天津路华中学2022年高一数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知命题p:关于x的函数y=x2﹣3ax+4在[1,+∞)上是增函数,命题q:y=(2a﹣1)x为减函数,若p且q为真命题,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
参考答案:
C
【考点】4C:指数函数单调性的应用;2E:复合命题的真假;3F:函数单调性的性质.
【分析】由p且q为真命题,故p和q均为真命题,我们可根据函数的性质,分别计算出p为真命题时,参数a的取值范围及分别计算出q为真命题时,参数a的取值范围,求其交集即可.
【解答】解:命题p等价于,3a≤2,即.
由y=(2a﹣1)x为减函数得:0<2a﹣1<1即.
又因为p且q为真命题,所以,p和q均为真命题,
所以取交集得.
故选C.
2. 函数与的定义域和值域都是,且都有反函数,则函数的反函数是 ( )
参考答案:
C.
解析:由依次得
,互易得 .3.
参考答案:
D
略
4. 在△ABC中,cos2=,(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为( )
A.正三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形
参考答案:
B
【考点】HX:解三角形.
【分析】利用二倍角公式代入cos2=求得cosB=,进而利用余弦定理化简整理求得a2+b2=c2,根据勾股定理判断出三角形为直角三角形.
【解答】解:∵cos2=,∴=,∴cosB=,
∴=,
∴a2+c2﹣b2=2a2,即a2+b2=c2,
∴△ABC为直角三角形.
故选B
【点评】本题主要考查了三角形的形状判断.考查了学生对余弦定理即变形公式的灵活利用.
5. 已知函数的部分图像,则函数的解析式( )
A B
C D
参考答案:
B
6. 已知向量a=(cos,-2),b=(sin,1),且a∥b,则tan(-)等于
A.3 B.-3 C. D.
参考答案:
B
7. 已知f(x)=,若f(a)+f(1)=,则a=( )
A. 1 B. -1 C. 或1 D. 或-1
参考答案:
D
【分析】
直接利用分段函数以及函数值转化求解即可.
【详解】解:
可得:或,解得或,故选:D.
【点睛】本题考查分段函数的应用,函数值的求法,考查分类讨论思想以及计算能力.
8. 已知函数在区间上的最小值是,则的最小值是( )
A. B. C. 2 D. 3
参考答案:
B
9. 若数列{an}满足,,,记数列{an}的前n项积为Tn,则下列说法错误的是( )
A. Tn无最大值 B. an有最大值 C. D.
参考答案:
A
【分析】
先求数列周期,再根据周期确定选项.
【详解】因为,
所以
因此数列为周期数列,,有最大值2,,
因为,
所以为周期数列,,有最大值4,,
综上选A.
【点睛】本题考查数列周期,考查基本分析求解能力,属中档题.
10. 已知a、b∈(0,1)且a≠b,下列各式中最大的是( )
A.a2+b2 B.2 C.2b D.+b[来
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 不等式的解集为R,则实数的取值范围是
参考答案:
12. 若幂函数f(x)=(m2﹣m﹣1)xm﹣1在区间(0,+∞)上是增函数,则实数m的值为 .
参考答案:
2
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域.
【分析】利用幂函数的定义、单调性即可得出.
【解答】解:由幂函数f(x)=(m2﹣m﹣1)xm﹣1,可得m2﹣m﹣1=1,解得m=2或﹣1.
又幂函数y=xm﹣1在区间(0,+∞)上是增函数,∴m=2.
故答案为:2.
13. 设函数,若方程有三个不等实根,则的取值范围为_________________.
参考答案:
略
14. 已知偶函数f(x)在[0,+∞)上为增函数,且f(x﹣1)>f(3﹣2x),求x的取值范围 .
参考答案:
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】利用函数f(x)的奇偶性及在[0,+∞)上的单调性,
可把f(x﹣1)>f(3﹣2x)转化为关于x﹣1与3﹣2x的不等式,从而可以求解.
【解答】解:因为偶函数f(x)在[0,+∞)上为增函数,
所以f(x﹣1)>f(3﹣2x)?f(|x﹣1|)>f(|3﹣2x|)?|x﹣1|>|3﹣2x|,
两边平方并化简得3x2﹣10x+8<0,
解得,所以x的取值范围为 ().
故答案为:().
【点评】本题为函数奇偶性及单调性的综合考查.解决本题的关键是利用性质去掉符号“f”,转化为关于x﹣1与3﹣2x的不等式求解.
15. 若与共线,则= .
参考答案:
-6
16. 下列四个命题中
①“”是“函数的最小正周期为”的充要条件;
②“”是“直线与直线相互垂直”的充要条件;
③ 函数的最小值为
其中假命题的为 (将你认为是假命题的序号都填上)
参考答案:
①,②,③ 解析:①“”可以推出“函数的最小正周期为”
但是函数的最小正周期为,即
② “”不能推出“直线与直线相互垂直”
反之垂直推出;③ 函数的最小值为
令
17. 已知函数f(x)=ax﹣2﹣4(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,则A的坐标为_____.
参考答案:
(2,-3)
【分析】
根据指数函数的图像恒过点(0,1) ,令可得,可得,从而得恒过点的坐标.
【详解】∵函数,其中,
令可得,
∴,
∴点的坐标为,
故答案为: .
