四川省达州市高级中学北翎路校区高二数学理模拟试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 5.直线相切于点(2,3),则k的值为( ).
A. 5 B. 6 C. 4 D. 9
参考答案:
D
直线相切于点(2,3),且
2. 函数的定义域是( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
C
3. 命题“?x∈R,使x>1”的否定是( )
A.?x∈R,都有x>1 B.?x∈R,使x<1 C.?x∈R,都有x≤1 D.?x∈R,使x≤1
参考答案:
C
【考点】特称命题;命题的否定.
【专题】计算题.
【分析】根据命题“?x∈R,使得x>1”是特称命题,其否定为全称命题,即?x∈R,使得x≤1,从而得到答案.
【解答】解:∵命题“?x∈R,使得x>1”是特称命题
∴否定命题为:?x∈R,使得x≤1
故选C.
【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词,或者对于“>”的否定用“<”了.这里就有注意量词的否定形式.如“都是”的否定是“不都是”,而不是“都不是”.特称命题的否定是全称命题,“存在”对应“任意”.
4. 在正方体中,下列几种说法正确的是 ( )
A、 B、
C、与成角 D、与成角
参考答案:
略
5. 数列{an}满足a1=1, =,记Sn=ai2ai+12,若Sn≤对任意的n(n∈N*)恒成立,则正整数t的最小值为( )
A.10 B.9 C.8 D.7
参考答案:
C
【考点】数列与不等式的综合.
【专题】转化思想;分析法;等差数列与等比数列;不等式的解法及应用.
【分析】先求出数列{an2}的通项公式,再求Sn,注意运用裂项相消求和,以及不等式的性质,可求正整数t的最小值.
【解答】解:∵a1=1, =,
∴+4=,
∴﹣=4,
∴{}是首项为1,公差为4的等差数列,
∴=4n﹣3,
∴an2=,an2?an+12=?=(﹣),
∴Sn=ai2ai+12=(1﹣+﹣+…+﹣)=(1﹣)<
Sn≤对任意的n(n∈N*)恒成立,即为
t≥30?=7.5,
而t为正整数,所以,tmin=8.
故选C.
【点评】本题考查利用数列的递推式求通项公式及函数的恒成立问题,学会用不等式处理问题.本题对数学思维的要求比较高,要求学生理解“存在”、“恒成立”,属于中档题.
6. 已知角的终边与单位圆交于点,则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【分析】
根据已知角的终边与单位圆交于点,结合三角函数的定义即可得到的值.
【详解】因为角的终边与单位圆交于点,
所以,
所以,
故选B.
【点睛】该题考查是有关已知角终边上一点求其三角函数值的问题,涉及到的知识点有三角函数的定义,属于简单题目.
7. 设函数y=f(x)在(-∞,+ ∞)内有定义,对于给定的正数k,定义函数fk(x)= 设函数f(x)=2+x-ex,若对任意的x∈(-∞,+ ∞)恒有fk(x)=f(x),则( )
A.k的最大值为2 B.k的最小值为2
C.k的最大值为1 D.k的最小值为1
参考答案:
D
略
8. 曲线y=x3﹣2x+1在点(1,0)处的切线方程为( )
A.y=x﹣1 B.y=﹣x+1 C.y=2x﹣2 D.y=﹣2x+2
参考答案:
A
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】欲求在点(1,0)处的切线方程,只须求出其斜率的值即可,故先利用导数求出在x=1处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决.
【解答】解:验证知,点(1,0)在曲线上
∵y=x3﹣2x+1,
y′=3x2﹣2,所以k=y′|x﹣1=1,得切线的斜率为1,所以k=1;
所以曲线y=f(x)在点(1,0)处的切线方程为:
y﹣0=1×(x﹣1),即y=x﹣1.
故选A.
9. 在右图所示的电路中,5只箱子表示保险匣,箱中所示数值表示通
电时保险丝被切断的概率,当开关合上时,电路畅通的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
10. “a<2“是“方程x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圆“的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也必要条件
参考答案:
C
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】根据圆的定义求出“方程x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圆“的充要条件,判断即可.
【解答】解:由x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圆,
即(x﹣1)2+(y+1)2=2﹣a表示圆,
故2﹣a>0,解得:a<2,
故a<2“是“方程x2+y2﹣2x+2y+a=0表示圆“的充要条件,
故选:C.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 两人约定在19∶30至20∶30之间相见,并且先到者必须等迟到者20分钟方可离去,如果两人出发是各自独立的,在19∶30至20∶30各时刻相见的可能性是相等的,那么两人在约定时间内相见的概率为
参考答案:
12. 若样本数据x1,x2,x3…,x10的平均数是10,方差是2,则数据2x1+1,2x2+1,2x3+1,…,2x10+1的平均数与方差分别是 .
