广东省湛江市林屋中学2022-2023学年高三数学理联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数在x=1处的切线方程为,则实数等于
A 1 B -1 C-2 D 3
参考答案:
B
2. 已知集合,则( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
由已知条件可得。故应选A。本题考查了集合的交集运算及函数的值域问题,要注意集合中的自变量的取值范围,确定其各自的值域。
3. 某钢铁企业生产甲乙两种毛坯,已知生产每吨甲毛坯要用A原料3吨,B原料2吨;生产每吨乙毛坯要用A原料1吨,B原料3吨。每吨甲毛坯的利润是5万元,每吨乙毛坯的利润是3万元,现A原料13吨,B原料18吨,则该企业可获得的最大利润是
A 27万元 B. 29万元 C. 20万元 D. 12万元
参考答案:
A
略
4. 已知是圆外一点,则直线与该圆的位置关系是 ( )
A.相切 B.相交 C.相离 D.相切或相交
参考答案:
【知识点】直线与圆的位置关系.H4
【答案解析】B 解析:∵点M(x0,y0)是圆x2+y2=a2 (a>0)外一点,∴+>a2.
圆心O到直线x0x+y0y=a2与的距离为 d=<=a(半径),
故直线和圆相交,故选B.
【思路点拨】由题意可得 +>a2,圆心O到直线x0x+y0y=a2与的距离为 d,根据d小于半径,可得直线和圆相交.
5. 我国古代名著《庄子天下篇》中有一句名言“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,其意思为:一尺的木棍,每天截取一半,永远都截不完.现将该木棍依此规律截取,如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位:尺),则①②③处可分别填入的是( )
A. B.
C D.
参考答案:
B
【分析】
分析程序中各变量的作用,再根据流程图所示的顺序,可得该程序的作用是累加并输出的值,由此可得到结论.
【详解】由题意,执行程序框图,可得:
第1次循环:;
第2次循环:;
第3次循环:;
依次类推,第7次循环:,
此时不满足条件,推出循环,
其中判断框①应填入的条件为:,
执行框②应填入:,③应填入:.
故选:B.
【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,其中解答中正确理解程序框图的含义是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.
6. 命题“”的否定为
A、 B、
C、 D、
参考答案:
B
略
7. 已知点M(x,y)是圆的内部任意一点,则点M满足y≥x的概率是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
8. 已知,则( )
A.2 B. C.3 D.
参考答案:
解:选C.
9. 在(1+x3)(1﹣x)8的展开式中,x5的系数是( )
A.﹣28 B.﹣84 C.28 D.84
参考答案:
A
【考点】二项式定理的应用.
【分析】利用二项式定理的通项公式求解即可.
【解答】解:由(1+x3)展开可知含有x3与(1﹣x)8展开的x2可得x5的系数;
由(1+x3)展开可知常数项与(1﹣x)8展开的x5,同样可得x5的系数;
∴含x5的项: +=28x5﹣56x5=﹣28x5;
∴x5的系数为﹣28,
故选A
【点评】本题主要考查二项式定理的应用,求展开式的系数把含有x5的项找到.从而可以利用通项求解.属于中档题
10. 已知P是△ABC内一点,且满足2+3+4=,那么S△PBC:SPCA:S△PAB等于( )
A.4:3:2 B.2:3:4 C.:: D.::
参考答案:
B
【考点】正弦定理.
【分析】由已知得.延长PB到B1,使得,延长PC到C1,使得,则P是△PB1C1的重心,设=3S,则=S,由此能求出S△PBC:S△PCA:S△PAB的值.
【解答】解:∵P是△ABC内一点,且满足2+3+4=,
∴.
延长PB到B1,使得,延长PC到C1,使得,
连结PB1、PC1、B1C1,则.
∴P是△PB1C1的重心,
设=3S,则=S,
,
S△PCA=,S△PAB=,
∴S△PBC:S△PCA:S△PAB==2:3:4.
故选:B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,a=1,b=,B=60°,则c= 。
参考答案:
2
12. 设函数,则不等式的解为 .
参考答案:
13. 已知圆截直线所得的弦的长度为为,则
参考答案:
2或6
【考点】直线与圆的位置关系圆的标准方程与一般方程
【试题解析】
由题知:圆心(a,0),半径为2.
圆心到直线的距离为
又因为圆截直线所得的弦的长度为为,
所以或
14. 已知数列{an}满足an+1=an﹣an﹣1(n≥2),a1=1,a2=3,记Sn=a1+a2+…+an.则a3= ,S2015= .
参考答案:
2,2.
【考点】数列的求和;数列递推式.
【分析】由an+1=an﹣an﹣1(n≥2)可推得该数列的周期为6,易求该数列的前6项,由此可求得答案.
