内蒙古自治区呼和浩特市托克托县五申镇中学2022年高一数学理上学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知f(x)是偶函数,x∈R,当x>0时,f(x)为增函数,若x1<0,x2>0,且|x1|<|x2|,则( )
A.f(﹣x1)>f(﹣x2) B.f(﹣x1)<f(﹣x2) C.﹣f(x1)>f(﹣x2) D.﹣f(x1)<f(﹣x2)
参考答案:
B
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系,即可得到结论.
【解答】解:∵f(x)是偶函数,x∈R,当x>0时,f(x)为增函数,且|x1|<|x2|,
∴f(|x1|)<f(|x2|),
则f(﹣x1)<f(﹣x2)成立,
故选:B
【点评】本题主要考查函数值的大小比较,根据函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键.
2. 阅读如图的程序框图,如果输出的函数值在区间[,]内,则输入的实数x的取值范围是
A.(-∞,-2] B.[2,+∞) C.[-1,2] D.[-2,-1]
参考答案:
D
略
3. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示,若,则( )
A. -3 B. 3 C. -4 D.4
参考答案:
A
4. 若集合,,则=( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
5. 当x∈[﹣1,1]时,函数f(x)=3x﹣2的值域是( )
A. B.[﹣1,1] C. D.[0,1]
参考答案:
C
【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域.
【分析】利用指数函数的单调性,先判断函数f(x)的单调性,再利用单调性求函数的值域即可
【解答】解:∵函数f(x)=3x﹣2在R上为单调增函数,
∴f(﹣1)≤f(x)≤f(1),即﹣2≤f(x)≤3﹣2
即f(x)∈
故选 C
6. 若正数x,y满足,则的最小值为( )
A.9 B.10 C.11 D.12
参考答案:
A
7. 设,则在下列区间中使函数有零点的区间是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
8. 在正方体中,为棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
【分析】
利用,得出异面直线与所成的角为,然后在中利用锐角三角函数求出.
【详解】如下图所示,设正方体的棱长为,
四边形为正方形,所以,,
所以,异面直线与所成的角为,
在正方体中,平面,平面,,
,,,
在中,,,
因此,异面直线与所成角的余弦值为,故选:D.
【点睛】本题考查异面直线所成角的计算,一般利用平移直线,选择合适的三角形,利用锐角三角函数或余弦定理求解,考查推理能力与计算能力,属于中等题。
9. (5分)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,则函数y=f(x)=log3|x|的零点个数是()
A. 多于4个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
参考答案:
B
考点: 对数函数的图像与性质;函数的周期性.
专题: 压轴题;数形结合.
分析: 根据定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=x,我们易画出函数f(x)的图象,然后根据函数y=f(x)﹣log3|x|的零点个数,即为对应方程的根的个数,即为函数y=f(x)与函数y=log3|x|的图象交点的个数,利用图象法得到答案.
解答: 若函数f(x)满足f(x+2)=f(x),
则函数是以2为周期的周期函数,
又由函数是定义在R上的偶函数,
结合当x∈[0,1]时,f(x)=x,
我们可以在同一坐标系中画出函数y=f(x)与函数y=log3|x|的图象如下图所示:
由图可知函数y=f(x)与函数y=log3|x|的图象共有4个交点,
即函数y=f(x)﹣log3|x|的零点个数是4个,
故选B
点评: 本题考查的知识点是对数函数的图象与性质,利用转化思想,将函数的零点个数问题,转化为函数图象交点个数问题,是解答本题的关键.
10. 同时满足两个条件:(1)定义域内是减函数;(2)定义域内是奇函数的函数是( )
A.f(x)=﹣x|x| B. C.f(x)=tanx D.
参考答案:
A
【考点】奇偶性与单调性的综合.
【分析】根据函数奇偶性的定义域判断出f(x)是奇函数、化简f(x)后由二次函数的单调性判断出f(x)的单调性,可判断A;由基本初等函数的单调性判断B、C,根据f(x)的定义域判断D.
【解答】解:A、因为f(x)的定义域是R,且f(x)=x|﹣x|=﹣f(x),
所以f(x)是奇函数,
因为f(x)=﹣x|x|=,所以f(x)在定义域上是减函数,
可知符合题中条件,A正确;
B、函数在定义域{x|x≠0}不是单调函数,不符合题意,B不正确;
C、f(x)=tanx在定义域内不是单调函数,C不正确;
D、函数f(x)的定义域是(0,+∞),关于原点不对称,不是奇函数,D不正确.
故选A.
【点评】本题考查函数奇偶性的定义,以及基本初等函数的单调性的应用,熟练掌握基本初等函数的奇偶性和单调性是解题的关键.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知点P落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为 .
参考答案:
【考点】G9:任意角的三角函数的定义.
