广东省江门市台山第一中学高三数学理测试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 抛物线的焦点坐标是( )
A. B. (0,1) C.(1,0) D.
参考答案:
C
2. 奇函数f(x)在(﹣∞,0)上单调递增,若f(﹣1)=0,则不等式f(x)<0的解集是( )
A.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) B.(﹣∞,﹣1)(∪1,+∞) C.(﹣1,0)∪(0,1) D.(﹣1,0)∪(1,+∞)
参考答案:
A
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【分析】根据题目条件,画出一个函数图象,再观察即得结果.
【解答】解:根据题意,可作出函数图象:
∴不等式f(x)<0的解集是(﹣∞,﹣1)∪(0,1)
故选A.
3. “x>1”是“”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
B
4. 为考察A,B两种药物预防某疾病的效果,进行动物实验,分别得到等高条形图如图所示,根据图中信息,在下列各项中,说法最佳的一项是( )
A. 药物B的预防效果优于药物A的预防效果 B. 药物A、B对该疾病均没有预防效果
C. 药物A、B对该疾病均有显著的预防效果 D. 药物A的预防效果优于药物B的预防效果
参考答案:
D
【分析】
由等高条形图,可得服用A药物的患病人数明显少于服用药物B的人数,服用A药物的未患病人数明显多于服用药物B的人数,即可求解,得到答案.
【详解】由等高条形图知,服用A药物的患病人数明显少于服用药物B的人数,服用A药物的未患病人数明显多于服用药物B的人数,所以药物A的预防效果优于药物B的预防效果,故选D.
【点睛】本题主要考查了等高条形图应用,其中解答中理解、掌握统计图表的含义是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.
5. 设函数,,若的解集为M,的解集为N,当时,则函数的最大值是
A.0 B. C. D.
参考答案:
D
6. 一几何体的三视图如图,其中侧(左)视图和俯视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正(主)视图为直角梯形,则此几何体体积的大小为( )
A.12 B.16 C.48 D.64
参考答案:
B
7. 椭圆C: +y2=1,A(,),B(﹣,﹣),点P是椭圆C上的动点,直线PA、PB的斜率为k1,k2,则k1k2=( )
A.﹣4 B. C.4 D.﹣
参考答案:
D
【考点】椭圆的简单性质.
【分析】设P(m,n),代入椭圆方程,运用直线的斜率公式,化简整理代入,即可得到定值.
【解答】解:设P(m,n),可得m2+4n2=4,
即有m2=4﹣4n2,
又k1=,k2=,
则k1k2=?=
==﹣.
故选:D.
8. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围是( )
A、 B、 C、 D、
参考答案:
C
9. 设x,y满足约束条件,则的取值范围是
A.[-4,1] B. C.(-∞,-3]∪[1,+∞) D.[-3,1]
参考答案:
D
先作可行域,而表示两点P(x,y)与A(-6,-4)连线的斜率,所以的取值范围是,选B.
10. 若m、n是互不重合的直线,是互不重合的平面,给出下列命题:( )
①若;
2007050701
②若;
③若m不垂直于内的无数条直线;
④若.
其中正确命题的序号是
A.①② B.③④ C.②③ D.②④
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. (几何证明选讲选做题)已知⊙O1和⊙O2交于点C和D,⊙O1上的点P处的切线交⊙O2于A、B点,交直线CD于点E,M是⊙O2上的一点,若PE=2,EA=1,,那么⊙O2的半径为 .
参考答案:
略
12. 过双曲线x2-=1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点,若实数λ使得|AB| =λ的直线l恰有3条,则λ= .
参考答案:
4
解:右支内最短的焦点弦==4.又2a=2,故与左、右两支相交的焦点弦长≥2a=2,这样的弦由对称性有两条.故λ=4时
设AB的倾斜角为θ,则右支内的焦点弦λ==≥4,当θ=90°时,λ=4.
与左支相交时,θ=±arccos时,λ===4.故λ=4.
13. 已知,则的
值等于 .
