广东省茂名市高州大坡中学2022年高一数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若关于x方程的一个实根小于-1,另一个实根大于1,则实数m的取值范围是( )
A. B. (-2,0) C. (-2,1) D. (0,1)
参考答案:
D
试题分析:令,由题设,即,解之得,故应选D.
考点:二次函数的图象和性质的运用.
2. 某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,那么互斥不对立的两个事件是( )
A.恰有1名男生与恰有2名女生
B.至少有1名男生与全是男生
C.至少有1名男生与至少有1名女生
D.至少有1名男生与全是女生
参考答案:
A
【考点】C4:互斥事件与对立事件.
【分析】互斥事件是两个事件不包括共同的事件,对立事件首先是互斥事件,再就是两个事件的和事件是全集,由此规律对四个选项逐一验证即可得到答案.
【解答】解:A中的两个事件符合要求,它们是互斥且不对立的两个事件;
B中的两个事件之间是包含关系,故不符合要求;
C中的两个事件都包含了一名男生一名女生这个事件,故不互斥;
D中的两个事件是对立的,故不符合要求.
故选A
【点评】本题考查互斥事件与对立事件,解题的关键是理解两个事件的定义及两事件之间的关系.属于基本概念型题.
3. 商丘一高某社团为了了解“早餐与健康的关系”,选取某班共有60名学生,现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐与健康”的调查,为此将学生编号为1,2,…,60.选取的这6名学生的编号可能是( )
A.1,2,3,4,5,6 B.6,16,26,36,46,56
C.1,2,4,8,16,32 D.3,9,13,27,36,54
参考答案:
B
【考点】系统抽样方法.
【分析】根据系统抽样的定义进行求解即可.
【解答】解:根据系统抽样的定义,从60名学生中抽取6名学生,编号的间隔为=10,
∴编号组成的数列应是公差为10的等差数列,
故选:B.
【点评】本题主要考查系统抽样的应用,求出号码间隔是解决本题的关键.
4. 在某项体育比赛中,七位裁判为一选手打出的分数如下:
90 89 90 95 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数的平均值和方差分别为( )
A.92,2 B.92,2.8 C.93,2 D.93,2.8
参考答案:
B
【考点】众数、中位数、平均数;极差、方差与标准差.
【分析】平均数就将剩余5个数的和除以5即可得到;方差就是将数据代入方差公式
s2= [(x1﹣)2+(x2﹣)2+(x3﹣)2+…+(xn﹣)2]即可求得.
【解答】解:由题意知,所剩数据为90,90,93,94,93,
所以其平均值为90+(3+4+3)=92;
方差为(22×2+12×2+22)=2.8,
故选B.
5. 设函数,对于给定的正数K,定义函数若对于函数定义域内的任意 ,恒有,则 ( )
A.K的最大值为 B.K的最小值为
C.K的最大值为1 D.K的最小值为1
参考答案:
B
略
6. 有如下四个游戏盘,撒一粒黄豆,若落在阴影部分,怎可以中奖,小明希望中奖,则他应该选择的游戏是
参考答案:
A
四个游戏盘中奖的概率分别是,最大的是,故选A
7. 在R上定义运算⊙:x⊙y=x(1﹣y).若不等式(x﹣a)⊙(x+a)<1对任意实数x成立,则( )
A.﹣1<a<1 B.0<a<2 C. D.
参考答案:
C
【考点】74:一元二次不等式的解法.
【分析】此题新定义运算⊙:x⊙y=x(1﹣y),由题意(x﹣a)⊙(x+a)=(x﹣a)(1﹣x﹣a),再根据(x﹣a)⊙(x+a)<1,列出不等式,然后把不等式解出来.
【解答】解:∵(x﹣a)⊙(x+a)<1
∴(x﹣a)(1﹣x﹣a)<1,
即x2﹣x﹣a2+a+1>0
∵任意实数x成立,
故△=1﹣4(﹣a2+a+1)<0
∴,
故选C.
8. 函数f(x)=x﹣ln|x|的图象为( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
【考点】函数的图象.
【专题】作图题;数形结合;函数的性质及应用.
【分析】易知当x<0时,f(x)=x﹣ln(﹣x)是增函数,从而利用排除法求得.
【解答】解:当x<0时,f(x)=x﹣ln(﹣x)是增函数,
故排除A,C,D;
故选:B.
【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用,单调性表述了图象的变化趋势.
9. 已知点,,若直线:与线段AB没有交点,则的取值范围是( )
A. B. C.或 D.
参考答案:
C
10. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.16+8π B. 16+16π C. 8+8π D.8+16π
参考答案:
A
由三视图可知,该几何体是一个长方体和一个半圆柱组成的几何体,所以体积为×π×22×4+2×2×4=16+8π.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在平面直角坐标系中,直线与圆相交于,两点,则弦的长等于________.
参考答案:
略
12. 半径为2的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为 .