【点睛】本题主要考查指数函数的图像性质:图像恒过定点,运用整体代换值的方法是本题的关键,属于基础题.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知圆,直线。
(Ⅰ)求证:对,直线与圆C总有两个不同交点;
(Ⅱ)设与圆C交与不同两点A、B,求弦AB的中点M的轨迹方程;
(Ⅲ)若定点P(1,1)分弦AB为,求此时直线的方程。
参考答案:
解:(Ⅰ)解法一:圆的圆心为,半径为。
∴圆心C到直线的距离
∴直线与圆C相交,即直线与圆C总有两个不同交点;
方法二:∵直线过定点,而点在圆内∴直线与圆C相交,即直线与圆C总有两个不同交点;
(Ⅱ)当M与P不重合时,连结CM、CP,则,
∴
设,则,
化简得:
当M与P重合时,也满足上式。
故弦AB中点的轨迹方程是。
(Ⅲ)设,由得,
∴,化简的………………①
又由消去得……………(*)
∴ ………………………………②
由①②解得,带入(*)式解得,
∴直线的方程为或。
19. 设函数,其中为常数,(1)若,用定义法证明函数在上的单调性,并求在上的最大值;(2)若函数在区间上是单调递减函数,求的取值范围。
参考答案:
(1)增函数,证明略。最大值为
(2)
20. 已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且.
(1)求证:数列{an}是等差数列;
(2)若bn=,数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn;
(3)在(2)的条件下,是否存在常数λ,使得数列{}为等比数列?若存在,试求出λ;若不存在,说明理由.
参考答案:
【考点】8E:数列的求和;8C:等差关系的确定.
【分析】(1)运用数列的递推式:当n=1时,a1=S1,当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1,化简整理,结合等差数列的定义即可得证;
(2)求得an=2n﹣1,bn==.再由数列的求和方法:错位相减法,结合等比数列的求和公式,即可得到所求和;
(3)化简=﹣,结合数列{}为等比数列的充要条件是=A?qn(A、q为非零常数),即可求得λ的值.
【解答】解:(1)证明:由题知Sn=(an+1)2,
当n=1时,a1=S1=(a1+1)2,∴a1=1,
当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=(an+1)2﹣(an﹣1+1)2.
∴(an+an﹣1)(an﹣an﹣1﹣2)=0.
∵an>0,∴an﹣an﹣1﹣2=0.
即当n≥2时,an﹣an﹣1=2.
则数列{an}是等差数列.
(2)由(1)知数列{an}是以1为首项,以2为公差的等差数列.
∴an=1+(n﹣1)?2=2n﹣1,
∵bn==.
则Tn=+++…++,①
∴Tn=+++…++,②
由①﹣②得
Tn=+2(++…+)﹣
=+2?﹣,
∴Tn=3﹣;
(3)∵=(3﹣+λ)?=﹣,
∴数列{}为等比数列的充要条件是=A?qn(A、q为非零常数),
∴当且仅当3+λ=0,即λ=﹣3时,得数列{}为等比数列.
21. 已知函数y= 4cos2x+4sinxcosx-2,(x∈R)。
(1)求函数的最小正周期;(2)求函数的最大值及其相对应的x值;
(3)写出函数的单调增区间;
参考答案:
22. 定义:对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(﹣x)=﹣f(x),则称f(x)为“局部奇函数”.
(1)已知二次函数f(x)=ax2+2x﹣4a(a∈R),试判断f(x)是否为定义域R上的“局部奇函数”?若是,求出满足f(﹣x)=﹣f(x)的x的值;若不是,请说明理由;
(2)若f(x)=2x+m是定义在区间[﹣1,1]上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围.
(3)若f(x)=4x﹣m?2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围.
参考答案:
【考点】二次函数的性质.
【专题】函数的性质及应用.
【分析】(1)利用局部奇函数的定义,建立方程f(﹣x)=﹣f(x),然后判断方程是否有解即可;
(2)利用局部奇函数的定义,求出使方程f(﹣x)=﹣f(x)有解的实数m的取值范围,可得答案;
(3)利用局部奇函数的定义,求出使方程f(﹣x)=﹣f(x)有解的实数m的取值范围,可得答案;
【解答】解:f(x)为“局部奇函数”等价于关于x的方程f(﹣x)=﹣f(x)有解.
(1)当f(x)=ax2+2x﹣4a(a∈R),时,
方程f(﹣x)=﹣f(x)即2a(x2﹣4)=0,有解x=±2,
所以f(x)为“局部奇函数”. …
(2)当f(x)=2x+m时,f(﹣x)=﹣f(x)可化为2x+2﹣x+2m=0,
因为f(x)的定义域为[﹣1,1],所以方程2x+2﹣x+2m=0在[﹣1,1]上有解.…
令t=2x∈[,2],则﹣2m=t+.
设g(t)=t+,则g'(t)=,
当t∈(0,1)时,g'(t)<0,故g(t)在(0,1)上为减函数,
当t∈(1,+∞)时,g'(t)>0,故g(t)在(1,+∞)上为增函数. …
所以t∈[,2]时,g(t)∈[2,].
所以﹣2m∈[2,],即m∈[﹣,﹣1]. …
(3)当f(x)=4x﹣m2x+1+m2﹣3时,f(﹣x)=﹣f(x)可化为4x+4﹣x﹣2m(2x+2﹣x)+2m2﹣6=0.
t=2x+2﹣x≥2,则4x+4﹣x