2022年广西壮族自治区河池市都安第五中学高二数学理模拟试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若实数满足,则的最小值为( )
A.1 B. C.2 D.4
参考答案:
C
2. 用二分法求方程的近似根的算法中要用哪种算法结构( )
A.顺序结构 B.条件结构 C.循环结构 D.以上都用
参考答案:
D
3. 过点(1,0)且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是( )
A.x﹣2y﹣1=0 B.x﹣2y+1=0 C.2x+y﹣2=0 D.x+2y﹣1=0
参考答案:
A
【考点】两条直线平行的判定;直线的一般式方程.
【专题】计算题.
【分析】因为所求直线与直线x﹣2y﹣2=0平行,所以设平行直线系方程为x﹣2y+c=0,代入此直线所过的点的坐标,得参数值
【解答】解:设直线方程为x﹣2y+c=0,又经过(1,0),
∴1﹣0+c=0
故c=﹣1,
∴所求方程为x﹣2y﹣1=0;
故选A.
【点评】本题属于求直线方程的问题,解法比较灵活.
4. 曲线 在点(0,1)处的切线方程为
A.y=3x+l B.y= 3x -l C.y=2x+l D. y=2x-l
参考答案:
A
5. 给出下列四个命题:①若,则;②已知,则是且的必要不充分条件③若,则;④若,则的最小值为8;真命题的个数为( )
A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个
参考答案:
B
6. 在直角坐标系中,满足不等式的点的集合(用阴影表示)是
参考答案:
B
略
7. 为研究变量的线性相关性,甲、乙二人分别作了研究,利回线性回归方法得到回归直线方程,两人计算知相同,也相同,下列正确的是 ( )
A.重合 B.一定平行
C. D.无法判断是否相交
参考答案:
C
略
8. 已知条件p:a≤1,条件q:|a|≤1,则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
参考答案:
A
9. 已知双曲线的一条渐近线方程是,它的一个焦点在抛物线的准线上,则双曲线的方程为
A. B.
C. D.
参考答案:
A
略
10. 由直线上的一点向圆引切线,则切线长的最小值为( ).
A. B. C. D.
参考答案:
C
因为切线长的最小值是当直线上的点与圆心距离最小时取得,
圆心到直线的距离为,
圆的半径为,那么切线长的最小值为,
故选.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 类比平面几何中的勾股定理:若直角三角形ABC中的两边AB、AC互相垂直,则三角形三边长之间满足关系:。若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直,则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为
参考答案:
12. 不等式的解集是 ;
参考答案:
[-2,]
13. 设,定义一种运算:11=2,,则=_________.
参考答案:
略
14. 设数列{an}的前n项和为Sn,若,且,则_________.
参考答案:
-2020
【分析】
对已知的等式,取倒数,这样得到一个等差数列,求出等差数列的通项公式,最后求出的值.
【详解】,,
所以数列是以为公差的等差数列,,所以等差数列的通项公式为.
【点睛】本题考查了等差数列的判断和通项公式的求解问题,对等式进行合理的变形是解题的关键.
15. 若执行如下图所示的框图,输入x1=1,x2=2,x3=4,x4=8,则输出的数等于________.
参考答案:
16. ①求过点(1,2),且平行于直线3x+4y-12=0的直线的方程为 ;
②求过点(1,2),且垂直于直线x+3y-5=0的直线的方程为__________.
参考答案:
略
17. 观察下列等式,,,,,从中可以归纳出一个一般性的等式是:__________.
参考答案:
【分析】
通过观察前几个式子的变化规律,总结规律即可得到答案.
【详解】根据题意,第一个式子从1开始,左边按顺序加有1项;第二个式子从2开始,有3项;第三个式子从3开始,有5项,于是可归纳出,第n个式子从n开始,有项,于是答案为:.
【点睛】本题主要考查归纳法,意在考查学生的逻辑推理能力和数感,难度不大.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆E:+=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.
(Ⅰ)求椭圆E的离心率;
(Ⅱ)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y﹣1)2=的一条直径,若椭圆E经过A、B两点,求椭圆E的方程.
参考答案:
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;曲线与方程.
【专题】创新题型;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.
【分析】(Ⅰ)求出经过点(0,b)和(c,0)的直线方程,运用点到直线的距离公式,结合离心率公式计算即可得到所求值;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2,①设出直线AB的方程,代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,结合圆的直径和中点坐标公式,解方程可得b2=3,即可得到椭圆方程.
【解答】解:(Ⅰ)经过点(0,b)和(c,0)的直线方程为bx+cy﹣bc=0,
则原点到直线的距离为d==c,即为a=2b,
e===;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2,①
由题意可得圆心M(﹣2,1)是线段AB的中点,则|AB|=,
易知AB与x轴不垂直,记其方程为y=k(x+2)+1,代入①可得
(1+4k2)x2+8k(1+2k)x+4(1+2k)2﹣4b2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=.x1x2=,
由M为AB的中点,可得x1+x2=﹣4,得=﹣4,解得k=,
从而x1x2=8﹣2b2,于是|AB|=?|x1﹣x2|=?
==,解得b2=3,
则有椭圆E的方程为+=1.
【点评】本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的运用,联立直线方程和椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,同时考查直线和圆的位置关系,以及中点坐标公式和点到直线的距离公式的运用,属于中档题.
19. 已知函数 , .
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)当时,求函数的单调区间;
(Ⅲ)当时,函数在上的最大值为,若存在,使得
成立,求实数b的取值范围.
参考答案:
(Ⅰ)当时, ……………………1分
……………………………………….…2分
所以曲线在点处的切线方程…………………………….…3分
(Ⅱ)……………4分
1 当时,解,得,解,得
所以函数的递增区间为,递减区间为在 ……………………5分
2 时,令得或
i)当时,
x
)
f’(x)
+
-
+
f(x)
增
减
增
……………………6分
函数的递增区间为,,递减区间为……………………7分
ii)当时,
在上,在上 ………………………8分
函数的递增区间为,递减区间为 ………………………9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当时,在上是增函数,在上是减函数,
所以, ………………………………11分
存在,使 即存在,使,
方法一:只需函数在[1,2]上的最大值大于等于
所以有 即解得: …………13分
方法二:将 整理得
从而有所以的取值范围是. …………13分
略
20. 已知三条直线,
且与的距离是.
(1)求的值;
(2)能否找到一点同时满足下列条件:
① 点是第一象限的点;
② 点到的距离是点到的距离的;
③ 点到的距离与点到的距离之比是∶ .
若能,求出点坐标;若不能,说明理由.
参考答案:
略
21. (本小题12分).点在椭圆上,求点到直线的最大距离和最小距离。
参考答案:
设,则
即,
当时,;
当时,。
22. 把复数z的共轭复数记作,已知,求z及.
参考答案:
【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.
【分析】设复数z=x+yi(x,y∈R),这里必须强调x,y∈R,则,于是,按照复数乘法进行运算,然后根据复数相等的充要条件列方程组,求出x,y的值,得到z及,进而根据可以求出的值.
【解答】解:设z=x+yi(x∈R,y∈R),则,,
则,解得,
∴z=2+i,,∴.
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等、模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.