2022年山西省晋城市高平三甲中学高一数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是
A.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
B.“至少有一个黑球”与“至少有—个红球”
C.“至少有—个黑球”与“都是红球”
D.“至多有一个黑球”与“都是黑球”
参考答案:
A
略
2. 式子的值为( )
A. B.4 C. 7 D.3
参考答案:
D
3. (5分)下列四个数中最小者是()
A. log3 B. log32 C. log23 D. log3(log23)
参考答案:
A
考点: 对数值大小的比较.
专题: 函数的性质及应用.
分析: 利用对数函数的单调性求解.
解答: 解:∵0=log31<<=<log32<log33=1,
=<log23<log24=2,
∴<log3(log23)<log32<log23.
∴四个数中最小的是.
故选:A.
点评: 本题考查四个数中的最小者的求法,是基础题,解题时要注意对数函数的性质的合理运用.
4. 已知函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时, (m为常数),则f(-1)的值为( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
参考答案:
A
5. 函数(其中)的图象如图所示,为了得到的图像,则只要将的图像( )
A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
参考答案:
A
略
6. 已知,,且,则向量与夹角的大小为( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【分析】
可知,,由向量夹角的公式求解即可
【详解】可知,,,所以夹角为,故选C.
【点睛】本题考查向量的模的定义和向量夹角的计算公式.
7. 在△ABC中,,,,则B等于( )
A. 45°或135° B. 135° C. 45° D. 以上答案都不对
参考答案:
C
试题分析:由正弦定理得,得,结合得,故选C.
考点:正弦定理.
8. 若实数a,b满足则的最小值是 ( )
A. 18 B. 6 C. D.
参考答案:
C
试题分析:若则,当且仅当时取等号.故选B.
9. (5分)已知角α的终边过点(﹣3,4),则cosα=()
A. B. C. D.
参考答案:
C
考点: 任意角的三角函数的定义.
专题: 计算题.
分析: 先计算,再利用三角函数的定义,即可求得cosα.
解答: 由题意,
∴
故选C.
点评: 本题的考点是任意角的三角函数的定义,考查三角函数定义的运用,属于基础题.
10. 已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=x2+|x|-1,那么x<0时,f(x)的解析式为f(x)=( )
A.x2-|x|+1 B.-x2+|x|+1
C.-x2-|x|-1 D.-x2-|x|+1
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知向量=(3,1),=(1,3),=(t,2),若(﹣)⊥,则实数t的值为 .
参考答案:
0
【考点】9T:数量积判断两个平面向量的垂直关系.
【分析】由已知可知=0,然后结合向量的数量积的坐标表示可求t
【解答】解:∵ =(3,1),=(1,3),=(t,2),
∴=(3﹣t,﹣1)
∵(﹣)⊥
∴=3﹣t﹣3=0
∴t=0
故答案为:0
12. 设是定义在R上的奇函数,且当时,.若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是 .
参考答案:
略
13. 已知cos31°=a,则sin239°的值为 .
参考答案:
﹣a
【考点】运用诱导公式化简求值.
【分析】利用诱导公式,把要求的式子化为﹣cos31°,即可计算得解.
【解答】解:∵cos31°=a,
∴sin239°=sin=﹣cos31°=﹣a.
故答案为:﹣a.
14. y=loga(x+2)+3过定点 ;y=ax+2+3过定点 .
参考答案:
(﹣1,3); (﹣2,4).
【考点】对数函数的单调性与特殊点.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】由对数定义知,函数y=logax图象过定点(1,0),故可令x+2=1求此对数型函数图象过的定点.由指数定义知,函数y=ax图象过定点(0,1),故可令x+2=0求此对数型函数图象过的定点.
【解答】解:由对数函数的定义,
令x+2=1,此时y=3,
解得x=﹣1,
故函数y=loga(x+2)的图象恒过定点(﹣1,3),
由指数函数的定义,
令x+2=0,此时y=4,
解得x=﹣2,
故函数y=ax+2+3的图象恒过定点(﹣2,4),
故答案为(﹣1,3),(﹣2,4)
【点评】本题考点是对数函数和指数函数的单调性与特殊点,考查对数函数和指数函数恒过定点的问题,属于基础题.
15. 已知函数的图象如右图所示,则此函数的定义域是
________,值域是_______.
参考答案:
,
由图像可知;
16. 一枚硬币连掷两次,出现一次正面的概率为_________ ;
参考答案:
17. 若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是 .
参考答案:
18
【考点】基本不等式.
【分析】首先左边是xy的形式右边是2x+y和常数的和的形式,考虑把右边也转化成xy的形式,使形式统一.可以猜想到应用基本不等式.转化后变成关于xy的方程,可把xy看成整体换元后求最小值.
【解答】解:由条件利用基本不等式可得,
令xy=t2,即 t=>0,可得.
即得到可解得.
又注意到t>0,故解为,
所以xy≥18.
故答案应为18.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
(Ⅰ)求在上的单调递增区间;
(Ⅱ)设函数,求的值域.
参考答案:
解:(Ⅰ),…………… 2分
, …………4分
; …………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,,……7分
设,当时,,
则, ………………9分
由二次函数的单调性可知,,
又, ………………11分
则函数的值域为. ……………12分
略
19. 设函数的定义域是,且对任意都有.
若对常数,,判断在上的单调性;
参考答案:
解析:(1)对任意,由,存在使得且,又,
,在上是增函数.
20. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且,在等比数列{bn}中,.
(1)求an及bn;
(2)设数列的前n项和为Tn,求Tn.
参考答案:
(1)设的公差为,则由题有,∴.
∵在等比数列中,,∴的公比为,∴,即.
(2)由(1)知,,∴.
∴,
,
∴,即
21. 设三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=asinB,A为锐角
(1)若a=3,b=,求角B;
(2)若S△ABC=,b+c=3,b>c,求b,c.
参考答案:
【考点】HP:正弦定理;HR:余弦定理.
【分析】(1)将a,b代入条件式计算得出B,根据a>b可知B为锐角,从而得出B;
(2)利用正弦定理将边化角,得出sinA,利用面积公式得出bc,结合b+c=3,解方程组得出b,c.
【解答】解:(1)∵b=asinB,∴=,∴sinB=,
∵A是锐角,a>b,∴B.
∴B=.
(2)∵b=asinB,∴sinB=sinAsinB,∴sinA=,
∵A是锐角,∴A=.
∵S△ABC===,∴bc=2.
又b+c=3,b>c,∴b=2,c=1.
22. 已知函数的图象过点,当时,的最大值为
.
(1)求的解析式;
(2)由的图象是否可以经过平移变换得到一个奇函数的图象?并说明理由.
参考答案:
(1);(2)向上平移个单位,向右平移个单位,得到,是一个奇函数.
考点:三角函数的解析式;三角函数的图象及性质.