2022年江苏省南通市海安县胡集中学高一数学理联考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 在下列条件下,可判断平面α与平面β平行的是( )
A. α、β都垂直于平面γ B. α内不共线的三个点到β的距离相等
C. l,m是α内两条直线且l∥β,m∥β D. l,m是异面直线,且l∥α,m∥α,l∥β,m∥β
参考答案:
D
略
2. 若为第三象限,则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
试题分析:因为为第三象限,所以.因此,故选择B.
考点:同角三角函数基本关系及三角函数符号.
3. 下列计算正确的是( ).
A. B. C. D.
参考答案:
B
..
.,正确.
..
..
4. 若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z︱z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为 ( )
A.5 B.4 C.3 D.2
参考答案:
C
略
5. 若,则是 ( )
A.等腰直角三角形 B.有一内角是的直角三角形
C.等边三角形 D.有一内角是的等腰三角形
参考答案:
A
6. 长方体的一个顶点上三条棱长分别是,且它的个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是( )
A. B. C. D.都不对
参考答案:
B
略
7. 在数列{an}中,,,则
A. B. C. D.
参考答案:
A
试题分析:在数列中,
故选A.
考点:熟练掌握累加求和公式及其对数的运算性质
8. 函数 =,的最小正周期为
A. B. C. D.
参考答案:
C
9. 在△ABC中,若,则∠B等于( )
A. B.或 C. D.
参考答案:
C
略
10. 如上右图中几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )
A.①② B.①③ C.①④ D.②④
参考答案:
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 两个非零向量相等的充要条件是什么?
参考答案:
长度相等且方向相同
12. 若,则=_________
参考答案:
∵,
∴f(x)+f(1﹣x)=+
=+
==1,
∴
=500×[+]
=500.
故答案为:500.
13. 过点(4,3)且与⊙:x2+y24x+2y+1=0相切的直线方程是_____________;
参考答案:
+1
略
14. 设则的大小关系是(用不等号连接)______________
参考答案:
15. 设x>0,则函数的最大值为
参考答案:
-2
略
16. 已知角的顶点为坐标原点始边为x轴的正半轴,若P(4,y)是角终边上的一点,且 。
参考答案:
17. 观察下列等式:
(1)
(2)
(3)
…… …… …… …… …… ……
由以上规律推测,第n个等式为: .
参考答案:
(或)
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分10分)
已知全集,集合,.
(1)分别求,;
(2)已知集合,若,求实数a的取值范围.
参考答案:
解:(1)A=(1,3).2分 .4分
,.5分
.6分
(2)若,即,符合题意;.7分
若,即,因为,所以,所以.9分
综上所述,实数的取值范围是.10分
19. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,,.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记,求数列{bn}的前n项和Tn;
(3)在(2)的条件下,当时,比较Sn和Tn的大小.
参考答案:
(1);(2);(3)
【分析】
(1)设等差数列的公差为,利用等差数列的通项公式和求和公式,解方程可得首项和公差,进而得到通项公式;
(2)由(1)得,利用等差数列的求和公式可得;
(3)分别求得和,作差比较即可得到大小关系.
【详解】(1)设等差数列的公差为,由,
得,化简得①.
由,得,得②.
由①②解得:,,则.
则数列的通项公式为.
(2)由(1)得,
①当时,,;
②当且时,,
两式作差得:
有:
有:
有:
得
由上知.
(3)由(1)得由,
由(2)得当时,,
令.
则
.
由,有,得,故单调递增.
又由,故,可得.
【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用,也考查了错位相减法求数列的和,分类讨论思想和作差比较大小的问题,属于中档题.
20. 已知函数(其中)的图象与轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为, 且图象上一个最低点为.
(1) 求函数的最小正周期和对称中心;
(2) 将函数的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的,再把所得到的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,求函数在区间上的值域.
参考答案:
(1);(2).
【分析】
(1)先求出函数f(x)的解析式,再求函数的最小正周期和对称中心;(2)先求出函数的解析式,再求函数在区间上的值域.
【详解】由题得A=2,T=.
又因为,因为,
所以.
所以f(x)==2sin,
所以函数f(x)的最小正周期为T=π,
令,
∴f(x)的对称中心为,k∈Z.
(2)函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的,
得到y=2sin;
再把所得到图象向左平移个单位长度,
得到,
当时,,
所以当x=0时,g(x)max=2,当x=时,g(x)min=-1.
∴y=g(x)在区间上的值域为[-1,2].
【点睛】本题主要考查三角函数图像的变换和解析式的求法,考查三角函数的图像和性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
21. 如图,在三棱锥P-ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,且.
(1)证明:BC∥平面PDE;
(2)若平面PCD⊥平面ABC,证明:AB⊥PC.
参考答案:
(1)见解析(2)见解析
【分析】
(1)先证明,再证明平面;(2)先证明平面,再证明.
【详解】证明:(1)因为,分别为,的中点,
所以.
又平面,平面,
所以平面.
(2)因为,为中点,所以.
又平面平面.
平面平面,所以平面.
又平面,所以.
【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于基础题.
22. 函数在同一个周期内,当时取最大值1,当时,取最小值。
(1)求函数的解析式
(2)求该的对称轴,并求在的单调递增区间。
(3)若函数满足方程求在内的所有实数根之和。
参考答案:
又因
又
函数
(2)略
(3)的周期为
在内恰有3个周期,
并且方程在内有6个实根且
同理,
故所有实数之和为
求在内的所有实数根之和.
略