广东省珠海市光明中学高三数学文期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 等差数列{an}中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列。
第一列
第二列
第三列
第一行
2
3
5
第二行
8
6
14
第三行
11
9
13
则a4的值为
A.18 B.15 C.12 D.20
参考答案:
A
略
2. 已知全集U=R,集合A={x|lg(x+1)≤0},B={x| 3x ≤1},则u(AlB)= ( )
A.(,0)(0,+) B.(0,+∞)
C.(-∞,-1](0,+∞) D.(-1,+∞)
参考答案:
C
略
3. 已知抛物线上一点M(1,m)到其焦点的距离为5,则该抛物线的准线方程为( )
A.x=8 B.x=-8 C.x=4 D.x=-4
参考答案:
A
4. 已知集合,则集合N的真子集个数为( )
A.3;B.4
C.7
D.8
参考答案:
B
5. 已知正数x,y满足,则的最小值为( )
A.1 B. C. D.
参考答案:
C
考点:简单线性规划的应用.
专题:不等式的解法及应用.
分析:作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识进行求解即可.
解答: 解:=2﹣2x?2﹣y=2﹣2x﹣y,
设m=﹣2x﹣y,要使z最小,则只需求m的最小值即可.
作出不等式组对应的平面区域如图:
由m=﹣2x﹣y得y=﹣2x﹣m,
平移直线y=﹣2x﹣m,由平移可知当直线y=﹣2x﹣m,经过点B时,
直线y=﹣2x﹣m的截距最大,此时m最小.
由,
解得,即B(1,2),
此时m=﹣2﹣2=﹣4,
∴的最小值为,
故选:C
点评:本题主要考查线性规划的应用,利用指数幂的运算性质,设出参数m=﹣2x﹣y是解决本题的关键,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.
6. 双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的离心率为( )
A. B. C.2 D.
参考答案:
C
双曲线的渐近线方程为
圆心(2,0),半径,圆心到直线ay=bx的距离等于半径
解得,故选C
7. 设函数.若存在的极值点满足,则m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
【知识点】正弦函数的图象和性质;函数的零点的定义;正弦函数的定义域和值域.
B 解:由题意可得,f(x0)=±,且 =kπ+,k∈z,即 x0=m.
再由x02+[f(x0)]2<m2,可得当m2最小时,|x0|最小,而|x0|最小为|m|,
∴m2 >m2+3,∴m2>4. 求得 m>2,或m<﹣2,
故选:B.
【思路点拨】由题意可得,f(x0)=±,且 =kπ+,k∈z,再由题意可得当m2最小时,|x0|最小,而|x0|最小为|m|,可得m2 >m2+3,由此求得m的取值范围.
8. 一个只有有限项的等差数列,它的前5项的和为34,最后5项的和为146,所有项的和为234,则的值为 ……………………( )
A. 9 B.18 C.24 D.36
参考答案:
B
9. 函数在区间上的图象是连续不断的,且方程在上仅有一个实根,则的值( )
A.大于 B.小于
C.等于 D.与的大小关系无法确定
参考答案:
D
略
10. 某出租车公司计划用450万元购买A型和B型两款汽车投入营运,购买总量不超过50辆,其中购买A型汽车需要13万元/辆,购买B型汽车需要8万元/辆,假设公司第一年A型汽车的纯利润为5万元/辆,B型汽车的纯利润为1.5万元/辆,为使该公司第一年纯利润最大,则需安排购买( )
A.8辆A型汽车,42辆B型汽车 B.9辆A型汽车,41辆B型汽车
C.11辆A型汽车,39辆B型汽车 D.10辆A型汽车,40辆B型汽车
参考答案:
D
试题分析:解法一:时,成本为万元,利润为万元;
时,成本为万元,利润为万元;
时,成本为万元,利润为万元;
而,选.
解法二:设购买型出租车x辆,购买型出租车辆,第一年纯利润为,则
,作出可行域,由解得,此时z取得最大值,选.
