山东省临沂市莒南县相邸中学高一数学文模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知y=f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=x(1+x),那么当x<0时,f(x)的解析式是( )
A、x(1+x) B、x(1-x) C、-x(1-x) D、-x(1+x)
参考答案:
B
略
2. 已知非零向量,满足,且与的夹角为30°,则的范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
3. 已知,则①∩B = A, ②∪B = B,③∩B =(2,3)∪(7,10)以上结论正确的有 ( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
参考答案:
D
4. 下列函数中,既是奇函数又存在零点的是( )
A.y=cosx B.y=sinx C.y=lnx D.y=
参考答案:
B
【考点】函数奇偶性的判断;函数零点的判定定理.
【分析】根据函数奇偶性和函数零点的定义和性质进行判断即可.
【解答】解:y=cosx是偶函数,不满足条件.
y=sinx既是奇函数又存在零点,满足条件.
y=lnx的定义域为(0,+∞),为非奇非偶函数,不满足条件.
y=是奇函数,但没有零点,不满足条件.
故选:B.
5. 设m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m∥α,m∥β,则α∥β
C.若m∥n,m⊥α,则n⊥α D.若m∥α,α⊥β,则m⊥β
参考答案:
C
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系;空间中直线与直线之间的位置关系;平面与平面之间的位置关系.
【专题】空间位置关系与距离.
【分析】用直线与平面平行的性质定理判断A的正误;用直线与平面平行的性质定理判断B的正误;用线面垂直的判定定理判断C的正误;通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误.
【解答】解:A、m∥α,n∥α,则m∥n,m与n可能相交也可能异面,所以A不正确;
B、m∥α,m∥β,则α∥β,还有α与β可能相交,所以B不正确;
C、m∥n,m⊥α,则n⊥α,满足直线与平面垂直的性质定理,故C正确.
D、m∥α,α⊥β,则m⊥β,也可能m∥β,也可能m∩β=A,所以D不正确;
故选C.
【点评】本题主要考查线线,线面,面面平行关系及垂直关系的转化,考查空间想象能力能力.
6. 若一个命题的逆命题为真,则 ( )
A.它的逆否命题一定为真 B.它的原命题一定为真
C.它的原命题一定为假 D.它的否命题一定为真
参考答案:
D
7. 下列四组中的,,表示同一个函数的是( ).
A., B.,
C., D.,
参考答案:
D
对于,,定义域为,,定义域是,定义域不同,不是同一函数;
对于,,定义域是,,定义域为,定义域不同,不是同一函数;
对于,,定义域为,,定义域是,定义域不同,不是同一函数;
对于,,定义域是,,定义域是,定义域相同,对应关系也相同,是同一函数.
故选:.
8. 若a=2, b=3, A=30°, 则此△ABC解的情况是( )
A. 一解 B. 两解 C. 至少一解 D. 无解
参考答案:
D
略
9. 定义在R上的奇函数,已知在区间(0,+∞)有3个零点,则函数在R上的零点个数为
A.5 B.6 C.7 D.8
参考答案:
C
二次函数对称轴为,在区间上为减函数,所以
10. 已知是奇函数且对任意正实数则一定正确的是( )
A、 B、C、 D、
参考答案:
D
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题:粮仓开仓收粮,粮农送来米1512石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得216粒内夹谷27粒,则这批米内夹谷约 石.
参考答案:
189
12. 计算: .
参考答案:
4
原式
故答案为4
13. (5分)已知tanα=3,π<α<,则cosα﹣sinα= .
参考答案:
考点: 同角三角函数基本关系的运用.
专题: 三角函数的求值.
分析: 由tanα的值及α的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出cosα与sinα的值,代入原式计算即可.
解答: ∵tanα=3,π<α<,
∴cosα=﹣=﹣,sinα=﹣=﹣,
则cosα﹣sinα=﹣+=,
故答案为:
点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键.
14. 已知函数y=f(x)是R上的偶数,且当x≥0时,f(x)=2x+1,则当x<0时,f(x)=________.
参考答案:
2-x+1
15. 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S,若,则的最大值为_____.
参考答案:
由题得
由题得
所以,当且仅当时取等号.
所以的最大值为,故填
点睛:本题的难在解题思路,第一个难点就是把中的分母化简成,第二个难点
是得到后,如何求tanA的最大值. 转化成利用基本不等式求cosA的最大值.
16.