参考答案:
【解析】本小题主要考查对数函数问题。
答案:2008
14. 设O、A、B、C是平面上四点,且,,则______________。
参考答案:
15. 函数在区间上存在一个零点,则实数的取值范围是
参考答案:
当时,函数在上没有零点,所以,所以根据根的存在定理可得,即,所以,解得,所以实数的取值范围是。
16. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 .
参考答案:
17. 三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为________;
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (1)设是公差为d的等差数列,推导公式:若;
(2)若的前n项和,证明当C≠0时,数列不是等差数列.
参考答案:
略
19. (本小题满分16分)
已知离心率为的椭圆的左右焦点分别为是椭圆C的左顶点,且满足.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若M,N是椭圆C上异于A点的两个动点,且满足,问直线MN是否恒过定点?说明理由.
参考答案:
20. (本小题满分11分)
已知等比数列的公比为,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)设该等比数列的前项和为,正整数满足,求出所有符合条件的的值.
参考答案:
【答案解析】(1)(2)m=2,n=1或m=3,n=2 .
解析:(1),由解得或,
或(舍).
.
(2),由得,整理得,由于为偶数,4-m为正数,所以只能是,所以,解得m=2,n=1或m=3,n=2 .
【思路点拨】对于等比数列综合题,一般结合条件利用等比数列的通项公式及前n项和公式直接进行转化求解.
21. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量,向量,且;
(Ⅰ)求角B的大小;
(Ⅱ)设BC中点为D,且AD=;求a+2c的最大值及此时△ABC的面积.
参考答案:
考点:正弦定理.
专题:解三角形.
分析:(Ⅰ)由条件利用两个向量共线的性质、正弦定理、余弦定理可得cosB的值,从而求得B的值.
(Ⅱ)设∠BAD=θ,则在△BAD中,可知,利用正弦定理求得BD、AB的值,可得a+2c的值,再利用正弦函数的定义域和值域求得a+2c的最大值及此时△ABC的面积.
解答: 解:(Ⅰ)因为,故有(a+b)(sinA+sinB)﹣c(sinA﹣sinC)=0,
由正弦定理可得(a﹣b)(a+b)﹣c(a﹣c)=0,即a2+c2﹣b2=ac,
由余弦定理可知,因为B∈(0,π),所以.
(Ⅱ)设∠BAD=θ,则在△BAD中,由可知,
由正弦定理及有,
所以,
所以,
从而,
由可知,所以当,
即时,a+2c的最大值为,
此时,所以S=ac?sinB=.
点评:本题主要考查两个向量共线的性质,正弦定理和余弦定理的应用,正弦函数的定义域和值域,属于中档题.
22. 在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,△ABC是边长为2的正三角形,侧面BB1C1C是矩形,D、E分别是线段BB1、AC1的中点.
(1)求证:DE∥平面A1B1C1;
(2)若平面ABC⊥平面BB1C1C,BB1=4,求三棱锥A﹣DCE的体积.
参考答案:
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定.
【专题】综合题;空间位置关系与距离.
【分析】(1)取棱A1C1的中点F,连接EF、B1F,利用三角形中位线定理,证明四边形DEFB1是平行四边形,从而DE∥B1F,利用线面平行的判定定理即可得出.
(2)过A作AH⊥BC于H,利用VA﹣DCE=VD﹣ACE=,即可得出三棱锥A﹣DCE的体积.
【解答】(1)证明:取棱A1C1的中点F,连接EF、B1F…
则由EF是△AA1C1的中位线得EF∥AA1,EF=AA1
又DB1∥AA1,DB1=AA1…
所以EF∥DB1,EF=DB1…
故四边形DEFB1是平行四边形,从而DE∥B1F…
所以DE∥平面A1B1C1…
(Ⅱ)解:因为E是AC1的中点,所以VA﹣DCE=VD﹣ACE=…
过A作AH⊥BC于H…
因为平面平面ABC⊥平面BB1C1C,所以AH⊥平面BB1C1C,…
所以==…
所以VA﹣DCE=VD﹣ACE==…
【点评】本题考查三棱柱的性质、线面及面面平行与垂直的判定定理及其性质定理、三角形中位线定理、四棱锥的体积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.