参考答案:
【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台).
【分析】半径为R的半圆卷成一个圆锥,则圆锥的母线长为R,底面半径r=1,求出圆锥的高后,代入圆锥体积公式可得答案.
【解答】解:半径为R的半圆卷成一个圆锥,
则圆锥的母线长为R,
设圆锥的底面半径为r,
则2πr=πR,
即r=1,
∴圆锥的高h==,
∴圆锥的体积V==,
故答案为:.
13. 已知函数.若时,恒成立.则实数的取值范围 .
参考答案:
或
14. 设动直线与函数和的图象分别交于、 两点,则的最大值为____.
参考答案:
3
略
15. 函数的定义域为_____________________.
参考答案:
试题分析:由题意得,即,解得 .
考点:函数的定义域及其求法 .
16. 设函数y=f(x)是函数的反函数,则函数的单调递增区间为______
参考答案:
略
17. .如图, 在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心,则EF和BD所成的角是 。
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分13分)设集合,.
(1)若,求实数a的值;
(2)若,求实数a的值.
参考答案:
(1)由得,。 . 6分
(2 ) 由
因为A=B,所以,代入得 . 9分
这时 A={1,4},故A=B成立, . 13分
19. 二次函数f(x)满足f(x+1)﹣f(x)=2x,且f(0)=1.
(1)求f(x)的解析式;
(2)在区间[﹣1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方,试确定实数m的范围.
参考答案:
【考点】二次函数的性质.
【分析】(1)先设f(x)=ax2+bx+c,在利用f(0)=1求c,再利用两方程相等对应项系数相等求a,b即可.
(2)转化为x2﹣3x+1﹣m>0在[﹣1,1]上恒成立问题,找其在[﹣1,1]上的最小值让其大于0即可.
【解答】解:(1)设f(x)=ax2+bx+c,由f(0)=1得c=1,故f(x)=ax2+bx+1.
因为f(x+1)﹣f(x)=2x,所以a(x+1)2+b(x+1)+1﹣(ax2+bx+1)=2x.
即2ax+a+b=2x,所以,∴,
所以f(x)=x2﹣x+1
(2)由题意得x2﹣x+1>2x+m在[﹣1,1]上恒成立.即x2﹣3x+1﹣m>0在[﹣1,1]上恒成立.
设g(x)=x2﹣3x+1﹣m,其图象的对称轴为直线,所以g(x)在[﹣1,1]上递减.
故只需最小值g(1)>0,即12﹣3×1+1﹣m>0,
解得m<﹣1.
20. 已知两直线l1:mx+8y+n=0和l2:2x+my﹣1=0,试确定m,n的值,使
(1)l1与l2相交于点P(m,﹣1);
(2)l1∥l2;
(3)l1⊥l2,且l1在y轴上的截距为﹣1.
参考答案:
【考点】II:直线的一般式方程与直线的平行关系;IJ:直线的一般式方程与直线的垂直关系.
【分析】(1)将点P(m,﹣1)代入两直线方程,解出m和n的值.
(2)由 l1∥l2得斜率相等,求出 m 值,再把直线可能重合的情况排除.
(3)先检验斜率不存在的情况,当斜率存在时,看斜率之积是否等于﹣1,从而得到结论.
【解答】解:(1)将点P(m,﹣1)代入两直线方程得:m2﹣8+n=0 和 2m﹣m﹣1=0,
解得 m=1,n=7.
(2)由 l1∥l2 得:m2﹣8×2=0,m=±4,
又两直线不能重合,所以有 8×(﹣1)﹣mn≠0,对应得 n≠2m,
所以当 m=4,n≠﹣2 或 m=﹣4,n≠2 时,L1∥l2.
(3)当m=0时直线l1:y=﹣和 l2:x=,此时,l1⊥l2,﹣ =﹣1?n=8.
当m≠0时此时两直线的斜率之积等于,显然 l1与l2不垂直,
所以当m=0,n=8时直线 l1 和 l2垂直,且l1在y轴上的截距为﹣1.
21. (本题满分10分)已知函数是定义在上的奇函数,当时,
(1)求的值;
(2)当时,求的解析式;
(3)求函数在上的最小值。
参考答案:
略
22. (12分)如图,△ABC中,D,E,F分别为BC,AC,AB的中点,用坐标法,证明:(|AB|2+|BC|2+|AC|2)=|AD|2+|BE|2+|CF|2.
参考答案:
考点: 两点间的距离公式.
专题: 直线与圆.
分析: 以B为原点,BC为x轴建立平面直角坐标系,设C(a,0),A(b,c),可得,由距离公式验证即可.
解答: 以B为原点,BC为x轴建立平面直角坐标系如图所示:
设C(a,0),A(b,c),则,
由左边公式可得左边==
同理可得右边==
∴
点评: 本题考查两点间的距离公式,建系是解决问题的关键,属基础题.