云南省曲靖市沾益县沾益乡龙华中学2022年高三数学理下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知,那么的值是( )
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
A
略
2. 定义运算:,则的值是( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
3. (5分)复数等于( )
A. B. ﹣ C. i D. ﹣i
参考答案:
D
【考点】: 复数代数形式的混合运算.
【分析】: 直接化简分母,然后分子、分母同乘分母的共轭复数并化简.
解:=,
故选D
【点评】: 复数代数形式的运算,是基础题目.
4. 已知函数(α∈[0,2π))是奇函数,则α=( )
A.0 B. C.π D.
参考答案:
D
【考点】函数奇偶性的性质.
【分析】根据奇函数的性质建立关系式求解.
【解答】解:由题意可知,函数f(x)是奇函数,即f(﹣x)+f(x)=0,
不妨设x<0,则﹣x>0.
则有:f(x)=﹣x2+cos(x+α),
f(﹣x)=x2﹣sinx
那么:﹣x2+cos(x+α)+x2﹣sinx=0
解得:(k∈Z)
∵α∈[0,2π)
∴α=
故选:D.
5. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A. 12π+15 B. 13π+12 C. 18π+12 D. 21π+15
参考答案:
C
6. 若= ,是第三象限的角,则= ( )
(A)- (B) (C) (D)
参考答案:
A
7. 执行如图所示的程序框图,如果输入的n=2017,则输出的S=( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
若,其前项和为.研究程序框图可知,当时,还要循环一次,,,判断是,退出程序,输出
8. 若函数的图象关于点对称,则函数的最大值等于( )
A.1 B. C.2 D.
参考答案:
B
9. 若向量=(1,1),=(2,5),=(3,x)满足条件(8—)·=30,则x=( )
A.6 B.5 C.4 D.3
参考答案:
C
略
10. 下列命题错误的是( )
A.命题若的逆否命题为“若,则”
B.若为假命题,则,均为假命题
C.对于命题存在,使得,则为:任意,均有
D.的充分不必要条件
参考答案:
B
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 函数为增函数的区间是________,
参考答案:
12. 已知,则= 。
参考答案:
4
13. 连续掷两次骰子,以先后得到的点数m、n为点P(m,n)的坐标,那么点P在圆x2+y2=17外部的概率应为__.
参考答案:
略
14. 已知正四棱锥S﹣ABCD中,SA=2,那么当该棱锥的体积最大时,它的高为 .
参考答案:
2
【考点】6K:导数在最大值、最小值问题中的应用;LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;MK:点、线、面间的距离计算.
【分析】设出底面边长,求出正四棱锥的高,写出体积表达式,利用求导求得最大值时,高的值.
【解答】解:设底面边长为a,则高h==,所以体积V=a2h=,
设y=12a4﹣a6,则y′=48a3﹣3a5,当y取最值时,y′=48a3﹣3a5=0,解得a=0或a=4时,当a=4时,体积最大,
此时h==2,
故答案为:2.
15. 设是定义在上的偶函数,对任意的,都有,且当时,,若关于的方程在区间内恰有三个不同实根,则实数的取值范围是 .
参考答案:
略
16. 某学校初中部共120名教师,高中部共180名教师,其性别比例如图所示,已知按分层抽样方法得到的工会代表中,高中部女教师有6人,则工会代表中男教师的总人数为________.
参考答案:
12
∵高中部女教师与高中部男教师比例为2:3,
按分层抽样方法得到的工会代表中,高中部女教师有6人,则男教师有9人,
工会代表中高中部教师共有15人,又初中部与高中部总人数比例为2:3,
工会代表中初中部教师人数与高中部教师人数比例为2:3,
工会代表中初中部教师总人数为10,又∵初中部女教师与高中部男教师比例为7:3,
工会代表中初中部男教师的总人数为10×30%=3;
∴工会代表中男教师的总人数为9+3=12,
故答案为12.
17. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数l,3,6,10,…,第n个三角形数为.记第n个边形数为,(k≥3),
以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:
三角形数 ,
正方形数
五边形数
六边形数
……
可以推测的表达式,由此计算 。
参考答案:
1000
将已知的列表式做如下转化,三角形数:;正方形数;五边形数:;六边形数:;可以推测:.所以
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18.
参考答案:
(I) 函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数(II) 解析:解:(Ⅰ)若k=﹣2,f(x)=﹣2ex﹣x2,则f'(x)=﹣2ex﹣2x,
当x∈(0,+∞)时,f′(x)=﹣2ex﹣2x<0,
故函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.
(Ⅱ)函数f(x)有两个极值点x1,x2,则x1,x2是f′(x)=kex﹣2x=0的两个根,
即方程有两个根,设,则,
当x<0时,φ′(x)>0,函数φ(x)单调递增且φ(x)<0;
当0<x<1时,φ′(x)>0,函数φ(x)单调递增且φ(x)>0;
当x>1时,φ′(x)<0,函数φ(x)单调递减且φ(x)>0.
要使有两个根,只需,
故实数k的取值范围是.