考点:线性规划问题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若x,y满足约束条件,则的最大值为 .
参考答案:
4
12. 已知圆,直线,在圆C内任取一点P,则P到直线的距离大于2的概率为 .
参考答案:
由题意知圆的标准方程为(x﹣1)2+y2=2的圆心是(1,0),
圆心到直线3x﹣4y+12=0的距离是d==3,
当与3x﹣4y+12=0平行,且在直线下方距离为2的平行直线为3x﹣4y+b=0,
则d==2,则|b﹣12|=10,
即b=22(舍)或b=2,此时直线为3x﹣4y+2=0,
则此时圆心到直线3x﹣4y+2=0的距离d=1,即三角形ACB为直角三角形,
当P位于3x﹣4y+2=0时,此时P到直线l的距离大于2,
则根据几何概型的概率公式得到P==
故答案为:.
13. 已知某几何体的三视图(单位:)如图所示,则此几何体的体积是 .
参考答案:
7
【考点】由三视图求面积、体积.
【专题】空间位置关系与距离.
【分析】由已知中的三视图可得,该几何体是一个以侧视图为底面的柱体,计算出柱体的底面面积和高,代入棱柱体积公式,可得答案.
【解答】解:由已知中的三视图可得,该几何体是一个以侧视图为底面的柱体,
棱柱的底面积S=2×2﹣×1×1=,
棱柱的高h=2,
故棱柱的体积V=Sh=7,
故答案为:7;
【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积,其中根据已知的三视图分析出几何体的形状是解答的关键.
14. 已知函数,在上是单调递增函数,则的最小值是( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
15. 下列伪代码输出的结果是 △ .
参考答案:
答案:17
16. 已知a,b,c∈R,且,则的最小值是_______.
参考答案:
17. 的展开式中,常数项是 .
参考答案:
6
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中,抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表(单位:人)
高校
相关人数
抽取人数
A
18
B
36
2
C
54
(1)求.
(2)若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言,求这二人都来自高校C的概率。
参考答案:
(1)由题意可得,所以
(2)记从高校B抽取的2人为从高校C抽取的3人为则从高校抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有
共10种.
设选中的2人都来自高校C的事件为则包含的基本事件有共3种,因此
答:选中的2人都来自高校C的概率为.
19. (本小题满分13分)
设函数,证明:
(Ⅰ)对每个,存在唯一的,满足;
(Ⅱ)对任意,由(Ⅰ)中构成的数列满足。
参考答案:
20. (本小题满分12分)
如图,四棱锥中,底面是直角梯形,,,侧面,△是等边三角形,, ,是线段的中点.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求与平面所成角的正弦值.
参考答案:
(Ⅰ)证明:因为侧面,平面,
所以.
又因为△是等边三角形,是线段的中点,所以.
因为,所以平面.
而平面,所以.…………………………………………5分
(Ⅱ)解:以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
则,,,.
,,.
设为平面的法向量.
由 即
令,可得.………………………9分
设与平面所成的角为.
.
所以与平面所成角的正弦值为. …………………………………12分
21. 已知函数.
(1) 若曲线过点,求曲线在点P处的切线方程:
(2) 求函数在区间上的最大值.
参考答案:
(1)(2) 解析:解:(1)因为点在曲线上,所以,解得.因为,所以切线的斜率为.所以切线方程为
(2)因为
①当时,,,所以函数在上单调递减,则②当,即时,,,所以函数在上单调递增,则
③当,即时,函数在上单调递减,在上单调递增,则,又,,当时,,当时,
④当,即,,,函数在上单调递增,则,综上,
略
22. 若实数满足,求的最小值.
参考答案:
试题分析:利用柯西不等式,得,从而有的最小值
试题解析:解:由柯西不等式,得,
即, …………5分
又因为,所以,
当且仅当,即时取等号.
综上,. …………10分
考点:柯西不等式