安徽省合肥市庐北职业高级中学高三数学理期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 若A为不等式组表示的平面区域,则当a从﹣2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为( )
A. B.1 C. D.2
参考答案:
C
【考点】简单线性规划的应用.
【分析】本题主要考查线性规划的基本知识,先画出约束条件的可行域,再分析当a从﹣2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的形状,然后代入相应的公式,求出区域的面积.
【解答】解析:作出可行域,如图,
则直线扫过的面积为
故选C.
2. 设函数f(x)=x2+xsinx,对任意x1,x2∈(﹣π,π),若f(x1)>f(x2),则下列式子成立的是( )
A.x1>x2 B. C.x1>|x2| D.|x1|<|x2|
参考答案:
B
考点:利用导数研究函数的单调性.
专题:导数的综合应用.
分析:由于f(﹣x)=f(x),故函数f(x)=x2+xsinx为偶函数,则f(x1)>f(x2)?f(|x1|)>f(|x2|),f′(x)=2x+sinx+xcosx,当x>0时,f′(x)>0,从而可得答案.
解答: 解:∵f(﹣x)=(﹣x)2﹣xsin(﹣x)=x2+xsinx=f(x),
∴函数f(x)=x2+xsinx为偶函数,
∴f(﹣x)=f(|x|);
又f′(x)=2x+sinx+xcosx,
∴当x>0时,f′(x)>0,
∴f(x)=xsinx在上单调递增,
∵f(x1)>f(x2),
∴结合偶函数的性质得f(|x1|)>f(|x2|),
∴|x1|>|x2|,
∴x12>x22.
故选B.
点评:本题考查函数f(x)的奇偶性与单调性,得到f(x)为偶函数,在上单调递增是关键,考查分析转化能力,属于中档题.
3. 命题:“”的否定是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
4. 若函数()是奇函数,函数()是偶函数,则( )
A.函数是奇函数 B.函数是奇函数
C.函数是奇函数 D. 函数是奇函数
参考答案:
B
略
5. 函数y=ln|x|﹣x2的图象大致为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】3O:函数的图象.
【分析】先判断函数为偶函数,再根据函数的单调性即可判断.
【解答】解:令y=f(x)=ln|x|﹣x2,其定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞),
因为f(﹣x)=ln|x|﹣x2=f(x),
所以函数y=ln|x|﹣x2为偶函数,其图象关于y轴对称,故排除B,D,
当x>0时,f(x)=lnx﹣x2,
所以f′(x)=﹣2x=,
当x∈(0,)时,f′(x)>0,函数f(x)递增,
当x∈(,+∞)时,f′(x)<0,函数f(x)递减,
故排除C,
方法二:当x→+∞时,函数y<0,故排除C,
故选:A
6. 在△ABC中,有命题:①;②;③若,则△ABC是等腰三角形;④若,则△ABC为锐角三角形.上述命题正确的是…………………………………………………………( )
(A) ②③ (B) ①④ (C) ①② (D) ②③④
参考答案:
A
因为,所以①错误。排除B,C. ②正确。由得,即,所以△ABC是等腰三角形,所以③正确。若,则,即为钝角,所以△ABC为钝角三角形,所以④错误,所以上述命题正确的是②③,选A.
7. 设,,,,记为内部(不含边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则函数的值域为
A. B. C. D.
参考答案:
C
略
8. 设函数,其中,为如图所示的程序框图中输出的结果,则的展开式中常数项是 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
9. 若二次函数的部分图像如右图所示,则函数的零点所在的区间是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
C
略
10. 函数的图象大致为( )
A B
C D
参考答案:
B
试题分析:函数为奇函数,去掉A,C;当时,因此选B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设函数
当时,
参考答案:
12. 已知双曲线的右焦点为,则该双曲线的渐近线方程为________.
参考答案:
由条件得,,从而双曲线方程为,故渐近线方程为。
13. 设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P(x,y),则|PA|+|PB|的最大值是 .
参考答案:
2
【考点】两点间距离公式的应用.
【分析】由直线过定点可得AB的坐标,由直线垂直可得|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,由基本不等式可得.
【解答】解:由题意可得动直线x+my=0过定点A(0,0),
直线mx﹣y﹣m+3=0可化为(x﹣1)m+3﹣y=0,
令可解得,即B(1,3),
又1×m+m×(﹣1)=0,故两直线垂直,
∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,
由基本不等式可得10=|PA|2+|PB|2
=(|PA|+|PB|)2﹣2|PA||PB|
≥(|PA|+|PB|)2﹣2()2
=(|PA|+|PB|)2,
∴(|PA|+|PB|)2≤20,
解得|PA|+|PB|≤2
当且仅当|PA|=|PB|=时取等号.
故答案为:2.
【点评】本题考查两点间的距离公式,涉及直线过定点和整体利用基本不等式求最值,属中档题.
14. 已知f(3x)=4xlog23+233,则f(2)+f(4)+f(8)+…+f(28)的值等于________.
参考答案:
15. 2008
略
15. 如图所示,在中,为边上的一点,且,若(),则_____________.
