1)=,
故选:B.
8. 如图所示的程序框图,它的输出结果是
A. B. C. D.
参考答案:
C
9. 给出下列各函数值:①;②;③;④ 其中符号为负的有( )
A. ① B. ② C. ③ D. ④
参考答案:
C
10. 等比数列{an}的前n项和为Sn,己知S2=3,S4=15,则S3=
A.7 B.-9 C.7或-9 D.
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知,,则= 。
参考答案:
12. 设⊙O为不等边△ABC的外接圆,△ABC内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,P
是△ABC所在平面内的一点,且满足(P与A不重合).Q
为△ABC所在平面外一点,QA=QB=QC.有下列命题:
①若QA=QP,∠BAC=90°,则点Q在平面ABC上的射影恰在直线AP上;
②若QA=QP,则;
③若QA>QP,;
④若QA>QP,则P在△ABC内部的概率为
的面积).
其中不正确的命题有_____(写出所有不正确命题的序号).
参考答案:
略
13. 某调查机构就某单位一千多名职工的月收入进行调查,现从中随机抽出100名,已知抽到的职工的月收入都在元之间,根据调查结果得出职工的月收入情况残缺的频率分布直方图如下图(图左)所示,则该单位职工的月收入的平均数大约是
元。
参考答案:
2900
14. 已知函数在一个周期内的图象如图所示,则它的解析式为_ _。
参考答案:
略
15. 设,则展开式的常数项为 .
参考答案:
160
略
16. 某社区对居民进行上海世博会知晓情况分层抽样调查。已知该社区的青年人、中年人和老年人分别有800人、1600 人、1400 人,若在老年人中的抽样人数是70,则在中年人中的抽样人数应该是_________.
参考答案:
80
略
17. 抛物线的焦点为椭圆 的右焦点,顶点在椭圆中心,则抛物线方程为 ▲ .
参考答案:
由椭圆方程可知,所以,即,所以椭圆的右焦点为,因为抛物线的焦点为椭圆的右焦点,所以,所以。所以抛物线的方程为。
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分12分)
在中,角A、B、C所对的边分别为,且
(I)求角C的大小;
(II)若的面积,求的值.
参考答案:
19. (本题满分13分)已知函数.
(Ⅰ)若求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求函数的单调区间;
(Ⅲ)设,若函数在区间上存在极值点,求的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)若,函数的定义域为,.
则曲线在点处切线的斜率为.
而,则曲线在点处切线的方程为.
……………3分
(Ⅱ)函数的定义域为,.
(1)当时,由,且此时,可得.
令,解得或,函数为减函数;
令,解得,但,
所以当,时,函数也为增函数.
所以函数的单调减区间为,,
单调增区间为,.
(2)当时,函数的单调减区间为,.
当时,函数的单调减区间为,.
当时,由,所以函数的单调减区间为,.
即当时,函数的单调减区间为,.
(3)当时,此时.
令,解得或,但,所以当,,时,函数为减函数;
令,解得,函数为增函数.
所以函数的单调减区间为,,,
函数的单调增区间为. …………9分
(Ⅲ)(1)当时,由(Ⅱ)问可知,函数在上为减函数,
所以不存在极值点;
(2)当时,由(Ⅱ)可知,在上为增函数,
在上为减函数.
若函数在区间上存在极值点,则,
解得或,
所以.
综上所述,当时,函数在区间上存在极值点.
…………13分
20. 已知函数f(x)=在x=1处取得极值.
(1)求a的值,并讨论函数f(x)的单调性;
(2)当x∈[1,+∞)时,f(x)≥恒成立,求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
【分析】(1)求出函数的导数,求出a的值,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;
(2)问题转化为m≤,根据函数的单调性求出h(x)的最小值,从而求出m的范围即可.
【解答】解:(1)由题意得f′(x)=,
所以f'(1)=1﹣a=0即a=1,∴f′(x)=,
令f'(x)>0,可得0<x<1,令f'(x)<0,可得x>1,
所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
(2)由题意要使x∈[1,+∞)时,f(x)≥恒成立,
即m≤,记h(x)=,则m≤[h(x)]min,
h′(x)=,又令g(x)=x﹣lnx,
则g′(x)=1﹣,又x≥1,所以g′(x)=1﹣≥0,
所以g(x)在[1,+∞)上单调递增,
即g(x)≥g(1)=1>0,
∴h′(x)=>0,
即h(x)在[1,+∞)上单调递增,
所以[h(x)]min=h(1)=2,
∴m≤2.
21. (本题满分12分)汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆);
轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
按类型用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.
(Ⅰ)求z的值;
(Ⅱ)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;
(Ⅲ)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
参考答案:
(1)设该厂本月生产轿车为n辆,由题意得, n/50=10/(100+300),所以n=2000. z=2000-100-300-150-450-600=400
(2)设所抽样本中有m辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本,所以 ,解得m=2也就是抽取了2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车,分别记作S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取2辆的所有基本事件为(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2 ,B1),(S2 ,B2),(S2 ,B3),(S1,S2),(B1 ,B2),(B2,B3),(B1,B3)共10个,其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件:(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),(S1,S2),所以从中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为 7/10.
(3)样本的平均数为9 ,
那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0这6个数,总的个数为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为0.75 .
略
22. 已知等比数列{an}是递增数列,a2a5=32,a3+a4=12,又数列{bn}满足bn=2log2an+1,Sn是数列{bn}的前n项和
(1)求Sn;
(2)若对任意n∈N+,都有成立,求正整数k的值.
参考答案:
【考点】等差数列与等比数列的综合;等比数列的性质.
【分析】(1)运用等比数列的性质和通项,可得数列{an}的通项公式,再由对数的运算性质,可得数列{bn}的通项公式,运用等差数列的求和公式,可得Sn;
(2)令,通过相邻两项的差比较可得{Cn}的最大值,即可得到结论.
【解答】解:(1)因为a2a5=a3a4=32,a3+a4=12,且