(Ⅲ)由(Ⅱ)的解法可知,函数f(x)的两个极值点x1,x2满足0<x1<1<x2,
由,得,
所以,
由于x1∈(0,1),故,
所以0<f(x1)<1.
略
19. 在某校高三学生的数学校本课程选课过程中,规定每位同学只能选一个科目.已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙,情况如下表:
科目甲
科目乙
总计
第一小组
1
5
6
第二小组
2
4
6
总计
3
9
12
现从第一小组、第二小组中各任选2人分析选课情况.
(1)求选出的4 人均选科目乙的概率;
(2)设为选出的4个人中选科目甲的人数,求的分布列和数学期望.
参考答案:
解:(1)设“从第一小组选出的2人选科目乙”为事件,
“从第二小组选出的2人选科目乙””为事件.由于事 件、相互独立,
且, 2分
所以选出的4人均选科目乙的概率为
5分
(2)设可能的取值为0,1,2,3.得
, ,,
8分
的分布列为
∴的数学期望 12分
略
20. 已知函数f(x)=|x﹣1|.
(1)解不等式f(x)+f(x+4)≥8;
(2)若|a|<1,|b|<1,且a≠0,求证:f(ab)>|a|f().
参考答案:
【考点】: 绝对值不等式的解法;不等式的证明.
【专题】: 不等式的解法及应用.
【分析】: (Ⅰ)根据f(x)+f(x+4)=|x﹣1|+|x+3|=,分类讨论求得不等式f(x)+f(x+4)≥8的解集.
(Ⅱ)要证的不等式即|ab﹣1|>|a﹣b|,根据|a|<1,|b|<1,可得|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2 >0,从而得到所证不等式成立.
解:(Ⅰ)f(x)+f(x+4)=|x﹣1|+|x+3|=,
当x<﹣3时,由﹣2x﹣2≥8,解得x≤﹣5;
当﹣3≤x≤1时,f(x)≤8不成立;
当x>1时,由2x+2≥8,解得x≥3.
所以,不等式f(x)≤4的解集为{x|x≤﹣5,或x≥3}.
(Ⅱ)f(ab)>|a|f(),即|ab﹣1|>|a﹣b|.
因为|a|<1,|b|<1,
所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=(a2b2﹣2ab+1)﹣(a2﹣2ab+b2)=(a2﹣1)(b2﹣1)>0,
所以|ab﹣1|>|a﹣b|,故所证不等式成立.
【点评】: 本题主要考查绝对值不等式的解法,体现了等价转化和分类讨论的数学思想,属于中档题.
21. 已知函数,.
(Ⅰ)证明:,直线都不是曲线的切线;
(Ⅱ)若,使成立,求实数的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)见解析; (Ⅱ).
试题分析:(Ⅰ)设出切点,分别用函数的导数值和直线的两点表示斜率,得方程,发现方程的解为,与定义域矛盾;
(Ⅱ)原问题转化为,令,, 则,使成立,讨论函数的最小值即可.
(Ⅱ)即,令,,
则,使成立,
,
(1)当时,,在上为减函数,于是 ,
由得,满足,所以符合题意;
(2)当时,由及的单调性知 在上为增函数,所以,即,
①若,即,则,所以在上为增函数,于是
,不合题意;
②若,即则由,及的单调性知存在唯一,使,且当时,,为减函数;当时,,为增函数;
所以 ,由得 ,这与矛盾,不合题意.
综上可知,的取值范围是.
【方法点睛】利用导数解决不等式有解问题的“两种”常用方法
(1)分离参数法:将原不等式分离参数,转化为不含参数的函数的最值问题,利用导数求该函数的最值,根据要求得所求范围.一般地,恒成立,只需即可;恒成立,只需即可.(2)函数思想法:将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题,利用导数求该函数的极值(最值),然后构建不等式求解.
22. 已知F1,F2是椭圆C+=1的左,右焦点,以线段F1F2为直径的圆与圆C关于直线x+y﹣2=0对称.
(l)求圆C的方程;
(2)过点P(m,0)作圆C的切线,求切线长的最小值以及相应的点P的坐标.
参考答案:
考点:椭圆的简单性质;圆的标准方程;直线与圆的位置关系.
专题:直线与圆.
分析:(1)关键是求出以线段F1F2为直径的圆的圆心关于直线x+y﹣2=0对称的点即圆C的圆心,半径是=1;
(2)切线、圆半径、点P与圆心的连线,他们构成的直角三角形,切线最小及点P到圆心的距离最小.
解答: 解:(1)由题意知,F1(﹣1,0),F2(1,0),线段F1F2的中点坐标为原点.
设点0关于直线x+y﹣2=0对称的点C坐标为((x0,y0),则,
,
解得,即C(2,2),
半径为=1,
所以圆C的方程为:(x﹣2)2+(y﹣2)2=1;
(2)切线长:,
当|PC|最小时,切线长取得最小值,
当PC垂直于x轴,及点P位于(2,0)处时,|PC|min=2,
此时切线长取最小值.
点评:本题主要考查圆的对称问题,圆的切线问题.