参考答案:
17. 如果函数在区间上是减函数,那么实数的取值范围是 。
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 求圆心在直线3x+y﹣5=0上,并且经过原点和点(4,0)的圆的方程.
参考答案:
【考点】J8:直线与圆相交的性质.
【分析】由直线和圆相交的性质可得,圆心在点O(0,0)和点A(4,0)的中垂线x=2上,再根据圆心在直线3x+y﹣5=0上,可得圆心C的坐标和半径r=|OC|的值,从而得到所求的圆的方程.
【解答】解:由直线和圆相交的性质可得,圆心在点O(0,0)和点A(4,0)的中垂线x=2上,
再根据圆心在直线3x+y﹣5=0上,可得圆心C的坐标为(2,﹣1),故半径r=|OC|=,
故所求的圆的方程为 (x﹣2)2+(y+1)2=5.
19. 已知四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,ABCD是正方形,E是PA的中点.
(1)求证:PC∥平面EBD;
(2)求证:平面PBC⊥平面PCD.
参考答案:
(1)见解析 (2)见解析
试题分析:(1)连,与交于,利用三角形的中位线,可得线线平行,从而可得线面平行;
(2)证明,即可证得平面平面.
试题解析:(1)连接AC交BD与O,连接EO,
∵E、O分别为PA、AC的中点,
∴EO∥PC,
∵PC?平面EBD,EO?平面EBD
∴PC∥平面EBD
(2)∵PD⊥平面ABCD, BC?平面ABCD,
∴PD⊥BC,∵ABCD为正方形,∴BC⊥CD,
∵PD∩CD=D, PD、CD?平面PCD
∴BC⊥平面PCD,又∵BC?平面PBC,
∴平面PBC⊥平面PCD.
【点睛】本题考查线面平行,考查面面平行,掌握线面平行,面面平行的判定方法是关键.
20. 某厂每月生产一种投影仪的固定成本为万元,但每生产100台,需要加可变成本(即另增加投入)万元,市场对此产品的年需求量为500台,销售的收入函数为(万元),其中是产品售出的数量(单位:百台)。
(1)求月销售利润(万元)关于月产量(百台)的函数解析式;
(2)当月产量为多少时,销售利润可达到最大?最大利润为多少?
参考答案:
解:(1)当时,投影仪能售出百台;
当时,只能售出百台,这时成本为万元。………………2分
依题意可得利润函数为
………………………………………5分
即 。……………………………………………7分
(2)显然,;………………………………………………………………8分
又当时,………………………10分
∴当(百台)时有(万元)
即当月产量为475台时可获得最大利润10.78125万元。……………………13分
21. 已知单调递增的等比数列{an}满足a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若,Sn=b1+b2+…+bn,对任意正整数n,Sn+(n+m)an+1<0恒成立,试求m的取值范围.
参考答案:
(1) (2)
试题分析:(1)将已知条件转化为等比数列的基本量来表示,通过解方程组得到其值,从而确定通项公式;(2)将数列{an}的通项公式代入可求得,根据特点采用错位相减法求得前n项和,代入不等式Sn+(n+m)an+1<0,通过分离参数的方法求得m的取值范围
试题解析:(1)设等比数列的首项为,公比为,依题意,有,代入
可得,解得或,又数列单调递增,数列的通项公式为
(2)∵bn=2n·=-n·2n,
∴-Sn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,①
-2Sn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1.②
①-②,得Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1=-n·2n+1=2n+1-n·2n+1-2.
∵Sn+(n+m)an+1<0,∴2n+1-n·2n+1-2+n·2n+1+m·2n+1<0对任意正整数n恒成立.
∴m·2n+1<2-2n+1对任意正整数n恒成立,即m<-1恒成立.
∵-1>-1,∴m≤-1,即m的取值范围是(-∞,-1].
考点:1.等比数列求和公式;2.错位相减法求和;3.不等式恒成立问题
22. (本小题满分12分)求分别满足下列条件的直线方程:
(Ⅰ)经过直线和的交点且与直线平行;
(Ⅱ)与直线:垂直且与坐标轴围成的三角形面积为.
参考答案:
(Ⅰ)将与联立方程组解得交点坐标为.
由所求直线与直线平行,得所求直线斜率为:,
从而所求直线方程为: ………6分
(Ⅱ)设所求直线方程为,令得,令得,
则,解得
从而所求直线方程为: ………12分