参考答案:
【分析】本题考察向量的线性表示,属于常规问题,难度适中,可以通过两个思路去解决问题,第一,利用几何关系处理问题,通过建立平行线寻找几个向量的关系;第二,则可以使用向量之间的相互表达的手段去处理,或者直接使用共线定理(即:若共线,且,则)。
【解】
方法一:由于,则,其中,,那么可转化为,可以得到,即,则,那么,故填.
方法二:直接利用共线定理,,则,则,则,那么,故填.
方法三:利用几何方法,如右图所示构造辅助线,做的三等分点,根据平行线等分定理则,在新构造的中,,又,,那么,可以得到,则,那么,故填.
16. 已知函数,若关于的方程有三个不相等的实数根,则实数的取值范围是
参考答案:
略
17. 从直线上一动点出发的两条射线恰与圆都相切,则这两条射线夹角的最大值为 .
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 如图,已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB,且AB=BP=2,AD=AE=1,AE⊥AB,且AE∥BP.
(Ⅰ)设点M为棱PD中点,求证:EM∥平面ABCD;
(Ⅱ)线段PD上是否存在一点N,使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于?若存在,试确定点N的位置;若不存在,请说明理由.
参考答案:
【考点】直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定.
【分析】(I)证明BP⊥平面ABCD,以B为原点建立坐标系,则为平面ABCD的法向量,求出,的坐标,通过计算=0得出,从而有EM∥平面ABCD;
(II)假设存在点N符合条件,设,求出和平面PCD的法向量的坐标,令|cos<>|=解出λ,根据λ的值得出结论.
【解答】证明:(Ⅰ)∵平面ABCD⊥平面ABEP,平面ABCD∩平面ABEP=AB,BP⊥AB,
∴BP⊥平面ABCD,又AB⊥BC,
∴直线BA,BP,BC两两垂直,
以B为原点,分别以BA,BP,BC为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则P(0,2,0),B(0,0,0),D(2,0,1),E(2,1,0),C(0,0,1),∴M(1,1,),
∴=(﹣1,0,),=(0,2,0).
∵BP⊥平面ABCD,∴为平面ABCD的一个法向量,
∵=﹣1×0+0×2+=0,
∴⊥.又EM?平面ABCD,
∴EM∥平面ABCD.
(Ⅱ)解:当点N与点D重合时,直线BN与平面PCD所成角的正弦值为.
理由如下:
∵=(2,﹣2,1),=(2,0,0),
设平面PCD的法向量为=(x,y,z),则.
∴.令y=1,得=(0,1,2).
假设线段PD上存在一点N,使得直线BN与平面PCD所成角α的正弦值等于.
设=λ=(2λ,﹣2λ,λ)(0≤λ≤1),∴==(2λ,2﹣2λ,λ).
∴cos<>===.
∴9λ2﹣8λ﹣1=0,解得λ=1或(舍去).
∴当N点与D点重合时,直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于.
19. 已知△ABC的三边a,b,c成等比数列,且a+c=,.
(Ⅰ)求cosB;
(Ⅱ)求△ABC的面积.
参考答案:
【考点】正弦定理;余弦定理.
【专题】解三角形.
【分析】(Ⅰ)已知等式左边利用同角三角函数间基本关系化简,利用等比数列的性质及正弦定理化简后,求出sinB的值,即可确定出cosB的值;
(Ⅱ)由余弦定理列出关系式,把a+c的值代入求出ac的值,再由sinB的值,利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积.
【解答】解:(Ⅰ)由+=+==①,
又∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac,
由正弦定理化简得:sin2B=sinAsinC,
∵在△ABC中有sin(A+C)=sinB,
∴代入①式得:=,即sinB=,
由b2=ac知,b不是最大边,
∴cosB==;
(Ⅱ)由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB得,ac=a2+c2﹣2ac?=(a+c)2﹣ac,
∵a+c=,∴ac=5,
∴S△ABC=acsinB=2.
【点评】此题考查了正弦、余弦定理,三角形面积公式,熟练掌握正弦定理是解本题的关键.
20. 已知椭圆的两个焦点分别为,,点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点M(1,0)的直线l与椭圆C相交于A,B两点,设点N(3,2),记直线AN,BN的斜率分别为k1,k2,求证:k1+k2为定值.
参考答案:
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程.
【分析】(Ⅰ)依题意,,a2﹣b2=2,利用点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直,可得b=|OM|=1,从而可得椭圆的方程;
(II)①当直线l的斜率不存在时,求出A,B的坐标,进而可得直线AN,BN的斜率,即可求得结论;②当直线l的斜率存在时,直线l的方程为:y=k(x﹣1),代入,利用韦达定理及斜率公式可得结论.
【解答】解:(Ⅰ)依题意,,a2﹣b2=2,
∵点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直,
∴b=|OM|=1,
∴.…
∴椭圆的方程为.…
(II)①当直线l的斜率不存在时,由解得.
设,,则为定值.…
②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为:y=k(x﹣1).
将y=k(x﹣1)代入整理化简,得(3k2+1)x2﹣6k2x+3k2﹣3=0.…
依题意,直线l与椭圆