福建省莆田市职业中学高一数学文月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 某地区有300家商店,其中大型商店有30家,中型商店有75家,小型商店有195家,为了掌握各商店的营业情况,要从中抽取一个容量为20的样本,若采用分层抽样的方法,抽取的中型商店数是( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 13
参考答案:
C
2. 下列所给4个图像中,与所给3件事吻合最好的顺序为
①我离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是立刻返回家里取了作业本再上学;
②我骑着车一路以常速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间;
③我出发后,心情轻松,缓缓行进,后来为了赶时间开始加速。
A.(1)(2)(4) B.(4)(2)(3)
C.(4)(1)(2) D.(4)(1)(3)
参考答案:
C
略
3. 如图,在长方体中,,则二面角的大小为:
A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°
参考答案:
D
4. 已知函数f(x)、g(x)都是R上的奇函数,不等式f(x)>0、g(x)>0的解集分别为(m,n)、,则不等式f(x)·g(x)>0的解集是( )
参考答案:
D
本题主要考查函数的性质及不等式的解集的知识.由已知得函数f(x)·g(x)为偶函数,偶函数的图象关于y轴对称,结合选项知只有D符合,故选D.
5. 同时具有以下性质:“①最小正周期是π;②图象关于直线x=对称;③在[-]上是增函数”的一个函数是 ( )
A. y=sin() B. y=cos()
C. y=sin() D. y=cos()
参考答案:
C
略
6. 已知点,,则直线的倾斜角是( )
A. B. C. D. 不存在
参考答案:
A
7. 若方程只有一解,则a的取值范围是
A B C D
参考答案:
B
8. 函数的零点所在的一个区间是( )
A. B. C. D.(1,2)
参考答案:
C
略
9. 已知正项数列满足: ,设数列的前项的和,则的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
10. 已知空间中点A(x,1,2)和点B(2,3,4),且,则实数x的值是( )
A.4或0 B.4 C.3或-4 D.-3或4
参考答案:
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设是由正数组成的等差数列,是其前n项和.
(1)若;
(2)已知互不相等的正整数,满足p+q=2m.证明: ;
(3)是否存在常数和等差数列,使恒成立(n∈N*)?若存在, 试求出常数和数列的通项公式;若不存在,请说明理由.
参考答案:
(基本量法也可行)
(也可用基本不等式直接证).
略
12. 边长为的正三角形,用斜二测画法得到其直观图,则该直观图的面积为_________.
参考答案:
13. 函数f(x)在(﹣1,1)上是奇函数,且在区间(﹣1,1)上是增函数,f(1﹣t)+f(﹣t)<0,则t的取值范围是 .
参考答案:
(,1)
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】不等式f(1﹣t)+f(﹣t)<0转化为f(1﹣t)<﹣f(﹣t),利用奇函数性质化为f(1﹣t)<f(t),然后利用单调性得出不等式组,解得答案.
【解答】解:∵f(1﹣t)+f(﹣t)<0
∴f(1﹣t)<﹣f(﹣t)
∵f(x)在(﹣1,1)上是奇函数
∴f(﹣t)=﹣f(t).
∴f(1﹣t)<f(t).
∵f(x)在区间(﹣1,1)上是增函数,
∴,解得<t<1.
故答案为(,1).
【点评】本题考查了函数奇偶性的性质和利用函数单调性解决函数不等式,是基础题.
14. 函数f(x)=log0.5(3x2-ax+5)在(-1,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是________.
参考答案:
[-8,-6]
15. 正项数列{an},a1=1,前n项和Sn满足,则sn= .
参考答案:
【考点】8E:数列的求和.
【分析】正项数列{an},a1=1,前n项和Sn满足,可得:﹣=2,利用等差数列的通项公式即可得出.
【解答】解:∵正项数列{an},a1=1,前n项和Sn满足,
∴﹣=2,
∴数列是等差数列,首项为1,公差为2.
∴=1+2(n﹣1)=2n﹣1.