【分析】由题意可得 cosθ 和sinθ的值,结合θ的范围,求得θ的值.
【解答】解:∵点P 即P(,﹣)落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),r=|OP|=1,
∴cosθ==,sinθ==﹣,∴θ=,
故答案为:.
12. 设,过定点A的动直线与过定点B的动直线交于点,则的取值范围为 .
参考答案:
13. 函数的单调递增区间为▲;值域为▲.
参考答案:
[0,2); [-2,+∞)
14. 已知||=1,| |=2,若∠BAC=60°,则||=_____
参考答案:
15. (4分)已知弧长为πcm的弧所对的圆心角为,则这条弧所在的扇形面积为 cm2.
参考答案:
2π
考点: 扇形面积公式.
专题: 计算题.
分析: 根据弧长公式求出对应的半径,然后根据扇形的面积公式求面积即可.
解答: ∵弧长为πcm的弧所对的圆心角为,
∴半径r=,
∴这条弧所在的扇形面积为S=cm2.
故答案为:2π
点评: 本题主要考查扇形的面积公式和弧长公式,要求熟练掌握相应的公式,比较基础.
16. (5分)如图,正方形OABC的边长为2,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的面积为 .
参考答案:
8
考点: 平面图形的直观图.
专题: 空间位置关系与距离.
分析: 根据题意,把该平面图形的直观图还原为原来的图形,得出原来的图形是平行四边形,求出它的面积即可.
解答: 根据题意,画出图形,如图所示;
把该平面图形的直观图还原为原来的图形,如图所示;[来源:学+科+网]
∴四边形A′B′C′D′是平行四边形,且A′D′=AD=2,B′D′=2BD=4
∴平行四边形A′B′C′D′的面积是A′D′?B′D′=2×4=8.
故答案为:.
点评: 本题考查了平面图形的直观图的应用问题,是基础题目.
17. 在平行四边形中,若,则必有 ( )
A. B. C.是矩形 D.是正方形
参考答案:
C
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 直线l过点(1,2)和第一、二、四象限,若直线l的横截距与纵截距之和为6,求直线l的方程.
参考答案:
【考点】直线的截距式方程.
【专题】计算题.
【分析】设直线l的横截距为a,则纵截距为(6﹣a),写出直线l的截距式方程,把(1,2)代入即可求出a的值,把a的值代入直线l的方程中,经过检验得到满足题意的直线l的方程.
【解答】解:设直线l的横截距为a,由题意可得纵截距为6﹣a,
∴直线l的方程为,
∵点(1,2)在直线l上,
∴,
解得:a1=2,a2=3,
当a=2时,直线的方程为2x+y﹣4=0,直线经过第一、二、四象限;
当a=3时,直线的方程为x+y﹣3=0,直线经过第一、二、四象限.
综上所述,所求直线方程为2x+y﹣4=0或x+y﹣3=0.
【点评】此题考查学生会利用待定系数法求直线的截距式方程,是一道基础题.学生做题时应注意求得的a值有两个都满足题意.
19. (13分)已知扇形AOB的圆心角∠AOB为120°,半径长为6,求:
(1)的弧长;
(2)弓形AOB的面积.
参考答案:
20. 围建一个面积为360m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口,如图所示,已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x (单位:m),此矩形场地围墙的总费用为y(单位:元).
(Ⅰ)将y表示为x的函数:
(Ⅱ)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.
参考答案:
解:(Ⅰ)如图,设矩形的另一边长为a= m
则45x+180(x-2)+180·2a=225x+360a-360
所以y=225x+ .
(Ⅱ)
.当且仅当225x=时,等号成立.
即当x=24m时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是10440元. .
略
21. 设函数
(1)设,,证明:在区间内存在唯一的零点;
(2)设,若对任意,有,求的取值范围.
参考答案:
解:(Ⅰ)设,当 时,
,在区间内存在零点
又设,,
即在区间内单调递增
在区间内存在唯一的零点
(Ⅱ)当时,
对任意,都有等价于在上的最大值与最小值之差,
据此分类讨论如下:
(1)、当,即时,,与题设矛盾;
(2)、当,即时,恒成立;
(3)当,即时,恒成立
综上可得,,的取值范围为
略
22. 已知函数,且.
(Ⅰ)判断的奇偶性并说明理由;
(Ⅱ)判断在区间上的单调性,并证明你的结论;
(Ⅲ)若在区间上,不等式恒成立,试确定实数的取值范围.
参考答案:
解:(Ⅰ)由得:
∴,其定义域为
又
∴函数在上为奇函数。
(II)函数在上是增函数,证明如下:ks5u
任取,且,则,
那么
即 ∴函数在上是增函数。
(III)由,得
,在区间上,的最小值是,,得,所以实数的取值范围是.