【解答】解:由an+1=an﹣an﹣1(n≥2),得
an+6=an+5﹣an+4=an+4﹣an+3﹣an+4=﹣an+3=﹣(an+2﹣an+1)=﹣(an+1﹣an﹣an+1)=an,
所以6为数列{an}的周期,
又a3=a2﹣a1=3﹣1=2,a4=a3﹣a2=2﹣3=﹣1,a5=a4﹣a3=﹣1﹣2=﹣3,a6=a5﹣a4=﹣3﹣(﹣1)=﹣2,
∴a1+a2+a3+a4+a5+a6=1+3+2﹣1﹣3﹣2=0,
∵2015=335×6+5,
S2015=335×0+(1+3+2﹣1﹣3)=2,
故答案为:2,2.
【点评】本题考查求数列的通项及前n项和公式,注意解题方法的积累,找出数列的周期是解决本题的关键,属于中档题.
15. 已知圆与圆 相交于 两点,且满足 ,则 ▲ .
参考答案:
两圆公共弦所在直线方程为,设其中一圆的圆心为.∵,∴,∴,得.
16. 函数y=1﹣sin2()的最小正周期是 .
参考答案:
π
【考点】三角函数的周期性及其求法.
【分析】先对原函数进行化简为:y=Asin(ωx+φ),然后根据周期的求法可解题.
【解答】解:∵y=1﹣sin2()=+cos(2x+)
∴T==π
故答案为:π
【点评】本题主要考查三角函数的周期性及其求法.这种题型先要把函数化简为:y=Asin(ωx+φ)这种形式,然后解题.
17. 函数的定义域是 ,单调递减区间是________________________.
参考答案:
(-∞,0)∪(2,+∞), (2,+∞)
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 设极坐标与直角坐标系xOy有相同的长度单位,原点O为极点,x轴坐标轴为极轴,曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ+3=0,曲线C2的参数方程为(t是参数,m是常数).
(Ⅰ)求C1的直角坐标方程和C2的普通方程;
(Ⅱ)若C1与C2有两个不同的公共点,求m的取值范围.
参考答案:
【考点】参数方程化成普通方程.
【专题】选作题;数形结合;转化思想;坐标系和参数方程.
【分析】(I)曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ+3=0,即ρ2(cos2θ﹣sin2θ)+3=0,利用可得直角坐标方程.曲线C2的参数方程为(t是参数,m是常数),消去参数t可得普通方程.
(II)把x=2y+m代入双曲线方程可得:3y2+4my+m2+3=0,由于C1与C2有两个不同的公共点,△>0,可解得m的取值范围.
【解答】解:(I)曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ+3=0,即ρ2(cos2θ﹣sin2θ)+3=0,可得直角坐标方程:x2﹣y2+3=0.
曲线C2的参数方程为(t是参数,m是常数),消去参数t可得普通方程:x﹣2y﹣m=0.
(II)把x=2y+m代入双曲线方程可得:3y2+4my+m2+3=0,由于C1与C2有两个不同的公共点,
∴△=16m2﹣12(m2+3)>0,解得m<﹣3或m>3,
∴m<﹣3或m>3.
【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与双曲线的位置关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
19. 已知是等差数列,公差为,首项,前项和为.令,的前项和.数列满足,.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若,,求的取值范围.
参考答案:
解: (Ⅰ)设等差数列的公差为,因为
所以
则 ……………………………………………………………3分
则 解得
所以 ………………………………………………………………7分
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知
由 …………………………11分
因为随着的增大而增大,所以时,最小值为
所以…………………………………………………………………………………14分
略
20. 已知函数,曲线在点处的切线方程为.
(1) 的值;
(2)讨论的单调性,并求的极大值.
参考答案:
;,递增,递减;极大值为
21. (12分)
已知椭圆C:,四点,,,中恰有三点在椭圆C上.
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A、B两点,若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点.
参考答案:
(1)根据椭圆对称性,必过、
又横坐标为1,椭圆必不过,所以过三点
将代入椭圆方程得
,解得,
∴椭圆的方程为:.
(2)当斜率不存在时,设
得,此时过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足.
当斜率存在时,设
联立,整理得
,
则
又
,此时,存在使得成立.
∴直线的方程为
当时,
所以过定点.
22. 已知{an}是各项均为正数的等比数列,a11=8,设bn=log2an,且b4=17.
(Ⅰ)求证:数列{bn}是以﹣2为公差的等差数列;
(Ⅱ)设数列{bn}的前n项和为Sn,求Sn的最大值.
参考答案:
【考点】等差数列与等比数列的综合.
【分析】(Ⅰ)利用等比数列以及对数的运算法则,转化证明数列{bn}是以﹣2为公差的等差数列;
(Ⅱ)求出数列的和,利用二次函数的性质求解最大值即可.
【解答】(本小题共13分)
解:(Ⅰ)证明:设等比数列{an}的公比为q,
则bn+1﹣bn=log2an+1﹣log2an==log2q,
因此数列{bn}是等差数列.
又b11=log2a11=3,b4=17,
又等差数列{bn}的公差,
即bn=25﹣2n.即数列{bn}是以﹣2为公差的等差数列.…
(Ⅱ)设等差数列{bn}的前n项和为Sn,
则n==(24﹣n)n=﹣(n﹣12)2+144,
于是当n=12时,Sn有最大值,最大值为144.…