∴Sn=.
故答案为:.
16. 函数f(x)=1+ax﹣2(a>0,且a≠1)恒过定点 .
参考答案:
(2,2)
【考点】指数函数的单调性与特殊点.
【专题】方程思想;数学模型法;函数的性质及应用.
【分析】根据指数函数的性质进行求解即可.
【解答】解:由x﹣2=0得x=2,此时f(2)=1+a0=1+1=2,
即函数过定点(2,2),
故答案为:(2,2)
【点评】本题主要考查指数函数过定点问题,利用指数幂等于0是解决本题的关键.
17. 已知两条不同直线、,两个不同平面、,给出下列命题:
①若垂直于内的两条相交直线,则⊥;
②若∥,则平行于内的所有直线;
③若,且∥,则∥;
④若,,则⊥;
其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)
参考答案:
①④
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知函数f(x)=,
(1)求f(2)+f(),f(3)+f()的值;
(2)求证f(x)+f()是定值.
参考答案:
【考点】函数的值.
【分析】(1)利用函数表达式,能求出f(2)+f(),f(3)+f()的值.
(2)由f(x)=,利用函数性质能证明f(x)+f()是定值1.
【解答】解:(1)∵函数f(x)=,
∴f(2)+f()===1,
f(3)+f()===1.
证明:(2)∵f(x)=,
∴f(x)+f()===1.
∴f(x)+f()是定值1.
19. 数列{an}中,,(p为常数).
(1)若,,成等差数列,求p的值;
(2)是否存在p,使得{an}为等比数列?并说明理由.
参考答案:
(1)p=1;(2)存在实数,使得{an}为等比数列
【分析】
(1)由已知求得a2,a4,再由-a1,,a4成等差数列列式求p的值;
(2)假设存在p,使得{an}为等比数列,可得,求解p值,验证得答案.
【详解】(1)由a1=2,,得,,
则,,
,.
由,,a4成等差数列,得a2=a4-a1,
即,解得:p=1;
(2)假设存在p,使得{an}为等比数列,
则,即,则2p=p+2,即p=2.
此时,
,∴,
而,又,所以,
而,且,
∴存在实数,使得{an}为以2为首项,以2为公比等比数列.
【点睛】本题考查数列递推式,考查等差数列与等比数列的性质,是中档题.
20. (本题满分13分) 已知函数
(Ⅰ)若的定义域和值域均是,求实数的值;
(Ⅱ)若在区间上是减函数,且对任意的,都有,求实数的取值范围;
(Ⅲ)若,且对任意的,都存在,使得成立,求实数的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)∵
∴在上单调递减,又,∴在上单调递减,
∴, ∴, ∴ 4分
(Ⅱ)∵在区间上是减函数, ∴ ∴
∴,
∴时,
又∵对任意的,都有,
∴, 即 , ∴ 8分
(Ⅲ)∵在上递增,在上递减,
当时,,
∵对任意的,都存在,使得成立;
∴
∴ 13分
21. (1)已知,求.
(2)若,求的值.
参考答案:
(1) (2)1
【分析】
(1)先利用诱导公式把等式进行化简,代入进行求解;
(2)可以把分母看成,再利用弦化切进行求解.
【详解】(1)用诱导公式化简等式可得
,代入可得.
故答案为;
(2)原式可化为:
把代入得
故答案为1.
【点睛】遇到复杂的三角方程时,首先应该考虑使用诱导公式进行化简,再将数据代入,求出结果;切化弦和弦化切都是我们常用的运算方法,在计算时要灵活应用三角函数的隐藏条件,如等.
22. (本小题满分12分)
求圆心在直线上,并且经过点,与直线相切的圆的方程。
参考答案:
因为点在直线上,所以经过点,与直线相切的圆的圆心在经过点且与直线垂直的直线上,该直线方程是
由已知所求圆的圆心在直线上,解方程组得
所以圆心的坐标为又因为
所以所求圆的方程为