江苏省无锡市南湖中学2022-2023学年高三数学文下学期期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知定义域为的单调函数,若对任意的,都有,则方程的解的个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
参考答案:
B
2. 把边长为的正方形沿对角线折起,形成的三棱锥的正视图与俯视图如图所示,则其侧视图的面积为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
3. 如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输出的值为4,则输入的值可能为
A.6 B.-7 C.-8 D.7
参考答案:
C
4. 设集合,集合 ,全集,
则集合 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B【知识点】集合及其运算A1
由题意得,则
【思路点拨】根据集合的运算得。
5. 已知=(3,2),=(-1,0),向量λ+与-2垂直,则实数λ的值为
(A) (B)- (C) (D)-
参考答案:
D
略
6. 已知边长为的正方形ABCD的对角线BD上任意取一点P,则的取值范围是
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
7. 已知函数,连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是,则函数在处取得最值的概率是
、 、 、 、
参考答案:
连续抛掷两颗骰子得到的基本事件总数是,同时,是开口向上的抛物线,且有最小值,此时对称轴为,此时有种情况满足条件分别是,所以概率
8. 设集合A={y|y=2x,x∈R},B={x|x2﹣1<0},则A∪B=( )
A.(﹣1,1) B.(0,1) C.(﹣1,+∞) D.(0,+∞)
参考答案:
C
【考点】并集及其运算.
【分析】求解指数函数的值域化简A,求解一元二次不等式化简B,再由并集运算得答案.
【解答】解:∵A={y|y=2x,x∈R}=(0,+∞),
B={x|x2﹣1<0}=(﹣1,1),
∴A∪B=(0,+∞)∪(﹣1,1)=(﹣1,+∞).
故选:C.
【点评】本题考查并集及其运算,考查了指数函数的值域,考查一元二次不等式的解法,是基础题.
9. 设二元一次不等式组所表示的平面区域为M,使函数y=ax(a>0,a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是
(A)[1,3] (B)[2,] (C)[2,9] (D)[,9]
参考答案:
【解析】本题考查线性规划与指数函数。如图阴影部分为平面区域M, 显然,只需要研究过、两种情形。且即
答案:C
10. 已知定义在上的函数,对任意,都有成立,若函数的图象关于直线对称,则( )
A.0 B.1008 C.8 D.
参考答案:
A
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知数列通项公式为,数列通项公式为。设若在数列中,则实数的取值范围是 。
参考答案:
略
12. 若函数的导函数,则函数的单调减区间是 _____.
参考答案:
【知识点】函数的单调性及单调区间;导数的运算B3,B11
【答案解析】(0,2) 解析:解:∵f′(x)=x2﹣4x+3,
∴f(x)=x3﹣2x2+3x+c
∴f(x+1)==
∴f′(x+1)=x2﹣2x
令f′(x+1)<0得到0<x<2
故答案为(0,2)
【思路点拨】先由f′(x)=x2﹣4x+3写出函数f(x)的一般形式,再写出函数f(x+1)的函数解析式,利用导数求其单调区间
13. 已知x,y∈R+,x+y=1,则的最小值为__________.
参考答案:
3
考点:基本不等式.
专题:转化思想;不等式的解法及应用.
分析:首先,将所给的条件代入,转化为基本不等式的结构形式,然后,利用基本不等式进行求解.
解答:解:∵x,y∈R+,x+y=1,
∴+=+=++1≥2+1=3,
故答案为:3.
点评:本题重点考查了基本不等式问题,考查等价转化思想的灵活运用,属于中档题.
14. 已知________.
参考答案:
2
15. 已知的展开式中的系数是-35,
则= .
参考答案:
1
16. 过点作直线的垂线所得的垂足称为点在直线上的射影,由区域内的点在直线上的射影构成线段记为,则的长度的最大为 .
参考答案:
本题主要考查二元一次不等式组与线性规划问题,考查了数形结合思想与逻辑推理能力.由,所以直线l过定点,画出不等式组所表示的平面区域,如图所示,三角形ABC的最大边长|AB|=5,当AB//l时,|MN|的长度最大是5.
17. 抛物线的准线方程是 .
参考答案:
【知识点】抛物线的几何性质 H7
抛物线的标准方程为:,所以准线方程为:故答案为:.
【思路点拨】先将方程化为标准方程,即可得到.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 选修4-5:不等式选讲
已知函数.
(1)当a=6时,解不等式;
(2)若关于实数x的不等式恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案:
解:(1)当时,
或或
解得:或即不等式解集为:;
(2)
恒成立,即或
解得:.
19. 已知函数,.
(1)若a=0,b=-2,且恒成立,求实数c的取值范围;
(2)若b=-3,且函数在区间(-1,1)上是单调递减函数.
①求实数a的值;
②当c=2时,求函数的值域.
参考答案:
解:(1)函数的定义域为.当,,,
∵恒成立,∴恒成立,即.
令,则,
令,得,∴在上单调递增,
令,得,∴在上单调递减,
∴当时,.
∴.
(2)①当时,,.
由题意,对恒成立,
∴,∴,即实数的值为.
②函数的定义域为.
当,,时,.
,令,得.
-
+
↘
极小值0
↗
∴当时,,当时,,当时,.
对于,当时,,当时,,当时,.
∴当时,,当时,,当时,.
故函数的值域为.
20.
(14分)对于数列,定义为数列的一阶差分数列,其中
.
(Ⅰ)若数列的通项公式,求的通项公式;
(Ⅱ)若数列的首项是1,且满足.
①设,求数列的通项公式;
②求的前n项和.
参考答案:
解析:(Ⅰ)依题意,
∴ ……………4分
(Ⅱ)①由
∴,故是公差为的等差数列 ……8分
又∵, ∴ …………………………9分
②由①得 ………………………………10分
∵ ⑴
∴ ⑵
⑴-⑵得
∴ ……………………………………14分
21. (本小题满分15分)
已知函数,.
(Ⅰ)若,且函数存在单调递减区间,求实数的取值范围;
(Ⅱ)设函数的图象与函数的图象交于点、,过线段的中点作轴的垂线分别交、于点、,试判断在点处的切线与在点处的切线是否平行,并给出证明.
参考答案:
解:(1)
(2)不平行
设点、的坐标分别是,则的横坐标为
在点处切线的斜率是
在点处切线的斜率是
假设切线平行,则
即
,令,则①
令则
在上单调递增
故与①式矛盾
所以假设错误
22. 如图,在交AC于 点D,现将
(1)当棱锥的体积最大时,求PA的长;
(2)若点P为AB的中点,E为
参考答案:
本题考查了立体几何体积计算以及线线位置关系的确定,通过图形翻折这一载体,突出考查空间感及对空间位置关系的掌握。第一问通过设置体积,在转化为函数的的最值问题,依托三次函数,利用求导处理;第二问,选对来说单薄了一些,本题着力于体积问题函数化,综合考查学生对知识的掌握。难度偏大。
(1)设,则
令
则
单调递增
极大值
单调递减
由上表易知:当时,有取最大值。
证明:
(2)作得中点F,连接EF、FP
由已知得:
为等腰直角三角形,
所以.