参考答案:
21,8.
【考点】极差、方差与标准差.
【专题】概率与统计.
【分析】根据平均数与方差的公式即可求出数据2x1+1,2x2+1,2x3+1,2x10+1的平均数与方差.
【解答】解:∵样本数据x1,x2,x3,x10的平均数是10,方差是2,
∴=(x1+x2+x3+x10)=10,
s2= [+++]=2;
∴数据2x1+1,2x2+1,2x3+1,2x10+1的平均数是
= [(2x1+1)+(2x2+1)+(2x3+1)+(2x10+1)]=2×(x1+x2+x3+x10)+1=21,
方差是s′2={+…+}=22? [+++]=4×2=8.
故答案为:21,8
【点评】本题考查了计算数据的平均数与方差的问题,解题时应根据公式进行计算,也可以利用平均数与方差的性质直接得出答案.
13. 若函数,则
参考答案:
2
14. 已知向量=(1,),=(,1),则与夹角的大小为 .
参考答案:
【考点】9S:数量积表示两个向量的夹角.
【分析】根据已知中向量的坐标,代入向量夹角公式,可得答案.
【解答】解:∵向量=(1,),=(,1),
∴与夹角θ满足:
cosθ===,
又∵θ∈[0,π],
∴θ=,
故答案为:.
15. 展开式中的系数是 .
参考答案:
16. 设,则a的取值范围是 。
参考答案:
a>3
17. 命题: “ ≤ ”的否定为( )
A. B.
C. D.≤
参考答案:
B
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,
,、分别为、的中点.
(1)求二面角的余弦值;
(2)求点到平面的距离.
参考答案:
⑴取中点,连结?.∵,,
∴,.∵平面平面,
平面平面,∴平面,∴.
如图所示建立空间直角坐标系,则,,
,,∴,,
∴,.
设为平面的一个法向量,
则,
取,,,∴.
又为平面的一个法向量,
∴,即二面角的余弦值为.
(2)由⑴得,又为平面的一个法向量,,
∴点到平面的距离.
略
19. 设命题p:f (x)=在区间(1,+∞)上是减函数;
命题q:x1,x2是方程x2-ax-2=0的两个实根,且不等式m2+5m-3≥|x1-x2|对任意的实数a∈[-1,1]恒成立.若p∧q为真,试求实数m的取值范围.
参考答案:
略
20. (本小题满分12分)
复数z=(3m-2)+(m-1)i,m∈R.
(1)m为何值时,z是纯虚数?
(2)m取什么值时,z在复平面内对应的点位于第四象限?
参考答案:
(1)2/3; (2)
21. 已知命题p:实数x满足(x2+1)(x2﹣8x﹣20)≤0,命题q:实数x满足x2﹣2x+(1﹣m2)≤0(m>0).若¬p是¬q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】求出命题的等价条件,利用充分条件和必要条件的定义建立条件关系即可得到结论.
【解答】解:由(x2+1)(x2﹣8x﹣20)≤0得到x2﹣8x﹣20≤0得﹣2≤x≤10,即p:﹣2≤x≤10,
由x2﹣2x+1﹣m2≤0(m>0),得[x﹣(1﹣m)][x﹣(1+m)]≤0(m>0),
即1﹣m≤x≤1+m,
若¬p是¬q的必要不充分条件,
则p是q的充分不必要条件,
则,解得m≥9,
即m的取值范围是m≥9.
22. 已知某几何体的三视图如下图所示,其中俯视图为正三角形,设D为AA1的中点.
(Ⅰ) 作出该几何体的直观图并求其体积;
(Ⅱ) 求证:平面BB1C1C⊥平面BDC1;
(Ⅲ) BC边上是否存在点P,使AP∥平面BDC1?若不存在,说明理由;若存在,证明你的结论.
参考答案:
[解析] 由题意可知该几何体为直三棱柱,且它的直观图如图所示.由图知底面正三角形边长为2,棱柱高为3,
∴S△ABC=,∴V=3.
(2)证明:连结B1C交BC1于E点,则E为B1C、BC1的中点,连结DE.∵AD=A1D,AB=A1C1,∠BAD=∠DA1C1=90°,
∴△ABD≌△A1C1D.∴BD=C1D.∴DE⊥BC1.同理,DE⊥B1C,
又∵B1C∩BC1=E.∴DE⊥平面BB1C1C.又∵DE?平面BDC1,∴平面BB1C1C⊥平面BDC1.
(3)解:取BC的中点P,连结AP,则AP∥平面BDC1,证明:连结PE,则PE∥AD,且PE=AD,∴四边形APED为平行四边形.∴AP∥DE.又DE?平面BDC1,AP?平面BDC1,
∴AP∥平面BDC1.
略